劉貴生

一、關于彈性碰撞的問題

在現(xiàn)行的物理教科書中，關于彈性碰撞的定義是碰撞前系統(tǒng)的機械能等于碰撞后系統(tǒng)的機械能時，系統(tǒng)內物體所發(fā)生的碰撞稱為彈性碰撞，用數(shù)學式表示為e==1（這里v10，v20，v1，v2分別是m1、m2碰撞前、后的速度），教科書中稱e為恢復系數(shù)，并指出e由相碰物體的材料決定.學生往往據此認為只要相碰物體的材料一定，系統(tǒng)內物體發(fā)生的碰撞是否彈性碰撞也就應該確定下來了，然而事實上，一個系統(tǒng)內物體間發(fā)生的碰撞是否為彈性碰撞除了材料因素以外，還與所選的慣性系密切相關，下面我們就來一般地討論這個問題.假設系統(tǒng)內有幾個物體發(fā)生碰撞，并且以碰撞前后系統(tǒng)的機械能是否相等作為判別彈性碰撞的依據.

設慣性系Ω′相對于Ω系以速度運動.碰撞前，系統(tǒng)內各個質點的速度在Ω系與Ω′系中分別以i 0和（i=1，2，…，n）表示.碰撞后，各個質點的速度在Ω系和Ω′系中分別以i 和 （i=1，2，…，n）來表示，于是有： i= +，i 0=+.

又設、分別表示碰撞前在Ω′系中系統(tǒng)的總動能和總動量，、分別表示碰撞后Ω′系中系統(tǒng)的總動能和總動量，則有

Ek0=mi=mi（+）2=+?+miv2.（1）

Ek=mi=mi（+）2=+?+miv2.（2）

由（1）、（2）兩式可以看出，若系統(tǒng)內物體間發(fā)生的碰撞在Ω′系中是彈性碰撞，即=，且=，則Ek=Ek0、，即系統(tǒng)內物體間發(fā)生的碰撞在Ω系中也是彈性碰撞.但若=，≠，則Ek≠Ek0，即雖然在Ω′系中是彈性碰撞，但系統(tǒng)所受合外力不為零時，在Ω系中來看，系統(tǒng)內物體間的碰撞就不是彈性碰撞了.綜上，我們有以下結論.

（1）若系統(tǒng)所受合外力為零，則系統(tǒng)內物體間的碰撞是否彈性碰撞僅與相碰撞物體的材料有關，而與所選慣性系無關.

（2）若系統(tǒng)所受合外力不為零，則系統(tǒng)內物體間的碰撞是否彈性碰撞要由相碰物體的材料和所選慣性系共同決定.

二、單擺實驗數(shù)據檢驗

在單擺的實驗教學中，學生通過測量獲得大量數(shù)據，但經過計算得出實驗結果（重力加速度）的值往往偏大或偏小，感到困惑，找不出原因.教師在改實驗報告過程中也要花費大量的時間去檢查核對原始數(shù)據，然后才能分析原因做出結論，實在是費時費力，效率低下.我們在長期的教學過程中，摸索出一個簡單實用的檢驗方法，據此便可以迅速準確地對重力加速度作出判斷.我們知道，單擺的數(shù)學公式為：

T=2π.（3）

設l取得一個增量Δl，T取得增量ΔT，代入（3）式得g′=.（4）

對（4）式的分母用泰勒公式展開可得以下近似：=1+2.于是（4）式變?yōu)椋篻′=1+2=g+g+2.

從而有：Δg=g′-g=g+2，即：=+2.（5）

利用（5）式就可進行檢驗判斷.在利用（5）式進行判斷之前，需先明確正常測量結果中重力加速度的合理數(shù)量級.為此，設用米尺測定擺長的誤差Δl=0.5 mm，用表測量50個周期對1個周期誤差ΔT=（s），又設擺長l=100 cm，T=2 s，則Δg=g?0.004 5，=0.5%，若本地g的標準值為980 cms-2，則認為g的數(shù)量級在975~988 cms-2為合理.學生在實際測量中，擺長的測定一般都符合要求，問題主要出現(xiàn)在數(shù)周期上，若在一次測量數(shù)50個周期中數(shù)錯n個周期，則對1個周期的影響為，因學生大多數(shù)數(shù)錯周期都是T或，所以我們僅考慮以下兩種情形.

（1）當n= 時，將ΔT=代入（5）式得Δg=10，從而=1%，故g的數(shù)量級為970~990 cms-2.

（2）當n=T時，將ΔT=代入（5）式得Δg=40，從而=4%，故g的數(shù)量級為940~1 020 cms-2.

從以上討論可以立即看出，根據學生的實驗數(shù)據是970~990 cms-2時，我們可斷言學生多數(shù)或少數(shù)；由940~1 020 cms-2，可斷言學生多數(shù)或少數(shù)1個周期T ，然后再檢驗原始數(shù)據就可迅速查出錯在哪里.