范　鴻

數(shù)學(xué)課程改革要求教師重新審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式應(yīng)由單純的記憶、模仿和訓(xùn)練轉(zhuǎn)變?yōu)樽灾魈骄俊⒑献鹘涣髋c實(shí)踐創(chuàng)新.下面通過教學(xué)案例說明新課標(biāo)下數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的開展.

已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC，AD是BC上的中線.求證：AB=AC.

師：要證AB=AC，可證∠B=∠C或△ABD≌△ACD.但憑條件很難得證.故要考慮其他思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這里有中線AD，請(qǐng)想想怎樣處理？

生：延長AD至E，使DE=AD，然后連接BE，易證△ACD≌△EBD（SAS），于是∠DAC=∠E，BE=AC.又因∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=∠E，于是AB=BE.通過等量代換可得到AB=AC.

師：這位同學(xué)反應(yīng)很快，遇到中線，我們通常倍長中線，把角、線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.還有沒有別的想法？

生：看到了中點(diǎn)，我想到了構(gòu)造中位線.取AB的中點(diǎn)F，連接DF，于是DF∥AC，并且DF=AC，這樣∠ADF=∠DAC.又因∠BAD=∠DAC，所以∠BAD=∠ADF，于是DF=AF=AB.這樣通過DF作橋梁，得到AB=AC.

師：非常好！我們通過這條性質(zhì)逆命題的探究，可幫助我們打開解題的思路,提高看問題的層次.來看下面的題.已知：如圖2，△ABC中，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB.AM⊥CD，AN⊥BE，連接MN.求證：MN∥BC，且MN=（AB+AC-BC）.

生：已知有BE平分∠ABC，并且AN⊥BE，具備判定等腰三角形的條件，于是延長AN交BC于H，用“ASA”判定△ABN≌△BHN,得到AN=HN.同理可知AM=MG,所以MN是△AGH的中位線.通過線段等量代換，很容易證明第二個(gè)結(jié)論.

師:該生有較強(qiáng)的觀察力和構(gòu)建意識(shí),正是由于受剛才討論問題的啟發(fā),使我們想到利用兩個(gè)條件的存在去構(gòu)建證明的基本圖形.我們把判定三角形是否為等腰三角形的兩個(gè)條件簡(jiǎn)稱為“二合一”.

生：看來，對(duì)書上的某種性質(zhì)加以探究反思并提煉總結(jié)，構(gòu)造基本圖形,可積累我們的解題經(jīng)驗(yàn).

師：總結(jié)得很好！對(duì)任何問題我們不要進(jìn)行簡(jiǎn)單的記憶、模仿，要抓住問題的核心，舉一反三.這就是探究學(xué)習(xí)成果的正遷移.

如果我們繼續(xù)取中點(diǎn)……

1. 提出問題：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于解決問題，而解決問題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律.如圖3，在任意四邊形ABCD的各邊取中點(diǎn)E1，F(xiàn)1，G1，H1，得到的四邊形E1F1G1H1是什么四邊形？如果繼續(xù)取中點(diǎn)，得到的四邊形又是什么樣的四邊形？你能得到什么樣的規(guī)律？

2. 研究規(guī)律：繼續(xù)取平行四邊形E1F1G1H1各邊中點(diǎn)連接而成四邊形E2F2G2H2是平行四邊形.如果開始四邊形ABCD是矩形，則E1F1G1H1是菱形，繼續(xù)取菱形的中點(diǎn)得四邊形E2F2G2H2是矩形.看來，有規(guī)律如下表.

3. 反思規(guī)律，揭示本質(zhì)：四邊形ABCD對(duì)角線相等，四邊形E1F1G1H1是菱形，但對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形；四邊形ABCD對(duì)角線互相垂直，四邊形E1F1G1H1是矩形，但對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.通過引導(dǎo)同學(xué)自主探究揭示問題的本質(zhì).