幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式的學(xué)科。幾何學(xué)在中學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是：發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。在高中階段，立體幾何部分內(nèi)容的教學(xué)，對學(xué)生的空間想象力的培養(yǎng)是至關(guān)重要的。在教學(xué)的實踐當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都不同程度存在學(xué)習(xí)的困難，這主要表現(xiàn)在：對圖形的觀察與分析的能力，特別是基本元素之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的分析處理。

那么學(xué)習(xí)立體幾何，除了學(xué)生的空間想象能力高低等客觀因素外，能否找到一種好的工具能讓學(xué)生對空間的概念位置數(shù)量化呢？用向量的方法研究空間里涉及直線和平面的各種問題，往往可以收到化難為易的效果。主要的工具為向量數(shù)量積公式：· = ||·||cos<，>。下面以相應(yīng)的例題說明法向量在立體幾何解題的整合及應(yīng)用。

求兩直線所成的角

例1. 如圖1， 在直三棱柱中，，，，，點是的中點，

（1）求證：；

（2）求證：//平面；

（3）求異面直線與所成角的余弦值。

解：因為所以∠ACB=90€啊?

以CA，CB，CD所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。

有(3，0，0);(0，4，0);(，2，0);(0，4，4)

（1）∵ = (，0，0)， = (0，，0)得·=0∴

（2）（法向量方法）設(shè)向量 = ()為平面的法向量，

評述：本題用向量解法時，只需建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點坐標(biāo)，再進行代數(shù)運算。而不需作過多的輔助線，不需太多的空間想象力。大部分學(xué)生都可接受。

求直線與平面所成的角

評注：在解題過程中，一是要理解公式的幾何意義，二是要熟悉悉基本圖形如圖3。

求點到平面的距離→兩平行平面的距離

如圖3所示的線角關(guān)系可求點到面的距離，公式，其中為斜線。

例3．如圖4，在棱長為1的正方體中，

（1）求證：平面∥平面；

（2）求平面和平面距離。

以上是法向量在解題上的一些用法（另外，還可以用來求二面角的大小和求異面直線間的距離。這里不再舉例），用向量的方法研究空間里涉及直線和平面的各種問題，可以使整個解題過程轉(zhuǎn)化為程序化的向量運算，簡捷方便，能減輕學(xué)生空間想象之困難。

作者單位：廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級中學(xué)

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”