2007年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)壓軸題是：

如圖1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5■），AB＝10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求∠BAO的度數(shù).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2），求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.

（3）求（2）中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）如果點(diǎn)P、Q保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ＝90°的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路要點(diǎn)（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，易聯(lián)想到含特殊角的直角三角形，因此，作BE⊥OA，垂足為E，則AE＝AO－EO＝10-5＝5，又AB＝10，所以∠EBA

＝30°，從而∠BAO＝60°.也可用三角函數(shù)來(lái)直接求出∠BAO的度數(shù)，或由

Rt△ABC與Rt△BEA的對(duì)應(yīng)邊成比例，利用相似三角形來(lái)得到結(jié)果.可見(jiàn)本題不僅簡(jiǎn)單，而且解題思路很寬，每位考生都可以根據(jù)自己的情況選擇解題的方法.

（2）這是一道圖形信息題，由圖1知點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的路程是10個(gè)單位，由圖2知點(diǎn)P 從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間是5秒，故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.

（3）解決本題關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式，再利用配方法求出面積的最大值.主要方法有：

方法一：由圖2知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，10）和（5，30），再取t=2，如圖1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分別為M、N，此時(shí)AP=4 ， AN=2 ， PM=ON=8 ， OQ=2+2×2

=6，易求得S=24，即拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 ， 24).設(shè)二次函數(shù)的解析式為S=at2+bt+c，則c

=10，再解方程組4a+2b+10=24，25a+5b+10=30得a=-1，b=9.所以S=-t2+9t+10=-t-■■+■，所以當(dāng)t=■時(shí)， S有最大值■，此時(shí)P■，■.

方法二：因?yàn)辄c(diǎn)P的速度為2單位/秒，時(shí)間為t秒，如圖1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分別為M、N，則由AP＝2t有AN＝t，PM＝ON＝10-t，PN=■t，從而

P10-t，■t（0≤t≤5）.又OQ＝2+2t，所以S＝■（10-t）（2+2t）＝-t2+9t+10

=-t-■■+■，所以當(dāng)t=■時(shí)，S有最大值■，此時(shí)P■，■.

（4）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ＝90°的點(diǎn)P有2個(gè)，理由如下（方法不唯一）：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠OPQ＜90°.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OQ的長(zhǎng)是12個(gè)單位長(zhǎng)度.如圖3，作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，由△OHP∽△OPM，得OM=■≈11.5，所以O(shè)Q＞OM，從而∠OPQ＞90°.所以當(dāng)點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有1個(gè).

② 同理，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，可算得OQ=12+■

≈17.8，而構(gòu)成直角時(shí)PM交y軸于0，■， ■≈20.2＞17.8，所以∠OCQ＜90°，從而使∠OPQ=90°的點(diǎn)P也有1個(gè).即當(dāng)點(diǎn)P沿BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P也有1個(gè).所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè).

典型錯(cuò)誤 從閱卷情況來(lái)看，考生的得分率較低，其主要原因有：

1．誤認(rèn)為第(1)題中AC與x軸垂直，直接由∠BAO=90°-30°=60°得到結(jié)果，犯這種錯(cuò)誤的人數(shù)不少，這與命題者的“精心”設(shè)計(jì)有關(guān)（圖形中確實(shí)給人以AC與x軸垂直的感覺(jué)）.

2．對(duì)于第(2)題，不能從圖形中獲取有用的信息來(lái)簡(jiǎn)捷求解，有些考生由于得不到第（2）題的正確結(jié)論而使解題半途而廢.

3．對(duì)于第(3)題，不善于進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，求出解析式之后由于配方不熟練或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式記憶有誤而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

4．對(duì)于第(4)題，不會(huì)應(yīng)用分類(lèi)思想去思考而出現(xiàn)漏解， 不善于利用題設(shè)條件“點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小”，將說(shuō)明∠OPQ=90°的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為說(shuō)明點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ隨著時(shí)間t的增大由銳角增大為鈍角，從而必有一個(gè)時(shí)間使它為直角；同樣，當(dāng)點(diǎn)P沿BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ隨著時(shí)間t的增大由鈍角減小為銳角， 必有一個(gè)時(shí)間使它為直角.

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