摘 要：分別從時(shí)域和頻域?qū)σ环N開關(guān)電容濾波器的特性進(jìn)行了全面深入分析，首次給出了解析形式頻譜函數(shù)和相應(yīng)頻率特性曲線，結(jié)果表明，電路特性依賴于參數(shù)τ=RC與開關(guān)切換時(shí)間T的比值α=τ/T。當(dāng)電子開關(guān)的切換時(shí)間T相對較短（即α較大）時(shí)，該電路是一個(gè)梳齒幅度衰減型梳狀濾波器，通帶中心頻率等于開關(guān)頻率的奇數(shù)倍，開關(guān)頻率的偶數(shù)倍則為其阻帶頻率。隨著開關(guān)頻率降低（T增，α減），電路過渡為幅頻特性有起伏的低通濾波器。分析結(jié)論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地吻合。

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關(guān)鍵詞：開關(guān)電容濾波器；幅頻特性；頻域；時(shí)域

中圖分類號：TN773.2；TN711.4文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)07-163-03

Analysis of Switched-capacitor Comb Filter′s Frequency Characteristic

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YIN Jiwu，LONG Shuming，WANG Shaohua，SUN Yanqing，LU Chao

(Shaanxi University of Technology，Hanzhong，723003，China)



Abstract：Frequency characteristics of a switched-capacitor filter are analyzed in the time and frequency domain.The analytical function and the corresponding frequency characteristic curve are given.The results show that characteristics dependent on(parameter τ=RC and the switching time T，α=τ/T).When the switching time T is relatively short，this circuit is a comb filter，and the passband center frequency is equal to the odd times of switching frequency fT，and the band elimination frequency is equal to the even times of fT.With the fT lower，this SCF circuit change into a low-pass filter.The analysis results correspond with the experiment.



Keywords：switched-capacitor filter；frequency characteristic；frequency domain；time domain

最基本的開關(guān)電容電路是由電子開關(guān)和電容組成的，主要應(yīng)用^[1-3]是構(gòu)成各種低通、高通、帶通、帶阻等開關(guān)電容濾波器（Switched-Capacitor Filter，SCF）。將開關(guān)電容電路與運(yùn)算放大器結(jié)合，組成的開關(guān)電容有源濾波器具有很多奇特的性質(zhì)，但由于引入了電子開關(guān)，對電路特性進(jìn)行嚴(yán)密分析變得異常困難，目前已有的分析方法^[4-8]都只是在一定條件下從一個(gè)側(cè)面進(jìn)行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計(jì)算機(jī)系統(tǒng)對其進(jìn)行復(fù)雜而嚴(yán)格的分析計(jì)算，最終得到了具有普遍意義的結(jié)論，上述文獻(xiàn)的結(jié)果只是該普遍性結(jié)論的特例。

1 SCF電路

開關(guān)電容有源濾波器電路如圖1(a)，其中S1和S2是由周期為2T的方波信號控制的理想電子開關(guān)，方波控制信號p(t)波形如圖1(b)，其占空系數(shù)為0.5。即在2kT＜t＜(2k+1)T期間兩開關(guān)接通A點(diǎn)，在(2k+1)T＜t＜(2k+2)T期間兩開關(guān)接通B點(diǎn)，其中k=0，1，2，…，是時(shí)段編號。



圖1 開關(guān)電容濾波器

2 時(shí)域法特性分析

時(shí)域分析法的思路是根據(jù)圖1的電路結(jié)構(gòu)建立電路的微分方程（以輸出電壓為研究對象）。轉(zhuǎn)換周期為2T的電子開關(guān)的方波控制信號可表示為周期為2T的周期信號p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積：

ε(t)p(t)=+1， 2kT≤t<(2k+1)T

-1， (2k+1)T≤t<(2k+2)T(1)



式中:k=0，1，2，…。fT=1/(2T)為開關(guān)頻率，電路在k時(shí)段的時(shí)域響應(yīng)(輸出電壓)表示為hk(t)，并設(shè)：

(1) 電容C在t=0[CD#*2]時(shí)刻電壓為零(0[CD#*2]，kT[CD#*2]等帶下劃線符號表示相應(yīng)時(shí)刻的前瞬，下同)，即：



h0(0[CD#*2])=0

(2)



(2) 因?yàn)榈依霜Е暮瘮?shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)的傅里葉變換即為電路的頻率響應(yīng)函數(shù)，即系統(tǒng)（頻譜）函數(shù)H(Ω)，故設(shè)電路輸入信號（激勵(lì)）為δ函數(shù)，即：



ui(t)=δ(t)

(3)



由于電子開關(guān)周期性切換，RC電路對外電路的影響表現(xiàn)為：下一時(shí)段的輸出電壓初值是上一時(shí)段末時(shí)刻輸出電壓值乘(-1)，即：



hk+1(0)=-hk((k+1)T[CD#*2])，k=0，1，2，…

(4)



圖1(a)中理想運(yùn)放反相端為虛地，第0時(shí)段(即k=0，0≤t



i(t)=-[SX(]ui(t)[]R1[SX)]，i(t)=iR+iC，

iR=[SX(]h0(t)[]R[SX)]，iC=C[SX(]dh0(t)[]dt[SX)]



記τ=RC，τ1=R1C，從而有(用h′0(t)表示h0(t)對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，下同)：



h′0(t)+ h0(t)/τ=-δ(t)/τ1，h0(0[CD#*2])=0，0≤t

(5)



引入單位階躍函數(shù)ε(t)后解得:



h0(t)=(-1/τ1 )e -t/τ(ε(t)-ε(t-T))，

h0(T[CD#*2])=(-1/τ1 )e -T/τ

(6)



第k時(shí)段的電路微分方程為:



h′k(t)+hk(t)/τ=0，

hk(0)=-hk-1(kT[CD#*2])=(-1)k+1(1/τ1)e -kT/τ，

kT≤t<(k+1)T，k=1，2，…，∞

(7)



解得：



hk(t)[WB]=(-1)k+1(1/τ1)e -kT/τe -(t-kT)/τ(ε(t-kT)

- ε(t-(k+1)T))

=(-1)k+1(1/τ1)e-t/τ(ε(t-kT)-

ε(t-(k+1)T))， k=0，1，2，…

(8)



由式(8)可見，第k段的非零值時(shí)區(qū)為(kT，(k+1)T[CD#*2])，即各時(shí)段非零值區(qū)間互不重疊，對hk(t)關(guān)于k求和，得開關(guān)電容電路(對外)的單位沖激零狀態(tài)響應(yīng)h(t)為:



h(t)=∑∞[]k=0[DD)]hk(t) 

=(-1/τ1)e-t/τ∑∞[]k=0[DD)](-1)k(ε(t-kT)-

ε(t-(k+1)T))

(9)



特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p(t)與單位階躍信號ε(t)的乘積，對上式取Fourier積分變換^[9]即得到開關(guān)電容電路系統(tǒng)頻譜函數(shù)(用j表示虛數(shù)單位，下同)：



H(Ω)[WB]=[SX(](1-e T/τ+jΩT)(τ/τ1)[](1+e T/τ+jΩT)(1+jτΩ)[SX)]

[DW]=[SX(]-(τ/τ1)[](1+jτΩ)[SX)]Tanh[JB((][SX(]T/τ+jΩT[]2[SX)][JB))]

(10)



取其模即為其幅頻特性|H(Ω)|:



|H(Ω)|=[SX(]αT/τ1[][KF(]1+(αΩT)2[KF)][SX)][KF(][SX(]β2+1-2βcos(ΩT)[]β2+1+2βcos(ΩT)[SX)][KF)]，

α=τ/T，β=e 1/α

(11)



也可以根據(jù)式(1)定義的周期為2T的開關(guān)方波信號p(t)，將式(9)改寫為:



h(t)=-[SX(]1[]τ1[SX)]e -t/τε(t) p(t)

(12)



將p(t)展為Fourier級數(shù)，則有:



h(t)=-[SX(]1[]τ1[SX)]e -t/τε(t)∑[DD(]∞[]n=0[DD)][SX(

]4[](2n+1)π[SX)]sin[JB((][SX(]2n+1[]T[SX)]πt[JB))]

(13)



取上式的Fourier積分變換得：



H(Ω)=[SX(]2τ[]πτ1[SX)]∑[DD(]∞[]n=0[DD)][SX(]j[](2n+1)[SX)]

[SX(]1[]j(Ω-(1+2n)π/T)τ+1[SX)]-

[SX(]1[]j(Ω+(1+2n)π/T)τ+1[SX)]

=[SX(]jτTanh[JB([][SX(]T[]2τ[SX)]+j[SX(]TΩ[]2[SX)][JB)]][]τ1(-j+τΩ)[SX)]

(14)



易證式(13)與式(10)完全一致，故其幅頻特性|H(Ω)|仍與式(11)相同。

3 頻域法特性分析

開關(guān)周期切換，形成的RC并聯(lián)支路對外電路的等效電流ie(t)為:





ie(t)=i(t)p(t)=i(t)∑[DD(]∞[]n=0[DD)][SX(]4[](2n+1)π[SX)]sin[JB((][SX(]2n+1[]T[SX)]πt[JB))]

(15)



取上式的Fourier積分變換，得到：



Ie(Ω)=∑[DD(]∞[]n=0[DD)][SX(]2IΩ-[SX(]2n+1[]T[SX)]π[](2n+1)πj[SX)] -∑[DD(]∞[]n=0[DD)]

[SX(]2IΩ+[SX(]2n+1[]T[SX)]π[](2n+1)πj[SX)]

(16)



上式說明，Ie(Ω)是輸入電流頻譜I(Ω)周期延拓的組合，周期為Ω0=2π/T。各電流分量流過RC并聯(lián)支路時(shí)的電壓為相應(yīng)電流分量與RC支路阻抗（R/(1+jωτ)，ω=Ω±(2n+1)π/T）的乘積，于是輸出電壓頻譜U(Ω)為：



U其中R/R1=τ/τ1，結(jié)果與式(14)一致，幅頻特性|H(Ω)|仍與式(11)相同。

4 結(jié) 語

給定圖1(a)電路參數(shù)τ和τ1，選擇α=τ/T分別取不同值時(shí)，根據(jù)式(11)做出的歸一化幅頻特性曲線如圖2所示，結(jié)合對式(11)做深入分析表明：

(1) α=τ/T較大時(shí)電路是梳齒幅度按奇數(shù)倒數(shù)規(guī)律衰減的梳狀濾波器，通帶中心頻率(梳齒)為：



fn =(2n+1)fT(19)



其中fT=1/(2T)，n=0，1，…。

設(shè)梳齒編號為n=0，1，…，則計(jì)算給出編號為n的梳齒幅度（最大傳輸系數(shù)）為：



[SX(]αT/τ1[][KF(]1+(α(2n+1)π)2[KF)][SX)] [SX(]e 1/α+1[]e 1/α-1[SX)][SX(]T[]τ1(2n+1)π[SX)] [SX(]e 1/α+1[]e 1/α-1[SX)]，

α≥1， n=0，1，…

(20)



此時(shí)圖1(a)電路允許f=fT，f=3fT，f=5fT，… 等頻率成份通過，且隨著頻率的升高，輸出幅度按奇數(shù)倒數(shù)規(guī)律逐漸減小。

圖2 開關(guān)電容濾波器歸一化幅頻特性曲線

(2) α=τ/T較大時(shí)，f=(2n)fT(其中n=0，1，2，…)是系統(tǒng)的阻帶中心頻率，落在這些頻點(diǎn)上的信號將獲得最小傳輸系數(shù)，最小傳輸系數(shù)（即梳狀濾波器幅頻曲線谷底高度）為：



[SX(]τ(β-1)[]τ1(β+1)[KF(]1+4π 2n2α2[KF)][SX)]，

α=τ/T，β=e 1/α，n=0，1，2，…

(21)



(3) 該梳狀濾波器梳齒間隔（即阻帶中心頻率或通帶中心頻率間隔）為Δf=2fT。

比較圖2可看出：開關(guān)轉(zhuǎn)換周期2T（相對于電路時(shí)間常數(shù)τ）越小，α越大，梳齒間谷底越接近零，梳齒越尖銳（即梳齒帶寬越窄）。例如，計(jì)算發(fā)現(xiàn)：圖2(a)中，α=τ/T=10，第一梳齒通帶寬度為B0.7 =0.394fT。圖2(b)中，α=τ/T=2，第一梳齒通帶寬度為B0.7 =2.33fT。

(4) 隨著電子開關(guān)切換周期2T增大（α減?。?，梳齒間谷底最小值逐漸增大。電路逐漸過渡為幅頻特性曲線輕微起伏的低通濾波器，如圖2(d)所示。低通濾波器傳輸函數(shù)極大值為：



|H(Ω)|max=|H(0)|=[SX(]τ(e 1/α-1)[]τ1(e 1/α+1)[SX)]

(22)



由|H(Ω)|=0.707|H(Ω)|max可以求得低通濾波器上限截止頻率，結(jié)果表明，對于低通濾波器，仍為α越大，低通濾波器上限頻率(即帶寬)越小。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］汪東，狄永清.開關(guān)電容濾波器的設(shè)計(jì)［J］.微電子技術(shù)，2000，28(4)，11-19.

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［4］陳照章，唐平，朱湘臨.開關(guān)電容濾波器的“共振”現(xiàn)象及其對策［J］.電子技術(shù)應(yīng)用，2002，28(9):39-40.

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

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作者簡介

尹繼武 男，1967年出生，陜西勉縣人，副教授。主要從事電子技術(shù)的教學(xué)與研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。