摘 要：討論了一種新的基于非線性擴(kuò)散方程的圖像去噪方法。在分析中值曲率擴(kuò)散模型去噪原理的基礎(chǔ)上，將角點(diǎn)檢測因子引入到該模型中控制擴(kuò)散速度，使改進(jìn)后的方程在非角點(diǎn)處進(jìn)行較大擴(kuò)散，在角點(diǎn)處停止擴(kuò)散。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅有效去除了圖像中的噪聲，而且較好地保留了圖像中的角點(diǎn)信息，去噪效果令人滿意。

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關(guān)鍵詞：偏微分方程；非線性擴(kuò)散；角點(diǎn)檢測;中值曲率驅(qū)動

中圖分類號：TP391文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)07-188-03

An Improved Method of Mean Curvature Motion Based on the Detection of Corners in the Image

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GE Jianfei，GAO Zhiyong，LIU Xiangming

(School of Electronic Information Engineering，South-Central University for Nationalities，Wuhan，430074，China)

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Abstract：A new nonlinear diffusion-based image denoising method is proposed in this work.At first the principle of Mean Curvature Motion equation is analyzed.After that a factor of corner detection is introduced into the model to control the speed of diffusion，which is faster in the position of no corner and stops in the position of corners.Experimental results show that the denoising method can not only remove the noise but also preserve the information of corners in the image.

Keywords：PDE;nonlinear diffusion;corner detection;mean curvature motion

1 引 言

近年來基于偏微分方程(P.D.E.)的濾波方法受到圖像研究人員的關(guān)注，此類方法最早由Perona和Malik在文獻(xiàn)［1］中提出，去噪的主要思想是：在圖像邊緣處進(jìn)行較少的平滑，而在圖像區(qū)域內(nèi)進(jìn)行類似高斯濾波的較大平滑。自P-M模型提出之日起，已有許多學(xué)者對非線性擴(kuò)散模型做了進(jìn)一步的研究和改進(jìn)，其中Alvarez，Lions and Morel在文獻(xiàn)^[2]中提出了中值曲率驅(qū)動(M.C.M.)擴(kuò)散方程，該方法僅保留沿垂直于梯度方向的擴(kuò)散，能夠在保持目標(biāo)邊緣的同時(shí)去除噪聲。但Alvarez等人同時(shí)發(fā)現(xiàn)M.C.M.模型在擴(kuò)散過程中容易磨損圖像中的角點(diǎn)信息。

本文提出一種M.C.M.模型的改進(jìn)方法，在擴(kuò)散初期對含噪圖像進(jìn)行角點(diǎn)檢測，并在隨后的擴(kuò)散過程中對角點(diǎn)加以保護(hù)，使得在角點(diǎn)處擴(kuò)散為零，線性邊緣處擴(kuò)散仍沿與梯度垂直的方向進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該方法可以取得令人滿意的濾波效果。

2 中值曲率驅(qū)動方程

中值曲率驅(qū)動方程可看作Alvarez提出的退化擴(kuò)散模型^[2]的一種特殊情況。該模型的具體形式為：



ut=ucurv(u)un=0

u(x，y，0)=u0(x，y)

(1)



其中是梯度算子，curv(u)是圖像u水平線的曲率，u/n=0是方程的邊界條件，u0(x，y)是待處理的含噪圖像，濾波后的圖像就是方程(1)的解。

該模型有明確的幾何意義：在濾波過程中圖像沿著水平線的曲率進(jìn)行演變，即在每一點(diǎn)(x，y)處，經(jīng)過(x，y)的水平線沿著梯度的方向以curv(u)的速率進(jìn)行演化。由于在圖像的角點(diǎn)處曲率curv(u)有較大的值，所以演化的結(jié)果容易磨損角點(diǎn)。

3 角點(diǎn)檢測

以水平方向上的二階導(dǎo)數(shù)為例：uxx(i，j)=ui+1，j－2ui，j+ui－1，j，不難看出二階方向?qū)?shù)反映了兩側(cè)點(diǎn)與當(dāng)前點(diǎn)的差異情況。在圖1中，a點(diǎn)是線條點(diǎn)，b點(diǎn)是角點(diǎn)，定義一個(gè)局部坐標(biāo)系統(tǒng)：



η=u|u|，ξ=u⊥|u⊥|



其中u⊥=(－uy，ux)。對于線條上的點(diǎn)a來說，沿ξ方向的二階導(dǎo)數(shù)uξξ有較小的值；對于角點(diǎn)b來說，沿ξ方向的二階導(dǎo)數(shù)uξξ有較大的值，因此我們可以設(shè)定一個(gè)閾值函數(shù)來區(qū)分角點(diǎn)和線條點(diǎn)：



T((Gσu0)ξξ)=0，(Gσu0)ξξ>C

1，(Gσu0)ξξ

(2)



其中，T是閾值函數(shù)，Gσ是為了提高抗噪能力引入的高斯平滑核，u0是含噪圖像，C是閾值常數(shù)。

4 改進(jìn)后的方程及數(shù)值解法

4.1 改進(jìn)后的方程

將式(2)引入式(1)中，并且考慮上節(jié)中定義的局部坐標(biāo)系統(tǒng)，得到改進(jìn)后的方程：



ut=T((Gσu0)ξξ)|u|curv(u)

=T((Gσu0)ξξ)uξξ

un=0u(x，y，0)=u0(x，y)

(3)



在角點(diǎn)處(Gσu0)ξξ值較大，T((Gσu0)ξξ)＝0，擴(kuò)散方程為：ut=0；在非角點(diǎn)處(Gσu0)ξξ值較小，T((Gσu0)ξξ)＝1，擴(kuò)散方程為ut=|u|curv(u)，即中值曲率驅(qū)動方程。需要注意的是：方程(3)中兩個(gè)參數(shù)，高斯平滑核的方差σ和閾值常數(shù)C，參數(shù)值的選擇需針對待處理圖像的不同做適當(dāng)調(diào)整，使得閾值函數(shù)T((Gσu0)ξξ)能夠準(zhǔn)確地檢測出角點(diǎn)。不適當(dāng)?shù)膮?shù)值會導(dǎo)致檢測結(jié)果中角點(diǎn)丟失，或出現(xiàn)偽角點(diǎn)。

圖1 角點(diǎn)和線條點(diǎn)

圖2 自適應(yīng)模板

4.2 數(shù)值解法

基于P.D.E.圖像處理方法的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是可以充分利用數(shù)值分析理論中的已有成果。式(3)的離散化采用了有限微分法。

式(3)的離散化形式為：



un+1(i，j)=un(i，j)+τ[WTHX]T[WTBX](unξξ)i，j

(4)



其中，n表示迭代次數(shù)，τ表示時(shí)間步長與空間之比，且滿足τ≤0.5，[WTHX]T[WTBX]是一個(gè)二值矩陣，在角點(diǎn)處矩陣元素值為0，在非角點(diǎn)處矩陣元素值為1，(unξξ)i，j是uξξ的離散化算子。

文獻(xiàn)［3］中提出了一種采用自適應(yīng)模板計(jì)算uξξ的方法，自適應(yīng)模板如圖2所示， 其主要思想是把當(dāng)前像素及其8鄰域像素值的線性組合作為當(dāng)前位置的uξξ值：

 

(uξξ)i，j=－4λ0ui，j+λ1(ui，j+1+ui，j－1)+

λ2(ui+1，j+ui－1，j)+λ3(ui－1，j+1+ui+1，j－1)+

λ4(ui－1，j－1+ui+1，j+1)

(5)



其中λ0，λ1，λ2，λ3和λ4滿足如下關(guān)系：



λ1=2λ0－u2yu2x+u2y

λ2=2λ0－u2xu2x+u2y

λ3=－λ0+0.5u2x+u2y－uxuyu2x+u2y

λ4=－λ0+0.5u2x+u2y+uxuyu2x+u2y

(6)



且λ0=0.5－u2xu2y(u2x+u2y)2，對于一階導(dǎo)數(shù)ux，uy的計(jì)算公式是：



ux=2(ui+1，j－ui－1，j)+ui+1，j+1－ui－1，j+1+ui+1，j－1－ui－1，j－14(7)

uy=2(ui，j+1－ui，j－1)+ui+1，j+1－ui+1，j－1+ui－1，j+1－ui－1，j－14(8)



由式(5)~式(8)的組合，可以計(jì)算出(uξξ)i，j。二值矩陣[WTHX]T[WTBX]的計(jì)算與上述方法相同，不同的是在計(jì)算過程中，需要選擇合適的高斯核對u0做預(yù)平滑，并且需要選擇合適的閾值常數(shù)C對(Gσu0)ξξ進(jìn)行二值化。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證改進(jìn)后的式(3)的去噪性能，本文首先將其用于一幅高斯噪聲退化后的合成圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果(一)

本文也將式(3)用于一副實(shí)際的含噪圖像，如圖4所示。圖4(c)~圖4(e)為圖4(b)中矩形區(qū)域放大后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。

從以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難看出，改進(jìn)后的去噪模型在濾波過程中對圖像中的角點(diǎn)進(jìn)行了很好的保留。



圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果(二)

6 結(jié) 語

本文提出的中值曲率擴(kuò)散模型改進(jìn)方法與原模型相比，在保持圖像角點(diǎn)信息上確實(shí)具有明顯的優(yōu)勢。但同時(shí)我們也注意到，高斯平滑核的方差σ和閾值常數(shù)C兩個(gè)參數(shù)的引入，使得改進(jìn)后的模型在復(fù)雜度上較原模型有所增加，這可能正是好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所要付出的“代價(jià)”。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］PeronaP，Malik J.Scale-space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion ［J］.IEEE Transactions on Pattern Recognition and Machine Intelligence，1990，12 (3)：629-639.

［2］Alvarez Luis，Lions Pierre Louis，Morel Jean Michel.Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear Diffusion ［J］.SIAM Journal of Numerical Analysis，1992，29 (3):845-866.

［3］Gilles Aubert，Pierre Kornprobst.Mathematical Problems in Image Processing［M］.北京:世界圖書出版公司，2005.

［4］朱立新，王平安，夏德深.非線性擴(kuò)散圖像去噪中的耦合自適應(yīng)保真項(xiàng)研究 ［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2006，10(3):1519-1524.

［5］楊新.圖像偏微分方程的原理與應(yīng)用［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2003.

［6］[法]麥特爾.現(xiàn)代數(shù)字圖像處理［M］.孫洪，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2006.

［7］Alvarez L，Guichard F，Lions P L.Axioms and Fundamental Equations of Image Processing［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1993，16 (9):200-257.

［8］張亶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理［M］.北京：高等教育出版社，2003.

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作者簡介 葛建飛 男，1981年出生，河北滄州人，在讀碩士研究生。主要研究方向?yàn)獒t(yī)學(xué)圖像處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。