摘 要：基于最小描述長度(MDL)準則和最大似然準則，提出了一種窄帶信號源數(shù)目與波達方向(DOA)聯(lián)合估計方法。該方法通過最大似然準則來估計信號源的所有可能波達方向，然后通過MDL準則來估計信號源數(shù)目，同時得到DOA。該方法不僅適用于非相干信號源，而且適用于相干信號源，即能抗多徑傳播干擾。仿真實驗驗證了他的性能。

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關鍵詞：窄帶信號;MDL;最大似然準則；DOA

中圖分類號：TN911.72文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)07-038-03

A New Method for Narrowband Signal Source-Number Detection and DOA Estimation

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ZHANG Hengli1，ZHAO Yongjun1，2

(1.Information Engineering College，PLA Information Engineering University，Zhengzhou，450002，China.;

2.School of Information Science and Technology，Beijing Institute of Technology，Beijing，100081，China)

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Abstract：Based on Minimum Description Length (MDL) principle and maximum likelihood，a method for estimation of joint source-number detection and DOA is proposed in this paper.DOA is estimated by maximum likelihood，at the same time，the number of narrow-band signal sources is detected by MDL.The method is applicable to any type of sources，including the case of sources which are fully correlated，referred to as the coherent signals case.The computer simulations show the availability and efficacy of the method.

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Keywords：narrowband signal;MDL;maximum likelihood;DOA

1 引 言

信號源數(shù)目估計是空間譜估計中的一個重要問題。在常用的陣列測向算法中，一般假設信號源數(shù)目是先驗參數(shù)，然而這與實際并不相符。在使用各種常見測向算法進行DOA估計時，首先必須估計信號源數(shù)目。信號源數(shù)目的欠估計或過估計可能形成漏警或虛警，所以信號源數(shù)目估計的準確與否直接影響著DOA估計的精度，因此信號源數(shù)目信息是先決條件。一些學者針對這一問題提出了許多方法，如假設檢驗方法^[1]、基于信息論的AIC準則和MDL準則^[2，3]等方法。但這些方法只適用于非相干信號源，而且不能同時估計DOA。實際電子對抗中，往往存在很多干擾，如多徑傳播(產生相干信號)就增加了DOA估計的難度。Max提出了一種信號源數(shù)目和DOA聯(lián)合估計方法^[4]，但這種方法在估計DOA時存在較大誤差。

基于MDL準則和最大似然準則，本文提出了一種信號源數(shù)目和DOA聯(lián)合估計方法，估計DOA時誤差相對較小，且該方法適用于多徑傳播的情形。

2 窄帶信號模型[STBZ]^[5]

設有一個具有p個無方向性陣元的陣列。設有N個具有相同中心頻率ω0，波長λ的空間窄帶信號分別以來向角:θ1，θ2，…，θN入射到該陣列。陣列第k個陣元的輸出:



xk(t)=∑Ni=1gkisi(t－τki)+nk(t)

(1)



其中si(t)為投射到陣列的第i個源信號，gki為第k個陣元對第i個信號的增益，nk(t)為第k個陣元上的加性噪聲，τki為來自θi方向的源信號投射到第k個陣元時，相對于選定參考點的時延。

接收信號用矩陣表示：

3 窄帶信號數(shù)目與DOA聯(lián)合估計[STBZ]^[4]

MDL準則為:



MDL=minl[－log P(x|[WTHX][WTBX])+12llog M]



式中M為采樣數(shù)，l為待估參數(shù)的自由度，[WTHX][WTBX]是待估參數(shù)構成的矢量，12llog M成稱罰函數(shù)。

假設有k個信號源，我們把陣列接收到的矢量數(shù)據(jù)[WTHX]x[WTBX](t)分成用信號子空間和噪聲子空間的分量表示，即:

(6)



式中[WTHX]P[WTBX]A(θ(k)) ，[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )分別表示投影到信號和噪聲子空間的投影矩陣，即:



[WTHX]P[WTBX]A(θ(k))=[WTHX]A[WTBX](θ(k))[[WTHX]A[WTBX]H(θ(k))[WTHX]A[WTBX](θ(k))]－1[WTHX]A[WTBX]H(θ(k))

(7)

[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )=[WTHX]I[WTBX]-[WTHX]P[WTBX]A(θ(k))

(8)



文獻[4]中給出了一種信號源數(shù)目與DOA聯(lián)合估計方法：



MDL(k)=M(p－k)log1p－k∑p－ki=1li((k))(∏p－ki=1li((k)))1p－k+

k(2p－k+1)2log M

(9)

(k)=arg minθ(k)log1p－k∑p－ki=1li(θ(k))(∏p－ki=1li(θ(k)))1p－k

(10)



其中，l1(θ(k))≥l2(θ(k))≥…≥l(p－k)(θ(k)) 是 p×p 維矩陣[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )的非零特征值。

但是，上述方法中的角度估計θ(k)僅僅為了估計信號源數(shù)目，角度估計θ(k)的估計誤差比較大，從后面的仿真實驗中可以看出這一點。

4 最大似然估計[STBZ]^[6]

由于模型未知，所以觀察數(shù)據(jù)的一階和二階矩滿足如下條件：



E{x(ti)}=[WTHX]A[WTBX](θ)s(ti)

(11)

E{[x(ti)－(ti)][x(tj)－(tj)]H}=σ2[WTHX]I[WTBX]δij

(12)

E{[x(ti)－(ti)][x(tj)－(tj)]T}=0

(13)



根據(jù)上面的式子可以得到聯(lián)合概率密度函數(shù)(均值為式(11)，方差為(12)的高斯分布)，顯然有觀測矢量L次快拍聯(lián)合(條件)概率密度函數(shù)(PDF):



fDML{x1，…，xL}=∏Li=11det{πσ2I}exp[－1σ2|xi－Asi|2]

(14)

－lnfDML{x1，…，xL}=Lln π+MLln σ2+

1σ2∑Li=1|xi－Asi|2

(15)



去掉常數(shù)項:



L(θ，s，σ2)=MLln σ2+1σ2∑Li=1|xi－Asi|2

(16)



由上式可得未知參量θ的確定性最大似然估計:



=arg minθ {tr[[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ)[WTHX][WTBX]]}=arg maxθ{tr[[WTHX]P[WTBX]A(θ)[WTHX][WTBX]]}

(17)



5 基于MDL準則和最大似然準則的信號源數(shù)目與DOA聯(lián)合估計

基于MDL和最大似然準則的信號源數(shù)目與DOA聯(lián)合估計方法如下：

(1) 計算陣列協(xié)方差矩陣[WTHX][WTBX]=1M∑Mi=1x(ti)xH(ti)；

(2) 計算:

MDL(k)=M(p－k)log1p－k∑p－ki=1li((k))(∏p－ki=1li((k)))1p－k+

k(2p－k+1)2log M

和



=arg minθ{tr[[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ)[WTHX][WTBX]]}=arg maxθ {tr[[WTHX]P[WTBX]A(θ)[WTHX][WTBX]]}



其中，l1(θ(k))≥l2(θ(k))≥…≥l(p－k)(θ(k)) 是 p×p 維矩陣[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )[WTHX]P[WTBX]⊥ A(θ(k) )的非零特征值；

(3)得出信號源數(shù)目和DOA。

6 仿真實驗

我們將文獻[4]給出的方法稱為MDL1，本文給出的方法稱為MDL2。仿真試驗中采用陣元數(shù)p=16全向陣元組成的均勻線陣，陣元間距d=12λ，信號為遠場窄帶信號，噪聲為加性高斯白噪聲。

[HTH]實驗一[HTSS] 檢驗算法對非相干信號的估計性能。遠場3個等功率獨立的非相干窄帶信號分別從10°，20°，40°的方向輻射到陣列上，信噪比為2 dB。我們做100次Monte Carlo仿真實驗，表1給出了仿真實驗結果。從表1可以看出，MDL2正確估計非相干信號源數(shù)目的概率為95%。

表1 仿真結果(一)

實驗二[HTSS] 檢驗算法對相干信號的估計性能。其情況如同實驗一，但3個信號為完全相干信號源。表2給出了仿真實驗結果。從表2可以看出，MDL2正確估計相干信號源數(shù)目的概率為80%。

[HTH]實驗三[HTSS] 檢驗MDL1和MDL2估計DOA時的均方誤差。遠場3個等功率獨立的非相干窄帶信號分別從10°，20°，40°的方向輻射到陣列上，信噪比為－5~+10 dB逐步變大，快拍數(shù)為300。圖1給出了MDL1和MDL2估計DOA的方差。從圖1可以看出，在估計DOA時，與MDL1相比，MDL2的性能有明顯改進。

圖1 MDL1與MDL2估計DOA時的均方誤碼差比較

7 結 語

結合MDL準則和最大似然準則，本文給出了信號源數(shù)目與DOA聯(lián)合估計方法，這種方法不僅適用于非相干信號源，而且適用于相干信號源，即適用于多徑干擾，其估計的信號源數(shù)目和DOA效果較好。

參 考 文 獻

［1］Schmidt R O.Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation[J].IEEE Trans.，1986，AP-34(3):276-280.

［2］Wax M，Kailath T.Detection of Signals by Information Theoretic Criteria[J].IEEE Trans.Acoust.Speech Signal Processing，1985，ASSP-33:387-392.

［3］Wong K M，Zhang Q T，Reilly J P，et al.Yip.On Information Theoretic Criteria for Determining the Number of Signals in High Resolution Array Processing[J].IEEE Trans.Acoust.Speech Signal Processing，1990，38:1 959-1 970.

［4］Wax M，Ziskind I.Detection of the Number of Coherent Signals by the MDL Principle[J].IEEE Trans.Acoust.Speech，Signal Processing，1989，37(8):1 190-1 196.

［5］王永良，陳輝，彭應寧，等.空間譜估計理論與算法[M].北京:清華大學出版社，2004.

［6］Bohme J F.Estimation of Source Parameters by Maximum Likelihood and Nonlinear Regression.ICASSP，1984，731-734.

［7］Stoica P，Nehorai A.MUSIC，Maximum Likelihood，and the Cramer-Rao Bound[J].IEEE Trans.Acoust.，Speech，Signal Processing，1989，37:720-743.

［8］Stoica P，Nehorai A.MUSIC，Maximum Likelihood，and the Cramer-Rao Bound:Further Results and Comparisons.In Proc.ICASSP 89，1989.

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作者簡介

張恒利 男，1983年出生，河南新鄉(xiāng)人，碩士。主要研究方向為寬帶信號高分辨測向算法。

趙擁軍 男，1963年出生，河南新鄉(xiāng)人，博士，教授，碩士生導師。主要研究方向為陣列信號處理，雷達信號與信息處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。