摘 要：概率具有豐富的生活背景，是溝通變與不變、有限與無限、偶然與必然、確定與不確定的天然橋梁；是不確定數(shù)學(xué)的重要分支之一；概率論的知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的辯證思想。高中數(shù)學(xué)新課程中大量編入概率知識(shí)，概率知識(shí)的教與學(xué)成為數(shù)學(xué)新課程實(shí)施中的一個(gè)重要話題。本文對(duì)概率的教育價(jià)值、教學(xué)的現(xiàn)狀以及教學(xué)中應(yīng)遵循的原則進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：概率；學(xué)習(xí)；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.66文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-010X（2008）01-0046-03

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。1996年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中列入了概率內(nèi)容，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，在必修課程（數(shù)學(xué)3）、選修課程（系列2~3）中分別設(shè)置了概率的內(nèi)容。筆者從高中數(shù)學(xué)教師的訪談中了解到，有相當(dāng)一部分高中數(shù)學(xué)教師將概率教學(xué)的重點(diǎn)放在對(duì)一些概念的死記硬背和對(duì)計(jì)算技能的重復(fù)訓(xùn)練上，因而沒能準(zhǔn)確地把握高中概率的教育價(jià)值。本文試對(duì)高中數(shù)學(xué)概率的教育價(jià)值、概率的教學(xué)現(xiàn)狀以及概率教學(xué)應(yīng)遵循的原則做一探討。

一、概率的教育價(jià)值

概率是隨機(jī)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，起源于15世紀(jì)末卡丹與塔塔利亞合著的《博弈者入門》一書[1]。后經(jīng)巴斯卡（B.Pascal）、費(fèi)馬、Y．伯努利、龐加萊、希爾伯特等人的努力逐步發(fā)展和完善起來的。1935年柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕蕷w入測(cè)度論以后，概率得到了更為迅速的發(fā)展。我國(guó)在1963年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）中引人了概率，但未能長(zhǎng)期實(shí)施。這次《標(biāo)準(zhǔn)》中概率的內(nèi)容豐富而翔實(shí)，概率的教育價(jià)值得到了教育界的重視。

1.學(xué)習(xí)概率有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想。

概率論的知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的辯證思想，它是溝通偶然與必然、變與不變、有限與無限、確定與不確定、局部與整體的天然橋梁。概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學(xué)，它所研究的隨機(jī)現(xiàn)象是偶然的，但又具有一定的規(guī)律性，偶然中蘊(yùn)含著必然；概率是從頻率中抽象出來的，但一旦抽象出來以后，概率與頻率就有了本質(zhì)上的差別：事件的概率是一個(gè)常數(shù)，而頻率卻是一個(gè)隨機(jī)變量；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，頻率的穩(wěn)定值就是概率。這種過程體現(xiàn)了變與不變、有限與無限的相互轉(zhuǎn)化和辯證統(tǒng)一。當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生的概率已知時(shí)，我們還不能肯定該事件實(shí)際上會(huì)不會(huì)發(fā)生，如“中獎(jiǎng)率為1/1000的彩票，買1000張并不能保證一定能中獎(jiǎng)”，因此在確定中又存在著不確定；天氣預(yù)報(bào)說今天下雨，可今天實(shí)際是多云；投擲一枚硬幣，可能正面（國(guó)徽）向上也可能反面（文字）向上，結(jié)果是不確定的，可是經(jīng)過無數(shù)次的投擲，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其正面向上和反面向上的幾率是均等的。但這并不能保證投擲100次，正面向上50次，實(shí)際上正面向上50次的機(jī)會(huì)只有8%左右。通過實(shí)際投擲和計(jì)算讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)概率值的本質(zhì)；體會(huì)確定與不確定之間的辯證關(guān)系。在射擊試驗(yàn)中，射手射中某一環(huán)的概率是局部問題，如果全面考察各環(huán)則是涉及隨機(jī)變量分布列的全局問題。通過這些隨機(jī)現(xiàn)象，讓學(xué)生感知偶然與必然、變與不變、有限與無限、確定與不確定、局部與整體的對(duì)立與統(tǒng)一，這些都有助于學(xué)生辯證思想的培養(yǎng)。

2.學(xué)習(xí)概率有助于增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

概率論是不確定性數(shù)學(xué)的分支之一，屬時(shí)間數(shù)學(xué)（Mathematics of time）的范疇，它通過描述過去來預(yù)知未來。從本質(zhì)上說，隨機(jī)數(shù)學(xué)與確定數(shù)學(xué)僅僅是處理方法上的差別。隨機(jī)問題是高維的確定性問題作低維處理的一種方式，如每次擲色子的結(jié)果，應(yīng)該是其初始條件向量與過程中很多細(xì)微因素共同形成的，皆因現(xiàn)在無力探知掌握和控制它們，這才將其（很多因素）統(tǒng)一地以一個(gè)隨機(jī)因素來表示。從隨機(jī)數(shù)學(xué)的意義上講，確定數(shù)學(xué)建模中也丟掉了不少“弱”因素，本應(yīng)在確定模型后加上一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)ξ以表示一切丟掉了的多維隨機(jī)因素，皆因這些因素比較“弱”，處理時(shí)將它們省略了[2]。

事件與集合，概率與測(cè)度之間是十分相似的，把事件理解為基本空間Ω上的可測(cè)集，事件的概率理解為該集上的測(cè)度，定義事件域F 和概率測(cè)度P以后，概率空間（Ω，F(xiàn) ，P）便構(gòu)成一個(gè)復(fù)合的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，這樣古典概率的基本概念和理論就可以納入到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的行列。概率中的事件是集合的一種原型，集合及其運(yùn)算是概率中事件及其運(yùn)算的一種抽象，集合給事件提供了一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)刻畫手段，這些都能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象思維的層次性；而隨機(jī)變量是以前學(xué)習(xí)過的變量的擴(kuò)充，在離散型隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí)中，學(xué)生初步體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)基本的擴(kuò)充方式：內(nèi)容的擴(kuò)充（研究對(duì)象的擴(kuò)充）和研究方法的擴(kuò)充。在隨機(jī)變量及其分布列、分布函數(shù)的學(xué)習(xí)中學(xué)生能夠初步體會(huì)到“一條原則，無數(shù)內(nèi)容；一種方法，到處可用”（華羅庚語）的深刻內(nèi)涵。因此學(xué)習(xí)概率能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

3.學(xué)習(xí)概率有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活及其它學(xué)科的聯(lián)系。

概率是在解決各種實(shí)際問題的實(shí)踐中發(fā)展起來的，具有豐富的生活背景。從日常生活中的擲色子游戲、抽簽、抽獎(jiǎng)到百年一遇的洪澇災(zāi)害、每年數(shù)以萬計(jì)的交通事故、氣候的瞬息萬變、商界的各種風(fēng)險(xiǎn)投資、股票價(jià)格的波動(dòng)起伏等現(xiàn)象都是概率在現(xiàn)實(shí)生活中的原型，這些為概率提供了豐富的生活背景。而交通事故、氣候的瞬息萬變、商界的各種風(fēng)險(xiǎn)投資和股票價(jià)格的波動(dòng)起伏等也是其它學(xué)科要討論的問題。因此學(xué)習(xí)概率有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，體會(huì)概率在刻畫和解決實(shí)際問題中的作用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

4.學(xué)習(xí)概率有助于傳統(tǒng)教學(xué)方法的改變。

概率教學(xué)中存在著大量的實(shí)踐活動(dòng)，只有學(xué)生積極的參加了這些實(shí)踐活動(dòng)，才能真正掌握這些內(nèi)容，體會(huì)其中的思想內(nèi)涵。這些活動(dòng)將有效的改變教師和學(xué)生在教學(xué)中的地位，促進(jìn)教師教學(xué)方法和學(xué)生學(xué)習(xí)方法的改變。教師將由知識(shí)的傳授者變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，學(xué)生的學(xué)習(xí)也將由被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)探究。

二、概率教學(xué)的現(xiàn)狀

目前，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)基本上是為高考而教，高考考什么就教什么，高考怎么考就怎么教，概率的教學(xué)也遵循著這個(gè)不成文的規(guī)則，況且概率進(jìn)入高中課程的歷史只有短短的幾年，還沒有形成適合自己的教學(xué)方法和教學(xué)理念。

為了更好地了解高中數(shù)學(xué)教學(xué)中概率教學(xué)的情況，筆者對(duì)甘肅某中學(xué)的2位高中數(shù)學(xué)教師M和P進(jìn)行了訪談。他們對(duì)概率教學(xué)的方法、目標(biāo)和手段的看法如下：

1.教學(xué)方法以教師講授為主，學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)的機(jī)會(huì)很少。

M：高中的教學(xué)時(shí)間很緊，一般到高二必須將高中三年的內(nèi)容講完，高三一年用來全面的復(fù)習(xí)。一般不采用學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)的方法，我們非常仔細(xì)的講解，有些學(xué)生都跟不上節(jié)奏。

P：我們很少讓學(xué)生做試驗(yàn)，學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)一方面花的時(shí)間多，另一方面不利于知識(shí)的掌握且影響教學(xué)效果。我們學(xué)校的很多政策和學(xué)生的考試成績(jī)掛鉤。你的學(xué)生連續(xù)幾年考試成績(jī)不好，你的獎(jiǎng)金，你的職稱等都要受到影響。

2.教學(xué)目的是掌握考試大綱中的知識(shí)點(diǎn)。

M：平時(shí)的課堂上，教師會(huì)將考試大綱中要求的知識(shí)點(diǎn)、往年考過的知識(shí)向?qū)W生逐一說明，再三強(qiáng)調(diào)，可是有些學(xué)生還是老犯錯(cuò)誤。我也考慮過改變我的教學(xué)方法，也做過一些嘗試，感覺收益不大，比如以前上課時(shí)先將所有的知識(shí)點(diǎn)講完，然后再講例題做練習(xí)，后來改為邊講邊練，感覺還可以。好學(xué)生用什么方法都能行，有些學(xué)生不管用什么方法，總是跟不上。

P：教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)是計(jì)算概率、方差、隨機(jī)變量的分布列等，因?yàn)槊磕旮呖加幸粋€(gè)計(jì)算題，是大題。

實(shí)際上，普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（以甘肅省理科為例）近四年的高考中的概率與統(tǒng)計(jì)的分值在12~21分之間，題目基本上都是一些根據(jù)要求的簡(jiǎn)單計(jì)算。

據(jù)統(tǒng)計(jì)2006年該題甘肅理科考生的平均得分為3.56分[3]。應(yīng)該說這個(gè)得分是很不理想的，因此概率教學(xué)中存在的問題還是比較多的。

3.教學(xué)方式仍是一塊黑板，兩支粉筆，多媒體等教學(xué)設(shè)備幾乎沒用。

M：全校只有一個(gè)多媒體教室，一般公開課或上級(jí)檢查時(shí)才用。平時(shí)如果要用，提前2天要向教導(dǎo)處申請(qǐng)。再說，多媒體教室經(jīng)常不用，為了在多媒體教室上一次課，備課所用的時(shí)間比平時(shí)備課多得多。

P：我沒用多媒體上過課，去年X老師的公開課在多媒體教室上，我認(rèn)為數(shù)學(xué)課不適合用多媒體，老師一邊寫一邊說，學(xué)生有時(shí)候都跟不上。

分析以上內(nèi)容，可以看出，概率知識(shí)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程后，一方面由于高考指揮棒的作用，教學(xué)中存在急功近利的思想，對(duì)長(zhǎng)遠(yuǎn)育人重視不夠；二是教師的思想和理念未能與《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》接軌，出現(xiàn)《大綱》與《標(biāo)準(zhǔn)》和現(xiàn)行教學(xué)兩張皮的現(xiàn)象；再者，筆者通過與高中學(xué)生聊天的過程中發(fā)現(xiàn)，由于以前的高中數(shù)學(xué)中沒有概率知識(shí)，一些教師對(duì)大學(xué)中學(xué)習(xí)的這部分內(nèi)容已生疏，教學(xué)中講不到位或講不清楚的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。

三、概率教學(xué)應(yīng)遵循的原則

1.抽象與具體相結(jié)合的原則。

概率具有豐富的生活背景，彩票的中獎(jiǎng)率、投籃的命中率、藥品的有效率、隨機(jī)取數(shù)問題等都是概率在現(xiàn)實(shí)生活中的原型。這些問題學(xué)生在日常生活中都能感受到，這為理解概率的概念、隨機(jī)變量的概念及它們的性質(zhì)提供了直觀的、現(xiàn)實(shí)的背景。教學(xué)中，應(yīng)突出概率的這些生活背景，從實(shí)際問題出發(fā)，總結(jié)抽象出概率，遵循抽象與具體相結(jié)合的原則。如，在概率定義的教學(xué)中，教師可從藥品的有效率、投籃的命中率、彩票的中獎(jiǎng)率等學(xué)生較為熟悉的術(shù)語出發(fā)，引出概率的定義，學(xué)生容易理解；在離散型隨機(jī)變量的教學(xué)中，教師可利用擲硬幣、投籃等具體問題引導(dǎo)學(xué)生正確理解符號(hào){x=ξ}所表示的內(nèi)涵。掌握隨機(jī)變量x的分布列包含的兩個(gè)信息，一是x的全部取值（由x的意義確定）；二是x取每一值的概率；在均值與方差的教學(xué)中，教師可選取世界杯足球賽中幾個(gè)球隊(duì)的成績(jī)，讓學(xué)生對(duì)各球隊(duì)的成績(jī)利用均值與方差進(jìn)行分析，從而分析各球隊(duì)的整體情況。

2.滲透隨機(jī)思想方法的原則。

理解領(lǐng)會(huì)隨機(jī)思想和方法是高中概率教學(xué)的目標(biāo)，也是概率教學(xué)的歸宿。學(xué)生理解隨機(jī)思想的途徑很多，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手試驗(yàn)不失為一種好方法。通過試驗(yàn)，讓學(xué)生在做的過程中領(lǐng)會(huì)理解隨機(jī)思想。在高中的概率的教學(xué)中，教師應(yīng)通過日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)，正確理解概率和隨機(jī)變量的本質(zhì)，滲透隨機(jī)思想。例如讓每個(gè)學(xué)生拿出一枚硬幣，先說出擲后會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果，擲完后看是否和自己說的一致，擲二次、三次、四次等等，再看與判斷的是否一致。這樣通過師生互動(dòng)，理清“隨機(jī)”的內(nèi)涵，滲透隨機(jī)思想。在擲硬幣試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面（國(guó)徽）的概率為1/2，如前面所說根本不能保證擲100次，50次正面向上，但也不是說試驗(yàn)的結(jié)果是無法控制的。實(shí)際上由“中心極限定理”完全可以通過試驗(yàn)次數(shù)控制試驗(yàn)的結(jié)果。如果想讓正面向上的頻率在區(qū)間（0.45，0.55）內(nèi)的概率大于0.95，那么擲硬幣的次數(shù)要控制在384次以上。對(duì)于這些，試驗(yàn)前教師應(yīng)有明確的認(rèn)識(shí)，課堂上根據(jù)精度要求對(duì)學(xué)生的試驗(yàn)次數(shù)作必要的要求，只有這樣才能達(dá)到預(yù)期的目的。再如通過讓學(xué)生義務(wù)測(cè)量全校學(xué)生的身高和體重，描繪圖像看是否符合正態(tài)分布，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；計(jì)算全班生日相同的人數(shù)：如n個(gè)人的班級(jí)，一年（365天）中至少兩人生日在同一天的概率為，若n=55，則P≈0.99，在理論計(jì)算的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生實(shí)際調(diào)查，加深理論與實(shí)際的聯(lián)系，體會(huì)隨機(jī)思想的本質(zhì)。

3.信息技術(shù)與傳統(tǒng)教法相結(jié)合的原則。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可替代的作用。但計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)在概率教學(xué)中的應(yīng)用，可以提高數(shù)據(jù)整理的時(shí)間和顯示的效果，在建立、記錄和研究信息方面，為學(xué)生提供了一個(gè)良好的工具，可以使學(xué)生有充足的時(shí)間來探究概率的本質(zhì)。教學(xué)中教師指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器（機(jī)）等信息技術(shù)手段來處理問題，如，可以利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬擲硬幣的試驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中體會(huì)隨機(jī)的思想本質(zhì)。教學(xué)中教師盡可能的對(duì)一些典型試驗(yàn)利用電子課間進(jìn)行模擬，通過具體的圖形及動(dòng)態(tài)效果使學(xué)生對(duì)概率的基礎(chǔ)知識(shí)有更深刻的理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]高隆昌.數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)[M].北京:高等教育出版社；海德堡 施普林格出版社，2001：236.

[2]高隆昌.數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)[M].北京:高等教育出版社；海德堡 施普林格出版社，2001.236~237.

[3]閆沛蓮.2006年甘肅高考理科數(shù)學(xué)試題與考生答卷分析[DB/OL].中小學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)，www.zxxsxw.net.

[4]鐘志華.對(duì)高中新課程中概率教學(xué)的認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，(1):82~85.

[5]中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2003.

[6]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制教科書·數(shù)學(xué)[M].北京:人民教育出版社，2001.

[7]張德然，峁試松.高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中關(guān)于隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)[J].課程·教材·教法，2003，(9):39~42.

[8]張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學(xué)中的模式直觀[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，(1):1~4.

[9]張艷霞，龍開奮，張奠宙.數(shù)學(xué)教學(xué)原則研究 [J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2007，(2)：24~27.