摘 要：與傳統(tǒng)的立體幾何相比，新課標(biāo)下的立體幾何無論是從相關(guān)背景，還是從教學(xué)內(nèi)容上都發(fā)生了較大的變化。在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生通過自己觀察或操作形成感知和表象，進(jìn)而形成相關(guān)概念；培養(yǎng)學(xué)生自己進(jìn)行抽象、概括的能力；控制好有關(guān)論證和計(jì)算的難度；加強(qiáng)對(duì)直線的方向向量和平面的法向量的教學(xué)等。

關(guān)鍵詞：幾何；價(jià)值；變化；直觀；向量

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2008）09-0045-03

與傳統(tǒng)的立體幾何相比，新課標(biāo)下的立體幾何有很突出的變化。對(duì)照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）及《大綱》（9（A）方案）中有關(guān)立體幾何部分的相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)相關(guān)變化、變化背景及如何在教學(xué)中積極地適應(yīng)這種變化作些探討。希望能對(duì)理解新課標(biāo)下的立體幾何教學(xué)有所幫助。

一、相關(guān)變化背景

幾何學(xué)是伴隨著人類文明的進(jìn)步而發(fā)展起來的。古代的幾何學(xué)源于幾何圖形的度量。如公元前1800年左右的古埃及，因尼羅河的泛濫要求丈量土地的面積；中國(guó)西周時(shí)代，因天文學(xué)測(cè)量需要產(chǎn)生“勾三股四弦五”的幾何結(jié)論等。到公元前600年，以歐幾里得的《幾何原本》為代表的古希臘演繹幾何學(xué)，閃耀著理性思維的光芒。這種從幾何對(duì)象的定義和公認(rèn)的幾何公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推論得出新的幾何結(jié)論，最后形成幾何體系的思維過程，不僅能夠產(chǎn)生許多有關(guān)度量的實(shí)用結(jié)果，更成為人類構(gòu)建科學(xué)體系的一種普遍方法。再到文藝復(fù)興時(shí)期，笛卡爾發(fā)現(xiàn)用代數(shù)方法可以研究圖形的幾何性質(zhì)，劃時(shí)代地創(chuàng)立了解析幾何與坐標(biāo)方法，使得數(shù)量標(biāo)志幾何位置成為可能。此后的幾何學(xué)，一直沿著兩個(gè)方向發(fā)展：一是基于幾何直觀的綜合幾何學(xué)；另一方面，幾何學(xué)沿著解析幾何、向量幾何的方向發(fā)展。新課標(biāo)下的立體幾何內(nèi)容“立體幾何初步”和“空間向量和立體幾何”就是幾何學(xué)發(fā)展的兩個(gè)主要方向的體現(xiàn)。與傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)主要關(guān)注邏輯論證和幾何公理體系，側(cè)重于對(duì)幾何問題的思辨論證和計(jì)算不同，新課標(biāo)下的立體幾何，重視空間觀念、幾何直覺基礎(chǔ)之上的邏輯推理，重視“直觀感知，操作確認(rèn)，思辯論證，度量計(jì)算”的全過程。

二、相關(guān)變化

在內(nèi)容設(shè)計(jì)方面，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）采取了更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平的分層設(shè)計(jì)方式。在必修課程“幾何初步”中，主要通過直觀感知，操作確認(rèn)，獲得幾何圖形的性質(zhì)；并通過簡(jiǎn)單的推理，發(fā)現(xiàn)一些幾何性質(zhì)。而將要求較高的推理證明及空間角、距離的計(jì)算安排在選修2-1“空間向量和立體幾何”中。將原來的“多面體及歐拉公式”內(nèi)容安排在選修系列3“歐拉公式與閉曲線分類”專題中。增加了簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，臺(tái)體的表面積和體積等內(nèi)容。

在呈現(xiàn)形式方面，《標(biāo)準(zhǔn)》要求從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形，再以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。這種先整體后局部的展開方式，降低了立體幾何學(xué)習(xí)入門的門檻。將幾何知識(shí)生活化地體現(xiàn)出來，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)把握?qǐng)D形的能力、空間想像能力、幾何直觀的能力都有很大幫助。

在教學(xué)要求方面：

原《大綱》對(duì)“直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體”的教學(xué)要求（9（A）方案）

（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二側(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系。

（2）掌握兩條直線平行和垂直的判定定理；掌握兩條直線所成角和距離的概念。

（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成角、直線和平面距離的概念，了解三垂線定理及其逆定理。

（4）掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面的距離的概念；掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。

（5）進(jìn)一步熟悉反證法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問題。

（6）~（10）了解多面體、凸多面體、棱柱、棱錐、正多面體、球的概念；了解多面體和歐拉公式；掌握棱柱、正棱錐、球的性質(zhì)、球的表面積和體積公式；會(huì)畫直棱柱、正棱錐的直觀圖。

（11）通過圖形各種位置關(guān)系的教學(xué)，培養(yǎng)空間想像能力，發(fā)展邏輯思維能力，并培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)。

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“立體幾何初步”的教學(xué)要求：

空間幾何體

（1）利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)球及簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。

（2）能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易幾何體）的三視圖，能識(shí)別三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)畫法畫出它們的直觀圖。

（3）通過觀察兩種方法（平行投影和中心投影）畫出的視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。

（4）完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑物的視圖和直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。

（5）了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。

點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

（1）借助長(zhǎng)方體的模型，在直觀認(rèn)知和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理（平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理、平行公里和等角定理 （略）） 。

（2）以立體幾何上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定。

通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理。（定理略）對(duì)性質(zhì)定理要求“加以證明”。

（3）能應(yīng)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

對(duì)比兩種要求發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“空間幾何體”從原來的要求了解概念，掌握性質(zhì)，變?yōu)橐笳J(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)概念、性質(zhì)則降低了要求。對(duì)于點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，比較《大綱》中20多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，《標(biāo)準(zhǔn)》所羅列出的4個(gè)公理，1個(gè)定理，8個(gè)判定及性質(zhì)定理更具有基礎(chǔ)性，實(shí)用性。在要求上從掌握轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)有關(guān)線面平行、垂直關(guān)系性質(zhì)定理進(jìn)行證明，對(duì)相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知，操作確認(rèn)，在選修2－1中再用向量方法進(jìn)行加以證明。

三、幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)

（一）關(guān)于直觀感知，操作確認(rèn)。

幾何作為一種直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，在發(fā)展學(xué)生的直覺能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神方面具有獨(dú)特的價(jià)值。創(chuàng)新往往發(fā)端于直覺。與數(shù)學(xué)其它分支相比，幾何圖形的直觀形象為學(xué)生進(jìn)行自主探索、創(chuàng)新活動(dòng)提供了更為有利的條件。在幾何中，直觀思維占主導(dǎo)地位。學(xué)生在運(yùn)用觀察、操作、猜想、作圖、設(shè)計(jì)等手段探索研究幾何圖形性質(zhì)的過程中，獲得視覺上的愉悅，能增強(qiáng)探究的好奇心，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力，形成創(chuàng)新意識(shí)。

為更好挖掘幾何在這方面的教育價(jià)值，教學(xué)中可從以下方面加以關(guān)注。

1.關(guān)注學(xué)生自己通過觀察或操作形成感知和表象，進(jìn)而形成相關(guān)概念。

立體幾何中的命題都是在經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證后才能被稱為定理。但我們必須承認(rèn)，所有的定理只有在直覺理解，想通領(lǐng)悟的前提下才能被學(xué)生真正的接受。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說“一個(gè)數(shù)學(xué)主題只有在成為直覺上的顯然后，才算研究到家”。因此在教學(xué)中要幫助學(xué)生在生活中找出命題的原型，利用學(xué)生的生活體驗(yàn)和直觀感知，使其成為“直覺上的顯然”。而實(shí)物或生活的空間（如教室）及自己制作的模具都是很好的載體。

2.關(guān)注學(xué)生自己進(jìn)行抽象概括。

重視直觀，并不意味著處處都要到達(dá)直觀為止。從理解知識(shí)方面講，直觀只是一種手段，不是目的。《標(biāo)準(zhǔn)》在立體幾何模塊說明與建議中提出，“幾何教育應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)物模型的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言；通過了解平行，垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)幾何對(duì)象的位置關(guān)系”。因此，當(dāng)學(xué)生積累了一定的感性認(rèn)識(shí)后，就應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)他們進(jìn)行抽象、概括，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖和用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。

3.關(guān)注學(xué)生從整體把握?qǐng)D形的能力。

學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)往往是從整體到局部，特殊到一般。

例.利用多面體對(duì)稱性解題。

如圖1，是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的立方體，在AA1和BB1上如圖取出點(diǎn)P，Q，使A1P=BQ=1/4a，然后以過C，P，Q三點(diǎn)面截立方體，請(qǐng)問在切面下方的立體圖形體積是多少？

簡(jiǎn)析：過點(diǎn)P作底面的平行截面，則截面的下部分為長(zhǎng)方體。可以觀察出截面CPQ將此長(zhǎng)方體分成體積相等的兩部分。因切割后的長(zhǎng)方體體積是3/4a³，從而有所求立體圖形的體積為3/8a³。

（二）關(guān)于思辨論證，度量計(jì)算。

吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出：“對(duì)于研究空間形式，你要真正的騰飛，不通過數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好辦法。當(dāng)然歐幾里得幾何里漂亮的定理有的是，漂亮的證明有的是，可是就算你陷在里面，你也跑不了多遠(yuǎn)…”?？梢娪?jì)算在立體幾何中的重要性。而空間向量的引入為處理立體幾何中的推理論證及計(jì)算問題提供了新視角。向量是一個(gè)重要的代數(shù)研究對(duì)象，引進(jìn)向量運(yùn)算，使數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象發(fā)生了重大跳躍：從數(shù)、字母與代數(shù)式到向量，運(yùn)算從一元到多元。向量又是一個(gè)幾何對(duì)象，向量本身有方向，有方向就有角度和長(zhǎng)度，能刻畫直線、平面的有關(guān)位置關(guān)系。點(diǎn)乘、叉乘與圖形的面積、體積有直接關(guān)系。向量幾何為立體幾何中的證明、計(jì)算提供了現(xiàn)成的，規(guī)范的通性通法。一般地，建立了坐標(biāo)系便可著手計(jì)算，由計(jì)算結(jié)果得出幾何結(jié)論，大大減弱了推理論證的成分，避免構(gòu)作輔助面等過程。這種向量方法在今后的學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用。因此，我們教師自己首先要從對(duì)綜合法的眷戀中解脫出來，去發(fā)現(xiàn)向量幾何的無限魅力。教學(xué)中注意以下幾個(gè)方面：

1.在“立體幾何初步”的教學(xué)中控制好有關(guān)論證和計(jì)算的難易程度。

從《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“內(nèi)容和要求”看，立體幾何對(duì)推理論證能力的要求是通過分階段、分層次、多角度實(shí)現(xiàn)。因此在“立體幾何初步”的教學(xué)中，可以常見的立體幾何模型為載體，設(shè)計(jì)一定量的簡(jiǎn)單推理論證問題，重點(diǎn)在證明平行和垂直關(guān)系，使學(xué)生會(huì)進(jìn)行線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。而將較為復(fù)雜的證明和計(jì)算在“空間向量和立體幾何”的教學(xué)中再進(jìn)行研究。

2.加強(qiáng)對(duì)直線的方向向量和平面的法向量的教學(xué)。

在空間向量的應(yīng)用部分，著重介紹了直線的方向向量和平面的法向量的概念，這兩個(gè)概念的引入使得線線、線面、面面關(guān)系可以用簡(jiǎn)潔的向量語言表述；而有關(guān)位置關(guān)系的證明及空間角、距離的計(jì)算最終都指向這兩個(gè)向量的相關(guān)運(yùn)算。

3.幫助學(xué)生掃除用向量解決問題時(shí)的常見障礙。

一般來說用向量的坐標(biāo)運(yùn)算思維量較少，運(yùn)算技巧更低，解題中盡可能的采用坐標(biāo)形式運(yùn)算。因而建立起合適的坐標(biāo)系和準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)成為解題的關(guān)鍵。

例.如圖2，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿BD折到如圖PBD的位置，使面PBD⊥面BCD。

（1）求證CD⊥PB。（2）求二面角P-BC-D的余弦。（3）求點(diǎn)D到平面PBC的距離。

設(shè)計(jì)說明：在本例中，圖形中沒有顯性的空間直角坐標(biāo)系的模型，需要用綜合法對(duì)線面位置關(guān)系進(jìn)行分析，以BD的中點(diǎn)O作為原點(diǎn)（如圖3）建立起空間直角坐標(biāo)系展開運(yùn)算。

（三）綜合法和向量法結(jié)合利用。

向量作為溝通幾何和代數(shù)的重要量，教學(xué)中要從思想上引起足夠的重視。要習(xí)慣用向量的方法進(jìn)行解題，當(dāng)然，很多時(shí)候綜合法和向量法相互結(jié)合能更好的發(fā)揮兩種方法的長(zhǎng)處，避免短處。

對(duì)于幾何中嚴(yán)密的論證和計(jì)算，一方面我們要提高綜合法解決問題的能力，進(jìn)一步完善學(xué)生的推理能力；另一方面我們推崇向量法，利用空間坐標(biāo)向量間的簡(jiǎn)單性質(zhì)和計(jì)算解決問題。

在完成一輪新課標(biāo)下的立體幾何教學(xué)后，能感覺到學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何比原來輕松了。在立體幾何部分，學(xué)生個(gè)體間表現(xiàn)出的學(xué)習(xí)差距也在縮小。

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