許　昌

我們知道“反之”和“否則”是有嚴(yán)格的區(qū)別的. “反之”是反過來說與做，與此行為相反. “否則”是如果不是這樣，就……. 兩者的區(qū)別就是前者是指行為的反向行為，后者是指如果不執(zhí)行此行為，將會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)果. 在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到這兩個(gè)連接詞，例如：如果 a比b 大，那么這句話反之 a比b 小，否則a小于或者等于b . 因此反之不但否定了條件，還假定了一個(gè)反命題；而否則的范圍更大，只是否定了條件.

然而在初中數(shù)學(xué)的概率問題上，這兩個(gè)邏輯連接詞有時(shí)候區(qū)分就不大了. 本文從近三年來各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷中擷取幾例，加以分析，以供平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)及命題時(shí)參考.

1 比較大小時(shí)，“反之”不等于“否則”

例1 (2005年蘇州市中考試題)如圖1，小明、小華用4張撲克牌(方塊2、黑桃4、黑桃5、梅花5)玩游戲，他倆將撲克牌洗勻后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小華后抽，抽出的牌不放回.

(1)若小明恰好抽到了黑桃4.

①請(qǐng)?jiān)谙逻吙蛑欣L制這種情況的樹狀圖；

②求小華抽出的牌面數(shù)字比4大的概率.

(2)小明、小華約定：若小明抽到的牌面數(shù)字比小華的大，則小明勝；反之，則小明負(fù). 你認(rèn)為這個(gè)游戲是否公平?說明你的理由.

從試題命制者的意思來看，本題中“反之”兩字的意義是指除了“小明抽到的牌面數(shù)字比小華的大”之外的所有其他情況，即包括“小明抽到的牌的牌面數(shù)字比小華的小”或者“小明抽到的牌的牌面數(shù)字與小華相等”這兩種情況. 一般而言，這也是從生活語言的角度來理解“反之”兩個(gè)字的正確含義. 對(duì)于理解能力有限的初中學(xué)生來說，此題有兩個(gè)地方易引起歧義：一是將“反之”理解為相反的情況，即只包括小明抽到的牌的牌面數(shù)字比小華的小這種情況；二是在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來看，通常人們進(jìn)行打賭游戲時(shí)，兩個(gè)人抽到的牌的牌面數(shù)字相等，一般被認(rèn)為是平局. 可見，由于“數(shù)學(xué)邏輯”與“生活邏輯”用語的不同，影響到了考生正確的答題.

若將此題中的“反之”改用“否則”，則基本上可以避免上述歧義.

例2 (2007年遼寧十二市中考題)四張質(zhì)地相同的卡片如圖2所示. 將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上.

(1)求隨機(jī)抽取一張卡片，恰好得到數(shù)字2的概率；

(2)小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則見信息圖. 你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法說明理由，若認(rèn)為不公平，請(qǐng)你修改規(guī)則，使游戲變得公平.

分 析 命題者給出的第(2)小題參考解答如下：從表(或樹狀圖)中可以看出所有可能結(jié)果共有16種，符合條件的有10種，

從試題命制者的意思來看，本題中“反之”兩字的意義是“兩位數(shù)大于32”. 同樣對(duì)于理解能力有限的初中學(xué)生來說，容易將“反之”理解為相反的情況，即只是大于32的情形. 但由“反之”本身的含義我們可以知道，容易造成的歧義是“兩位數(shù)不小于32”，那么這里的“32”到底算是小貝勝，還是小晶勝呢?

若將此題中的“反之”改用“否則”，則基本上可以避免出現(xiàn)歧義. 可見，在編制試題時(shí)，在考慮科學(xué)性的同時(shí)，還應(yīng)該考慮初中學(xué)生的理解能力及人們實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn).

2 判斷奇偶時(shí)，“反之”等于“否則”

例3 (2006年衡陽中考試題)A、B兩個(gè)口袋中均有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的相同的球，甲、乙兩人進(jìn)行玩球游戲. 游戲規(guī)則是：甲從A袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，乙從B袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，當(dāng)兩個(gè)球上所標(biāo)數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲贏，否則乙贏. 問這個(gè)游戲公平嗎?為什么?

如果本題把“當(dāng)兩個(gè)球上所標(biāo)數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲贏，否則乙贏”改為“當(dāng)兩個(gè)球上所標(biāo)數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲贏，反之乙贏”沒有任何影響，題意依然沒有改變. 因?yàn)楝F(xiàn)在結(jié)果就只有兩個(gè)方面，要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù).

3 敘述清楚時(shí)，避免“反之”，“否則”

例4 (2007年瀘州中考題)在一個(gè)不透明的盒子中裝著分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)完全相同的小球，現(xiàn)在甲、乙兩位同學(xué)做游戲，游戲規(guī)則是：“甲先從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字后放回，乙再從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，也記下小球上的數(shù)字放回，則游戲結(jié)束. 若記下的數(shù)字甲比乙大，則甲獲勝；若記下的數(shù)字甲不比乙大，則乙獲勝”.

(1)用樹狀圖分析此游戲有多少種可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)該游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎?說明理由.

例5 (2007年常州市中考題)A口袋中裝有2個(gè)小球，它們分別標(biāo)有數(shù)字1和2；B口袋中裝有3個(gè)小球，它們分別標(biāo)有數(shù)字3，4和5. 每個(gè)小球除數(shù)字外都相同. 甲、乙兩人玩游戲，從A，B兩個(gè)口袋中隨機(jī)地各取出1個(gè)小球，若兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲贏；若和為奇數(shù)，則乙贏. 這個(gè)游戲?qū)?、乙雙方公平嗎?請(qǐng)說明理由.

分析 在這兩個(gè)案例中，命題者有效的避免了“反之”和“否則”的尷尬，而直接的指出了另一個(gè)方面的情況：如例4中“若記下的數(shù)字甲不比乙大，則乙獲勝”，以及例5中“若和為奇數(shù)，則乙贏”都說明了試卷命題者故意避開這兩個(gè)“模糊”的詞語，為理解題意掃清了障礙. 筆者建議：“反之”，“否則”是有本質(zhì)區(qū)別的連接詞，有時(shí)“否則”比“反之”的范圍可能更大，但考慮到初中學(xué)生的理解能力及人們實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，希望試題命題者避免“反之”、“否則”的使用，而以例4及例5為參考，把相反的情況說出來，使學(xué)生不會(huì)陷入“反之”、“否則”的文字游戲中.

作者簡(jiǎn)介：許昌，1981年4月生，大學(xué)本科，中學(xué)二級(jí)教師.

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