潘亦寧

在初等數(shù)學的教學當中，無理數(shù)是一個非常重要的內(nèi)容. 從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)也具有極其重大的意義. 因此，在教學中適當介紹無理數(shù)的發(fā)展歷史是十分必要的.

1 畢達哥拉斯學派與無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

無理數(shù)最早是由古希臘的畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)的. 畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—前497)是希臘演繹數(shù)學的鼻祖之一，生于靠近小亞細亞海岸的薩摩島. 據(jù)說他曾跟隨著名的泰勒斯(Thales of Miletus， 約公元前625—前547)學習過，青年時還到埃及和巴比倫游歷，回到希臘后定居于今天意大利南部沿海的克洛托內(nèi)，并在那里建立了一個秘密會社，也就是今天所說的畢達哥拉斯學派. 這是一個宗教、科學和哲學性質(zhì)的會社，會員人數(shù)是限定的，由領(lǐng)導人傳授知識，會員必須對學派中所傳授的知識保密. 后來，畢達哥拉斯本人由于參與政治斗爭而于公元前497年被害，但是學派的其他成員仍然活躍在希臘的各個學術(shù)中心.

畢達哥拉斯本人沒有著作傳世，今天所說的畢達哥拉斯學派的數(shù)學成就是該學派成員的共同成果. 這些成果的大部分后來都收錄在歐幾里得(Euclid of Alexandria， 約公元前300)的《幾何原本》. 盡管我們今天把很多幾何成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派最基本的信條卻是“萬物皆數(shù)”. 他們認為人們所知道的一切事物都包含數(shù)，如果沒有數(shù)就既不可能表達也不可能理解任何事物. 事實上，畢達哥拉斯學派所說的數(shù)僅指整數(shù)，分數(shù)則被看成兩個整數(shù)之比. 他們相信任何量都可以表示成兩個整數(shù)的比，這在幾何上相當于說，對任何兩條給定的線段，總能找到某第三線段，以它為單位線段可以將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段. 這樣的兩條給定線段被稱為可公度量，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，相應的，不能這樣表達的量被稱為不可公度量. 后來畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)并不是任何兩條線段都是可公度的，例如單位正方形的對角線與邊長就不可公度，即與1不能公度. 據(jù)說不可公度量最早是由學派成員希帕蘇斯(Hippasus， 公元前470年左右)發(fā)現(xiàn)的. 當時學派成員正在海上集會，因為這一發(fā)現(xiàn)而將希帕蘇斯投到海里，因為他在宇宙間搞出這樣一個東西，否定了畢達哥拉斯學派萬物皆數(shù)的信條.

2與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的. 據(jù)亞里士多德記載，他們用的是反證法. 假設(shè)2是有理數(shù)，那么2可以表示為a∶b，a、b為互素的整數(shù). 又由2a2=b2輇為偶數(shù)，設(shè)b=2c2a2=4c2輆2=2c2輆為偶數(shù). 這與a、b互素矛盾!這與今天的證明是一致的.

很快人們就發(fā)現(xiàn)了除2以外的其它一些無理數(shù)，這些發(fā)現(xiàn)動搖了古希臘數(shù)學信仰的基礎(chǔ)，因此有時也被稱為第一次數(shù)學危機. 這一危機因為歐多克斯重新定義比例論而得到暫時的緩解.

2 歐多克斯比例論

公元前408年，歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)出生于小亞細亞的奈達斯，跟隨畢達哥拉斯學派的阿契塔斯(Archytas， 約公元前375)學習過，曾到埃及游歷過，回到希臘后創(chuàng)立了自己的學派，即今天所說的歐多克斯學派. 公元前368年他帶領(lǐng)自己的門徒一起加入了著名的柏拉圖學派. 歐多克斯是古希臘時代偉大的天文學家、幾何學家、醫(yī)生和地理學家. 他在數(shù)學上的重大貢獻是引入了關(guān)于比例的一個新理論.

越來越多無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)迫使希臘數(shù)學家不得不研究這些數(shù). 它們確實是數(shù)嗎?以前用于可公度的長度、面積和體積的證明怎樣才能推廣到不可公度的這些量呢?為了解決這些問題，歐多克斯首先引入了“量”的概念. 這里的量不是數(shù)，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等. 量與數(shù)的不同在于，數(shù)是離散的，即可數(shù)的，而量可以是連續(xù)的. 歐多克斯由量的概念出發(fā)給出了一種新的比例論. 歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論. 其定義為：設(shè)A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類. 如果對于任何兩個正整數(shù)m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相應地取決于mC大于、等于、小于nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即A，B，C，D四量成比例.

通過這一新的比例論，希臘數(shù)學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾，但這樣做也帶來了一些其它的后果. 歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數(shù)當作數(shù). 這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據(jù)，但是也將數(shù)同幾何截然分開，而且使希臘數(shù)學的重點從數(shù)轉(zhuǎn)向了幾何，因為幾何可以處理無理數(shù). 在此后的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數(shù)學的基礎(chǔ)，而算術(shù)和代數(shù)則沒有取得獨立的地位. 我們可以看出，歐多克斯的比例論實際上并沒有給無理數(shù)提供可靠的算術(shù)理論基礎(chǔ)，在很長的時間里，西方數(shù)學家都必須用幾何來嚴格處理連續(xù)量.

3 東方數(shù)學中的無理數(shù)

與希臘人不同，中國古代數(shù)學家是在開方(即解方程)的過程中遭遇無理數(shù)的. 最早記錄無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的是《九章算術(shù)》. 這是中國古典數(shù)學中最重要的一部數(shù)學著作，至遲在公元前1世紀已經(jīng)成書. 該書由西漢張蒼、耿壽昌等人對當時流傳的自先秦以來的數(shù)學知識進行刪補而成. 全書采用問題集的形式，共246個問題，分為九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股. 其中“少廣”章中的“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”給出了開平方和開立方的算法. 在這種對整數(shù)開方的過程中必然會遇到開方不盡的情況. 《九章算術(shù)》對開方不盡的數(shù)起了一個新的名字，叫做“面”. 例如面積為2的正方形求邊長時，應對2開平方，而結(jié)果是開不盡的，于是稱面積為2的正方形的邊長為2“面”. 這是中國傳統(tǒng)數(shù)學中對無理數(shù)的最早記載.

古希臘數(shù)學家從不可公度性發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，歐多克斯為了解決不可公度在邏輯上的矛盾而重新定義了比例，但是這樣做的結(jié)果是避免承認無理數(shù)是真正的數(shù). 中國人則從一開始就很坦然地接受了這種新的數(shù)，并且在計算中也很隨意地使用它們. 在無理數(shù)的表示方面做出重大貢獻的是中國古代數(shù)學泰斗劉徽. 劉徽是三國時期魏國人，他在數(shù)學上的主要成就是對《九章算術(shù)》做注釋. 《九章算術(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨立的著作，它奠定了劉徽在中國數(shù)學史上的不朽地位. 劉徽在注釋《九章算術(shù)》少廣章中的開方術(shù)時提出了用十進分數(shù)求無理數(shù)近似值的方法. 當某一整數(shù)單位(例如尺)開方不盡時，可以用該單位的110，1100等為新單位繼續(xù)開方. 這種方法被稱為求微數(shù). 正是使用求微數(shù)的方法，劉徽才將圓周率精確到3.1416的較好結(jié)果. 唐代以后，十進小數(shù)獲得了廣泛的應用，到宋元時期秦九韶等人已經(jīng)可以用十進小數(shù)求高次方程無理根的近似值. 中國古代數(shù)學家正是通過無理數(shù)的近似表示來對其進行各種運算的. 印度和阿拉伯的數(shù)學家也認為無理數(shù)是真正的數(shù)，并且用有理數(shù)的運算法則來計算無理數(shù).

4 無理數(shù)的發(fā)展與定義

中世紀過后，歐洲數(shù)學逐漸復蘇. 受到東方數(shù)學的影響，算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展首先取得了突出成就. 到16、17世紀，歐洲人對無理數(shù)的使用已經(jīng)越來越廣泛了，但對無理數(shù)究竟是不是真正的數(shù)卻產(chǎn)生了分歧. 德國數(shù)學家斯蒂弗爾(M. Stifel， 1487—1567)在其著作《整數(shù)算術(shù)》中討論用十進小數(shù)的記號表示無理數(shù)的問題時，認為無理數(shù)不能被準確掌握，因而不是真正的數(shù). 其后的帕斯卡和牛頓等人仍持這一觀點. 其他一些人則肯定認為無理數(shù)是獨立存在的數(shù). 荷蘭數(shù)學家史蒂文(S. Stevin， 1548—1620)承認無理數(shù)是數(shù)，并用有理數(shù)來逼進它們. 笛卡兒也承認無理數(shù)是能夠代表連續(xù)量的抽象的數(shù). 然而直到18世紀數(shù)學家們都沒有弄清楚無理數(shù)的概念，無理數(shù)理論的真正建立要到19世紀才完成.

在19世紀，最早對無理數(shù)進行處理的是愛爾蘭數(shù)學家哈密頓(W. R. Hamilton， 1805—1865). 他在1833—1835年發(fā)表《代數(shù)學作為純時間的科學》，把有理數(shù)和無理數(shù)的全體一起放在時間概念的基礎(chǔ)上. 他還提出用劃分有理數(shù)的方法來定義無理數(shù)，遺憾的是最終沒能完成. 在魏爾斯特拉斯(K. Weierstrass， 1815—1897)建立完善的無理數(shù)理論以前，柯西(Cauchy， 1789—1851)關(guān)于無理數(shù)是有理數(shù)列極限的概念被廣泛采用. 然而，除非無理數(shù)已經(jīng)有了定義，否則這樣一個數(shù)列的極限在邏輯上是不存在的. 1859年魏爾斯特拉斯在柏林的授課中建立了無理數(shù)的理論，但是長期以來并沒有發(fā)表. 1869年法國數(shù)學家梅雷(H. C. R. Meray， 1835—1911)在有理數(shù)的基礎(chǔ)上給出了無理數(shù)的一個定義，這個定義與康托爾(G. Cantor， 1845—1918)所給的定義相同. 目前為大家廣泛接受的是德國數(shù)學家戴德金(R. Dedekind， 1831—1916)1872年在《連續(xù)性與無理數(shù)》中給出的無理數(shù)定義.

無理數(shù)的各種定義在實質(zhì)上是十分相似的，這里僅介紹戴德金的定義. 戴德金是在直線劃分的啟發(fā)下來定義無理數(shù)的，其核心是“分割”的概念. 一個分割把所有的有理數(shù)分成兩類，使得第一類中的每一個數(shù)都小于第二類中的每一個數(shù). 若干用A1與A2表示這兩類，則(A1，A2)表示這個分割. 在一些分割中，或者A1中有最大數(shù)，或者A2中有最小數(shù)，這樣的分割是由有理數(shù)確定的. 但是存在著不是由有理數(shù)確定的分割. 例如，把所有平方小于2的有理數(shù)放在第一類，其它放在第二類，這個分割就不是由有理數(shù)確定的. 從而每一個這樣的分割對應于唯一的一個無理數(shù). 接著戴德金又定義了兩個分割的大小關(guān)系及其運算. 除了這種定義外，史托爾茨(Otto Stolz， 1842～1905)在《一般算術(shù)教程》中證明了每一個無理數(shù)可以表達成無限不循環(huán)小數(shù). 這也是我們今天定義無理數(shù)的常用方法.

至此，在古希臘時期就被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)終于有了嚴格的定義. 從上述定義我們可以看出，無理數(shù)的邏輯定義是頗有些不自然的. 邏輯地定義出來的無理數(shù)是一個智慧的怪物. 這也正是長期以來數(shù)學家們覺得無理數(shù)難以掌握的真正原因. 事實上，直到19世紀一些保守的數(shù)學家仍然不接受這樣的無理數(shù)理論，例如克洛耐克和漢克爾就持反對意見. 雖然如此，嚴格的無理數(shù)理論的建立仍然是現(xiàn)代分析學和幾何學發(fā)展的基礎(chǔ)，是數(shù)學發(fā)展史上一次重大的進步.

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