萬(wàn)樹(shù)林　王洪龍

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“概率”作為新增加的學(xué)習(xí)內(nèi)容后，課改區(qū)的中考試題中就出現(xiàn)了大量與概率有關(guān)的題目，這類問(wèn)題緊密聯(lián)系生活實(shí)際，生動(dòng)有趣，但題型千變?nèi)f化，解題思維靈活. 同學(xué)們?cè)诮獯鹚鼈儠r(shí)，首先要認(rèn)真審題，弄清楚其結(jié)構(gòu)；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理的、恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理. 列表法和樹(shù)狀圖法是解答概率問(wèn)題最基本、最常的方法. 下面我們通過(guò)列舉例題(所選例題均為2007年各地的中考題)來(lái)說(shuō)明概率的常用計(jì)算方法.

1 利用總概率為1計(jì)算

例1 (貴陽(yáng)市)在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率是0.12，則不中獎(jiǎng)的概率是.

分析 因?yàn)橹歇?jiǎng)與不中獎(jiǎng)的總概率為1，知道了中獎(jiǎng)的概率，不中獎(jiǎng)的概率可直接用減法求出.

解 因?yàn)橹歇?jiǎng)的概率是0.12，所以不中獎(jiǎng)的概率為1-0.12=0.88.

2 利用概率的計(jì)算公式計(jì)算

例2 (青島市)隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( ).

分析 為分析方便，我們記正面朝上為1，反面朝上為0，則隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況有四種：(1，0)、(0，1)、(1，1)、(0，0). 在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，所以根據(jù)概率的計(jì)算公式可求出.

解 從上面的分析可看出，則隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況共有四種，在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，根據(jù)概率的定義可知，落地后至少有一次正面朝上的概率P=正面朝上的次數(shù)所有情況=34. 故應(yīng)選A.

3 用頻率估計(jì)概率

例3 (河北省)在一個(gè)暗箱里放有a個(gè)除顏色外其他完全相同的球，這a個(gè)球中紅球只有3個(gè).每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色再放回暗箱. 通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是( ).

A.12 B.9 C.4 D.3

分析 根據(jù)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，可以估計(jì)摸到紅球的概率. 根據(jù)概率的計(jì)算公式可求出暗箱中紅球的個(gè)數(shù).

解 因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在25%，所以可知摸到紅球的概率為25%，從而得到3a=25%，解得a=12. 故選A.

4 列表法

例4 (江西省)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫著如圖所示的圖示的圖形，活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式：

①AB=CD；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張. 請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列兩個(gè)問(wèn)題：

(1)當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由；

(2)請(qǐng)你用樹(shù)狀圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號(hào)表示)，并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片的等式為條件，使△BEC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.

分析 (1)根據(jù)等腰三角形的判定條件可以判定當(dāng)抽得①和②時(shí)，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形. 要證明△BEC是等腰三角形，只要證明BE=CE即可.(2)用列表法列出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，根據(jù)等腰三角形的判定條件可求出不能夠成等腰三角形的結(jié)果數(shù)，這樣根據(jù)概率的計(jì)算公式可得.

解 (1)能.

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE怠鱀CE.

所以BE=CE，所以△BEC是等腰三角形.

(2)抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：

說(shuō)明 本題的第二問(wèn)也可以用樹(shù)狀圖法表示出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而得到答案.

5 樹(shù)狀圖法

例5 (金華市)水果種植大戶小方，為了吸引更多的顧客，組織了觀光采摘游活動(dòng). 每一位來(lái)采摘水果的顧客都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四張外形完全相同的卡片，抽獎(jiǎng)時(shí)選隨機(jī)抽出一張卡片，再?gòu)暮凶又惺Ｏ碌?張中隨機(jī)抽取第二張.

(1)請(qǐng)利用樹(shù)狀圖(或列表)的方法，表示前后兩次抽得的卡片所有可能的情況；

(2)如果抽得的兩張卡片是同一種水果圖片就可獲得獎(jiǎng)勵(lì)，那么得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是多少?

分析 (1)直接畫出樹(shù)狀圖；(2)根據(jù)樹(shù)狀圖可知抽得卡片的情況總數(shù)，在這些情況中先判斷出獲得獎(jiǎng)勵(lì)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率的計(jì)算公式可解.

(2)從上面的樹(shù)狀圖可以看出，抽得卡片的情況共有12種，在這12種情況中，只有4種情況可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，故獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率：P=獲獎(jiǎng)的情況數(shù)總的情況數(shù)=412=13.

另外，此題也可以用列表的方法求得.

從上面所舉的例題可以看出，有關(guān)概率的題目立意新穎，都有著一定的生活背景，這些背景取材于學(xué)生的生活實(shí)際，符合學(xué)生的認(rèn)知和心理特點(diǎn)，對(duì)于這樣的問(wèn)題，學(xué)生是非常感興趣的.在解答的過(guò)程中學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理的方法，如，例4的第(1)問(wèn)實(shí)際上是證明一個(gè)三角形是等腰三角形. 本題改變了傳統(tǒng)的命題方式，并沒(méi)有讓學(xué)生直接證明在AB=DC和∠ABE=∠DCE的條件下△BEC是不是等腰三角形，然后再給出證明. 這種方式比以前的命題方式要好得多. 學(xué)生在解答的同時(shí)經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展了他們的合情推理能力和初步的演繹推理能力，這種“以理服人”的好習(xí)慣、好品質(zhì)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)都是有益的.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”