沈新權(quán)　劉　舸

1． 若x2+6的二項(xiàng)展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為，則a=（用數(shù)字作答）.

2. 一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下表所示：

則樣本在（10，50］上的頻率為.

３． 古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.現(xiàn)將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A出現(xiàn)的概率是

（結(jié)果用數(shù)值表示）.

４. 給出下列四個(gè)命題：

①函數(shù)f（x）＝ｘ｜ｘ｜+ｂｘ+ｃ為奇函數(shù)的充要條件是ｃ＝0；

②函數(shù)ｙ＝2-ｘ（ｘ＞0）的反函數(shù)是ｙ＝-ｌｏｇ 2 ｘ（0＜ｘ＜1）；

③若函數(shù)f（x）＝ｌｇ（ｘ2+ａｘ-ａ）的值域?yàn)镽，則ａ＜-4或ａ＞0；

④若函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)ｙ＝f（x）的圖像關(guān)于直線ｘ＝0對(duì)稱．

其中所有正確命題的序號(hào)是.

５. 已知ｓｉｎθ＝，ｃｏｓθ＝，＜θ＜π，則tan=.

６． 設(shè)函數(shù)f（x）=為奇函數(shù)，則ａ＝．

７． 如圖１所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝ｍ，＝ｎ，則ｍ+ｎ的值為.

８. 直線ｌ過(guò)拋物線ｙ2＝ａ（ｘ+1）（ａ＞0）的焦點(diǎn)，并且與ｘ軸垂直，若ｌ被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則ａ＝.

９. 已知f（x）=，ｇ（x）=，則f（1）ｇ（3）+ｇ（1）f（3）-ｇ（4）=

，f（3）ｇ（2）+ｇ（3）f（2）-ｇ（5）=.由此概括出關(guān)于函數(shù)f（x）和ｇ（x）的一個(gè)等式，使上面的兩個(gè)等式是你寫出的等式的特例，這個(gè)等式是.

１０． 若數(shù)列｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式ａｎ＝，記f（ｎ）＝2（1-ａ1）（1-ａ2）·…·（1-ａｎ），試推測(cè)出f（ｎ）＝.

１１. 在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成的如圖２（ａ）所示的六邊形（圖中圓圈表示珠寶），第三件首飾如圖2（ｂ）所示，第四件首飾如圖２（ｃ）所示，第五件首飾如圖２（ｄ）所示.以后每件首飾都在前一件的基礎(chǔ)上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，構(gòu)成更大的六邊形.依此推斷第6件首飾上應(yīng)有

顆珠寶，第ｎ件首飾所用的珠寶數(shù)為.

１２. 已知函數(shù)f（x）＝ａｘ3+ｂｘ+4（ｘ∈R），若f（-2）＝5，則f（2）＝.

１３． 若a=1，b=2，ａ⊥（ａ-ｂ），則向量ａ與ｂ的夾角為.

１４. 若曲線ｙ2＝ｘ+1與直線ｙ＝ｋｘ+ｂ沒(méi)有公共點(diǎn)，則ｋ，ｂ分別應(yīng)滿足的條件是.

１５． 已知ｘ，ｙ滿足ｘ-ｙ≤1，2ｘ+ｙ≤4ｘ≥1；，則函數(shù)ｚ＝ｘ+3ｙ的最大值是.

１６. 對(duì)ａ，ｂ∈R，記ｍａｘ｛ａ，ｂ｝＝ａ（ａ≥ｂ），ｂ（ａ＜ｂ）；則函數(shù)f（x）＝ｍａｘ｛ｘ+1，ｘ-2｝（ｘ∈R）的最小值是.

１７． 在平面幾何中有如下特性：從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值.類比上述性質(zhì)，請(qǐng)敘述在立體幾何中相應(yīng)的特性（不必證明）.類比性質(zhì)敘述如下：.

１８. 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB與AC垂直，則AB2+AC 2＝BC 2”.拓展到空間，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面 ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，則 .”

【參考答案】

1． 2 （直接展開(kāi)計(jì)算）

2．（直接計(jì)算）

3．（直接計(jì)算：把“金、木、土、水、火”依次編號(hào)為1,2，3,4，5進(jìn)行排序，排法總數(shù)為＝120種，滿足條件的排序?yàn)椋?0種，可得事件A出現(xiàn)的概率是）

4． ①②③ （特征分析：對(duì)于④，函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ-1）是偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于直線ｘ＝0對(duì)稱．由于函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像可以由函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ-1）的圖像向左平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像關(guān)于直線ｘ＝-1對(duì)稱）

5． 5 （特征分析：利用ｓｉｎ2θ+cos2θ=1的特征，將條件代入可求得m=0或m=8， ∴ cosθ=（舍去）或cosθ=-， ∴ tan==5）

6． -1 （取特殊值： ∵ ｆ（1） +ｆ（-1）=0， ∴ 2（1+ａ）+0＝0，即ａ＝-1）

7． 2 （取特殊位置：令點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，則ｍ＝ｎ＝1，故ｍ+ｎ＝2）

8． 4 （取特殊函數(shù)：拋物線ｙ2＝ａ（ｘ+1）與拋物線ｙ2＝ａｘ具有相同通徑長(zhǎng)，故可用標(biāo)準(zhǔn)方程ｙ2＝ａｘ替換一般方程ｙ2＝ａ（ｘ+1）求解，故由通徑長(zhǎng)公式得ａ＝4）

9． 0，0， ｆ（ｍ）ｇ（ｎ）+ｇ（ｎ）ｆ（ｍ）-ｇ（ｍ+ｎ）＝0 （計(jì)算后發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

10．（發(fā)現(xiàn)規(guī)律：計(jì)算得ｆ（1）＝，ｆ（2）＝，ｆ（3）＝，…，推測(cè)ｆ（ｎ）＝）

11． 66，2ｎ2-ｎ （發(fā)現(xiàn)規(guī)律：記第ｎ件首飾的珠寶數(shù)為ａｎ.由ａ1＝1，ａ2＝ａ1+5，ａ3＝ａ2+5+4，ａ4＝ａ3+5+2×4，ａ5＝ａ4+5+3×4，…，得ａｎ＝ａｎ-1+5+（ｎ-2）×4，即ａｎ-ａｎ-1＝4ｎ-3，易得ａｎ＝2ｎ2-ｎ）

12． 3 （構(gòu)造新模型：令ｇ（ｘ）＝ａｘ3+ｂｘ，則ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）+4.易知ｇ（ｘ）為奇函數(shù)，則 ｆ（-2）＝ｇ（-2）+4＝-ｇ（2）+4＝5， ∴ g（2）=-1， ∴ ｆ（2）=g（2）+4=-1+4=3）

13．（構(gòu)造新模型：根據(jù)ａ⊥（ａ-ｂ）構(gòu)造直角三角形，ｂ對(duì)應(yīng)斜邊，ａ與ａ-ｂ 對(duì)應(yīng)直角邊）

14． ｋ＝0，ｂ∈（-1，1） （數(shù)形結(jié)合：作函數(shù)ｙ2＝ｘ+1＝ｘ+1（ｘ≥0），-ｘ+1（ｘ＜0）的圖像（見(jiàn)圖3），得ｋ＝0，ｂ∈（-1，1））

15． 7 （數(shù)形結(jié)合：根據(jù)條件畫(huà)出可行域，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（1，2）時(shí)，ｚｍａｘ＝1+6＝7 ）

16． （數(shù)形結(jié)合：作出函數(shù)f（x）＝ｍａｘ｛ｘ+1，ｘ-2｝（ｘ∈R）的圖像（見(jiàn)圖4實(shí)線部分），從圖像上觀察可得，在ｘ＝處取得最小值）

17． （答案不唯一，下列答案中任一皆可）從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離之比為定值；或從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離之比為定值；或在空間，從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離之比為定值；或在空間，射線OD上任意一點(diǎn)P到任意射線OA，OB，OC的距離之比為定值；或在空間，射線OD上任意一點(diǎn)P到任意平面AOB，BOC，COA的距離之比為定值. （類比轉(zhuǎn)化）

18． ++= （類比轉(zhuǎn)化）

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”