“圓內(nèi)接四邊形中兩組對(duì)邊的積的和等于兩對(duì)角線(xiàn)的積”，這是著名的托勒密定理. 眾所周知，它在幾何領(lǐng)域特別是圓這一內(nèi)容中有著極為重要的作用. 然而，很多人不清楚它其實(shí)在代數(shù)研究中也有著舉足輕重的作用，甚至在某些代數(shù)問(wèn)題的解決中，特別在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)中扮演了一個(gè)非?；钴S的角色.

1 定理內(nèi)容

圖１已知：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,則有：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

證明：作∠2=∠1，顯然可得：△APB∽△ACD，△ADP∽△ABC，所以AB·CD=AC·BP,BC·AD=AC·PD,所以AB·CD+BC·AD=AC·（PB+PD）=AC·BD.

定理揭示了幾何元素間的有關(guān)關(guān)系,但我們完全不必要拘泥于幾何中,只要把相關(guān)的幾何量用習(xí)慣的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示,即設(shè)AB=a,CD=b,BC=c,AD=d,AC=e,則定理即可寫(xiě)成:ab+cd=ef(*).這樣原本幾何量間的關(guān)系式轉(zhuǎn)變成了數(shù)量間的結(jié)構(gòu)式(*)了,也就是說(shuō),凡滿(mǎn)足了(*)式的形式即可去嘗試構(gòu)造圖1的幾何圖形,很多問(wèn)題也都能迎刃而解了.

2 證明等式問(wèn)題

托勒密定理作為揭示圓內(nèi)接四邊形中邊與對(duì)角線(xiàn)的特定關(guān)系定理，在幾何中起著獨(dú)特的作用. 然而,我們將其“移植”到代數(shù)中，更是起到了如此“妙不可言”的作用，正所謂：數(shù)形結(jié)合、以形促數(shù)、其妙無(wú)比啊!

作者簡(jiǎn)介 源穗寧，男，1962年出生畢業(yè)于浙江寧波師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，本科學(xué)歷，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師現(xiàn)任教于寧波惠貞書(shū)院《提高學(xué)生想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維》2001年4月發(fā)表于《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》，《一道習(xí)題教學(xué)的一些探索》2001年4月發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，《初中數(shù)學(xué)學(xué)困生觀察特征分析》2003年4月發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》《冷眼旁觀新課改》2007年6月發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>