文章編號(hào)：1672-5913(2008)06-0066-03

摘要：本文根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹了四種構(gòu)建二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的方法。

關(guān)鍵詞：二叉樹；鏈表；存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)；遞歸

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

1引言

《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告暨專業(yè)規(guī)范》中將“計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)”專業(yè)名稱下的人才培養(yǎng)規(guī)格歸納為三種類型、四個(gè)不同的專業(yè)方向：科學(xué)型(計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)方向)、工程型(包括計(jì)算機(jī)工程專業(yè)方向和軟件工程專業(yè)方向)、應(yīng)用型(信息技術(shù)專業(yè)方向)。“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”課程出現(xiàn)在四個(gè)專業(yè)方向的核心課程中，而樹型結(jié)構(gòu)同樣無(wú)一例外的出現(xiàn)在了四個(gè)專業(yè)方向的核心知識(shí)單元中。

樹型結(jié)構(gòu)描述的是研究對(duì)象之間一對(duì)多的關(guān)系。在存儲(chǔ)樹時(shí)，如果用指針來(lái)描述元素之間的父子關(guān)系，則由于對(duì)每個(gè)元素的孩子數(shù)量沒(méi)有限制(最小可以是0，最多可以是樹的度d)，若結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)定義為一個(gè)數(shù)據(jù)域data和d個(gè)指針域，則可以證明，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、度為d的樹的多重鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中，有n*(d-1)+1個(gè)空鏈域，采用這樣的存儲(chǔ)將造成很大的浪費(fèi)。

二叉樹是樹型結(jié)構(gòu)的一種特殊情況，對(duì)于它的操作和存儲(chǔ)要比樹簡(jiǎn)單的多，且樹和森林可以用二叉鏈表做媒介同二叉樹進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，所以對(duì)二叉樹的研究就顯得特別重要。

二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)是二叉樹的一種重要的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，在每一本“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”教材中都占據(jù)了一定的篇幅，但對(duì)于怎樣建立一棵二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，卻很少提及。筆者從事“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”課程教學(xué)已二十余年，總結(jié)出了以下四種構(gòu)建方法，希望能對(duì)同仁和學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的學(xué)生有所幫助。通過(guò)本文的學(xué)習(xí)，學(xué)生將會(huì)對(duì)二叉鏈表和遞歸有更深入的理解。

2二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)構(gòu)建方法

假設(shè)有關(guān)二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)的類型定義如下：

typedef structBiTNode{ // 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)

ElemTypedata ；//數(shù)據(jù)域

structBiTNode*Lchild ；//左孩子指針

structBiTNode*Rchild；//右孩子指針

} BiTNode ，*BiTree ；

說(shuō)明：ElemType為二叉樹的元素值類型，根據(jù)具體情況進(jìn)行定義，本文假設(shè)為char型；BiTNode為結(jié)點(diǎn)類型；BiTree為指向BiTNode的指針類型。下面的算法均用類C描述。

2.1利用擴(kuò)展二叉樹的先序序列構(gòu)建

只根據(jù)二叉樹的先序序列是不能唯一確定一棵二叉樹的。針對(duì)這一問(wèn)題，可做如下處理：對(duì)二叉樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的空指針引出一個(gè)虛結(jié)點(diǎn)，設(shè)其值為#，表示為空，把這樣處理后的二叉樹稱為原二叉樹的擴(kuò)展二叉樹。擴(kuò)展二叉樹的先序序列可唯一確定這棵二叉樹。如圖1所示，給出了一棵二叉樹的擴(kuò)展二叉樹，以及該擴(kuò)展二叉樹的先序序列。

建立二叉鏈表的算法如下：

voidCreate(BiTreeT)

{//輸入擴(kuò)展二叉樹的先序序列，構(gòu)建二叉鏈表

scanf(ch); //輸入一個(gè)元素

if (ch=='# ')T = NULL;

else

{ T= (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode))；

//申請(qǐng)根結(jié)點(diǎn)

T->data =ch; // 給根結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)域賦值

Create(T->Lchild);//建左子樹

Create(T->Rchild);//建右子樹

}

} // Create

2.2利用二叉樹的先序序列和中序序列

容易證明：由一棵二叉樹的先序序列和中序序列可唯一確定一棵二叉樹。

基本思想：先根據(jù)先序序列的第一個(gè)元素建立根結(jié)點(diǎn)；然后在中序序列中找到該元素，確定根結(jié)點(diǎn)的左、右子樹的中序序列；根據(jù)左、右子樹的中序序列確定左、右子樹中結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；再根據(jù)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)在先序序列中確定左、右子樹的先序序列；最后由左子樹的先序序列與中序序列建立左子樹，由右子樹的先序序列與中序序列建立右子樹。

顯然，這是一個(gè)遞歸過(guò)程。假設(shè)先序序列放在數(shù)組pre[0..n-1]中，中序序列放在數(shù)組mid[0..n-1]中，n是二叉樹中元素的個(gè)數(shù)，其算法如下：

int Find(ElemType *P， int L2 ，int H2， ElemTypex)

{//在數(shù)組P的區(qū)間L2..H2內(nèi)確定x的位置

i=L2;

while(P[i]!=x) i++;

return i;

}// Find

void Create (BiTree T， int L1， int H1， int L2， int H2)

{//已知先序序列pre[L1..H1]，

//中序序列mid[L2..H2]構(gòu)建二叉鏈表

if (L2>H2)T=NULL; //建空樹

else

{ T =(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));

//創(chuàng)建根結(jié)點(diǎn)T

T ->data=pre[L1]; //給根數(shù)據(jù)域賦值

k=Find(mid， L2， H2， pre[L1]);

//找根在中序序列的位置

Create (T ->Lchild， L1+1，k+L1-L2， L2，k-1);

//創(chuàng)建左子樹

Create(T->Rchild，k+L1-L2+1，H1，k+1， H2);

//創(chuàng)建右子樹

}

}// Create

2.3利用擴(kuò)展完全二叉樹的順序存儲(chǔ)

約定對(duì)二叉樹上的結(jié)點(diǎn)從根結(jié)點(diǎn)起，自上而下，自左而右進(jìn)行連續(xù)編號(hào)，根結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為1。深度為k的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，當(dāng)且僅當(dāng)其每個(gè)結(jié)點(diǎn)的編號(hào)都與深度為k的滿二叉樹中編號(hào)為1至n中的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)時(shí)，稱其為完全二叉樹。

如果一棵二叉樹不是完全二叉樹，可以用添加虛結(jié)點(diǎn)的方式將其擴(kuò)展為一棵完全二叉樹。虛結(jié)點(diǎn)的值設(shè)為#，表示該結(jié)點(diǎn)不存在，把這樣處理后的二叉樹稱為原二叉樹的擴(kuò)展完全二叉樹。如圖2中的(a)不是完全二叉樹，(b)為(a)的擴(kuò)展完全二叉樹。

完全二叉樹的性質(zhì)：如果一棵完全二叉樹有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有1)編號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)如果有左孩子，則左孩子的編號(hào)為2i；2)如果有右孩子，則右孩子的編號(hào)為2i+1。

基本思想：

1) 將二叉樹擴(kuò)展為一棵完全二叉樹；

2) 根據(jù)編號(hào)將結(jié)點(diǎn)的值依次放在數(shù)組s的s[1..n]中；

3) 根據(jù)完全二叉樹的性質(zhì)，構(gòu)造二叉樹的二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。這里n為擴(kuò)展完全二叉樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖2中的n為11。

對(duì)于第3)步，s[1]是二叉樹的根結(jié)點(diǎn)，如果2<=n則s[2]是s[1]的左孩子，否則左孩子為空；如果3<=n，則s[3]是s[1]的右孩子，否則右孩子為空；一般的，對(duì)于s[i]：

if (s[i]== '#' ) then 建空樹;

else { if (2i<=n) thens[2i]是s[i]的左孩子else 左孩子為空；

if (2i+1<=n) thens[2i+1]是s[i]的右孩子; else 右孩子為空; }

顯然，這是一個(gè)遞歸過(guò)程。其算法如下：

void Create (Bitree T ， ElemType *s， int i， int n)

{//創(chuàng)建一棵以s[i]值為根的值的二叉樹的二

//叉鏈表，樹的根為T

if(s[i]=='#')T =NULL;

else

{T =(BiTree)malloc(*sizeof(BiTNode));

//申請(qǐng)根結(jié)點(diǎn)

T ->data=s[i];

// 給根結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域賦值

j=2*i;

if (j<=n)//創(chuàng)建左子樹

Create (T->Lchild ， s， j， n);

elseT->Lchild=NULL;

j++;

if(j<=n) //創(chuàng)建右子樹

Create (T ->Rchild ， s， j， n);

elseT ->Rchild=NULL;

}

}// Create

2.4利用二叉排序樹的性質(zhì)

基本思想：從一棵空二叉樹出發(fā)，按照先序序列依次插入各結(jié)點(diǎn)。假設(shè)先序列放在pre[1..n]中，中序序列放在mid[1..n]中，這里n是二叉樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。pre[1]是樹的根，pre[i](i=2，3，…n)究竟插在左子樹上還是右子樹上，則要看pre[i]在中序序列中的位置，如果pre[i]在pre[1]的之前，則插入到左子樹上，否則插在右子樹上。為此可定義一個(gè)函數(shù)Find來(lái)確定結(jié)點(diǎn)在中序序列中的位置。

Find：pre[1..n]à1..n定義如下：

如果pre[i]=mid[j] 則 Find(pre[i])=j ；

這樣，對(duì)于pre[1..n]中的每個(gè)元素(即樹上的每個(gè)結(jié)點(diǎn))都賦予了一個(gè)值，根據(jù)pre[1..n]和賦予每個(gè)元素pre[i](i=1，2…n)的Find(pre[i])值，按照構(gòu)造二叉排序樹的方法依次插入各結(jié)點(diǎn)，建立二叉樹。其算法如下：

int Find (ElemType *mid ， intn， ElemType x)

{//求x在中序序列中的位置

for( j=1;j<=n ; j++)

if(x==mid[j]) return j;

}// Find

void Insert_Node(Bitree T ， Bitrees)

{//將s插在以T為根的二叉樹的合適位置上

if (T==NULL) T=s; //在空樹上插入s

else

{ if(Find(T->data)>Find(s->data))

//將s所指結(jié)點(diǎn)插在左子樹上

Insert_Node(T->Lchild，s);

else //將s所指結(jié)點(diǎn)插在右子樹上

Insert_Node(T->Rchild，s);

}// Insert_Node

void Create (Bitree T， int n)

{//建有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹的二叉鏈表

T=NULL; //先建立一棵空樹

for(j=1;j<=n;j++)

{ //依次產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)和插入結(jié)點(diǎn)

s= (BiTree)malloc(*sizeof(BiTNode));

s ->data=pre[j];

s->Lchild=NULL;

s->Rchild=NULL;

Insert_Node(T，s);//插入s

}

}// Create

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì). 高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告暨專業(yè)規(guī)范[R]. 北京:高等教育出版社，2006.

[2] 嚴(yán)蔚敏，吳偉民. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語(yǔ)言版)[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，1997：124-125，136.