[摘要]極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想。本文主要闡述了對(duì)極限思想的辯證理解，即極限思想是過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、變與不變、近似與精確、多樣性與統(tǒng)一性、量變與質(zhì)變、否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。

[關(guān)鍵詞]極限思想 辯證 對(duì)立統(tǒng)一

恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)，辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式?！睌?shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，無(wú)論是在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中、猜想的獲得過(guò)程中或在概念的形成過(guò)程中，無(wú)一不包含著辯證的成分。如分解與組合（或局部與整體）、運(yùn)動(dòng)與靜止、特殊與一般、相對(duì)與絕對(duì)、有限與無(wú)限、量變與質(zhì)變、具體與抽象、數(shù)與形等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，充分挖掘并認(rèn)真領(lǐng)會(huì)辯證思想因素，對(duì)深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)、完善思維結(jié)構(gòu)、優(yōu)化思維品質(zhì)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、形成科學(xué)人生觀都有十分重要的作用。

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想。所謂極限思想是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，把所考察的對(duì)象（如圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形的面積等）看作是某對(duì)象（內(nèi)接正邊形的面積、勻速運(yùn)動(dòng)的物體的速度、小矩形面積之和）在無(wú)限變化過(guò)程中變化結(jié)果的思想，它出發(fā)于對(duì)過(guò)程無(wú)限變化的考察，而這種過(guò)程總是與過(guò)程的某一特定的、有限的、暫時(shí)的結(jié)果有關(guān)。它不僅包括極限過(guò)程，而且又完成了極限過(guò)程。也就是說(shuō)，它不僅是一個(gè)不斷擴(kuò)展式的“潛無(wú)窮”過(guò)程，又是完成了的“實(shí)無(wú)窮”，因此是“潛無(wú)窮”與“實(shí)無(wú)窮”的對(duì)立統(tǒng)一體。它體現(xiàn)了“從有限中找到無(wú)限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來(lái)”（恩格斯語(yǔ)）的一種運(yùn)動(dòng)辯證思想。

由于極限思想中蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，理解極限思想時(shí)必須把單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜態(tài)相結(jié)合的辯證邏輯思維。以下是筆者對(duì)極限思想的辯證理解。

一、極限思想是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一

在極限思想中充分體現(xiàn)了結(jié)果與過(guò)程的對(duì)立統(tǒng)一。比如，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列｛an｝的極限為a。此時(shí)，數(shù)列｛an｝是變量，a是變化過(guò)程an的變化結(jié)果。一方面，數(shù)列｛an｝中任何一個(gè)an，無(wú)論n再大都不是a，體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立性；另一方面，隨著過(guò)程的進(jìn)行（即n無(wú)限地增大），an越來(lái)越靠近a，經(jīng)過(guò)飛躍又可轉(zhuǎn)化為a，體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一性。所以，a的求出是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。

二、極限思想是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一

有限與無(wú)限常常表現(xiàn)為不可調(diào)和性，例如，把有限情形的法則原封不動(dòng)地?cái)U(kuò)展到無(wú)限的情形常常會(huì)發(fā)生矛盾。但這并不意味著在極限的觀念里有限與無(wú)限是格格不入的，相反，它們卻存在著既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系。例如，在極限式中數(shù)列的每一項(xiàng)an和極限結(jié)果a都是一有限量，但極限過(guò)程卻是無(wú)限的。從左向右看，隨著n的無(wú)限增大，給定數(shù)列｛an｝的對(duì)應(yīng)值向a作無(wú)限逼近運(yùn)動(dòng)，這說(shuō)明這個(gè)無(wú)限運(yùn)動(dòng)的變化過(guò)程只能通過(guò)有限的量來(lái)刻畫(huà)。從右向左看，該極限式是在有限中包含著無(wú)限。

三、極限思想是變與不變的對(duì)立統(tǒng)一

變與不變是客觀事物存在的兩種形態(tài)。不變是相對(duì)的，變是絕對(duì)的。在極限式中，a是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的不變量， an則是一個(gè)隨著n的增大，其對(duì)應(yīng)值不斷發(fā)生變化的變量。無(wú)論 n增大到怎樣的數(shù)值，a都不可能變?yōu)槌Ａ开玜，這說(shuō)明變量an 與常量a存在著一種變與不變的質(zhì)的對(duì)立關(guān)系。同樣地，它們之間也體現(xiàn)了一種互相聯(lián)系互相依賴的關(guān)系。隨著n的不斷增大，變量an趨向于a的程度也相應(yīng)地不斷增大，最終當(dāng)n→∞時(shí)，an產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍轉(zhuǎn)化為了常量a，體現(xiàn)了變與不變的質(zhì)的統(tǒng)一關(guān)系。

四、極限思想是近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一

在極限式中，對(duì)于每一個(gè)具體的n，式子的左邊總是右邊的一個(gè)近似值，并且n越大，精確度越高。另外，定積分作為一種和式的極限，就是利用了近似與精確這對(duì)矛盾的轉(zhuǎn)化，用有限和代替了極限值。

五、極限思想是多樣性與統(tǒng)一性的對(duì)立統(tǒng)一

統(tǒng)一性與多樣性是一個(gè)既對(duì)立又統(tǒng)一的矛盾體。在極限思想中便充分體現(xiàn)了這種辯證思想。在極限式中，隨著序列｛an｝的不同，它趨于極限的過(guò)程也雜亂紛呈。從數(shù)軸上看，an既可以從點(diǎn)a的左邊，也可以從點(diǎn)a的右邊趨于a，還可以時(shí)而在點(diǎn)a的左邊，時(shí)而在點(diǎn)a的右邊。另外，趨于a的速度也有很大差別。但是，不管過(guò)程本身如何復(fù)雜，它們總有一個(gè)共同之處：｜an-a｜越來(lái)越小。不管預(yù)先指定一個(gè)多么小的正數(shù)ε，過(guò)程到了一定的階段，即序列到了某一項(xiàng)aN之后，就永遠(yuǎn)有。

另外，極限概念在不同的空間（ 維歐氏空間，距離空間，拓?fù)淇臻g）、不同的應(yīng)用（求導(dǎo)數(shù)與求定積分）中的表現(xiàn)形式是不同的，這是極限思想方法多樣性的表現(xiàn)，但這些極限形式又都無(wú)一例外地反映了“無(wú)限逼近”這一共同的思想基礎(chǔ)，這又是它統(tǒng)一性的集中體現(xiàn)。

六、極限思想是量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一

任何事物都是質(zhì)和量的對(duì)立統(tǒng)一。在事物的發(fā)展中，量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，量的變化達(dá)到一定的度，就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物的根本性質(zhì)的變化。掌握“變”的方向、“變”的度，就能促進(jìn)量質(zhì)轉(zhuǎn)化，達(dá)到矛盾統(tǒng)一。極限思想中也體現(xiàn)了這種辯證觀。例如，函數(shù)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和序列的極限為f(x)，即，由前式可知隨著n的增大，n次代數(shù)多項(xiàng)式Sn(x)的項(xiàng)數(shù)也逐漸增大，Sn(x)也發(fā)生相應(yīng)的量的改變。但不管n多大，它仍保留著一個(gè)多項(xiàng)式的質(zhì)，并且它與函數(shù)仍存在著一定的差異：。但這一差異的絕對(duì)值隨著n的增大而減小，當(dāng)n→∞時(shí)，這一差異消失，相應(yīng)地Sn(x)也發(fā)生了質(zhì)的飛躍而成為f(x)。

七、極限思想是否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一

極限思想還體現(xiàn)了“否定之否定律”。如在定積分中，“分割”是對(duì)整體的否定，是第一次否定；“求和”又是對(duì)“分割”的否定，是第二次否定，經(jīng)過(guò)這否定之否定后，得出一個(gè)肯定的結(jié)果即定積分。

認(rèn)識(shí)無(wú)極限，如何進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、提煉極限思想中的辯證因素，筆者將繼續(xù)努力！

參考文獻(xiàn)：

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［5］錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué).北京師范大學(xué)出版社，2003，8.

（作者單位：廣西南寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。