[摘要]直覺思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的一種創(chuàng)造性思維，一般通過歸納或觀察、類比、聯(lián)想等方式探索而提出猜想，其作用在于發(fā)現(xiàn)真理，預(yù)見證明方法和思路。教師在教學(xué)過程中應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生的探索與猜想能力，對于學(xué)生的成長具有“點(diǎn)石成金”的意義。本文從原型問題出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的再造能力、養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和指導(dǎo)直覺選擇，進(jìn)一步發(fā)展創(chuàng)造思維等方面探討了培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的問題。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 直覺思維 培養(yǎng)策略

德國著名數(shù)學(xué)家彭加勒曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具”。在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，無論是概念的明晰、理論的建立，以致結(jié)果的猜想都是與直覺思維分不開的?？v觀中外數(shù)學(xué)史，不難看到，小至一般的數(shù)學(xué)問題，大到數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造，其解決過程一般都經(jīng)過兩個階段，首先，針對問題，提取有關(guān)的原知識，并經(jīng)過思考，通過直覺、頓悟，提出解決方案，其次，通過歸納、類比、演繹、推理、證明整理方案?？梢?，數(shù)學(xué)思維活動中，離不開直覺思維。數(shù)學(xué)新課標(biāo)也提出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！睌?shù)學(xué)教師的職責(zé)應(yīng)該轉(zhuǎn)變?yōu)樵絹碓缴俚貍鬟f知識，而越來越多地激勵學(xué)生思考和探索。教師必須集中更多的時間和精力從事那些有效果的和有創(chuàng)造性的活動。本文就數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)談一些具體做法。

一、幫助塑造“原型問題”，從“原型問題”衍生和產(chǎn)生再造能力

在具體的教學(xué)過程中，一方面，在對新的概念、原理的講授時，不能簡單地將概念、原理直接交給學(xué)生，然后做大量的習(xí)題，用以理解、內(nèi)化剛剛接觸的概念、原理，而應(yīng)該花更多的時間在概念、原理的產(chǎn)生過程上，盡可能地講清楚形成的背景，是因?yàn)橛龅绞裁蠢щy或解決什么問題，而提出某個概念或原理，還要讓學(xué)生了解概念、原理是怎樣由假說通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證加以修正，然后實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證再加以修正，最后才形成教材中旱現(xiàn)出的概念、原理。例如多邊形的外角和是一個較抽象的命題。傳統(tǒng)教法是把多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰的外角構(gòu)成一個平角，再用多邊形的邊數(shù)n與180°求積，算出它的度數(shù)，然后減去多邊形內(nèi)角和：(n一2) 180°，最后得出多邊形外角和為360°。用邏輯推理結(jié)果是令人信服的。只是缺乏直覺體驗(yàn)，學(xué)生也忘得快。筆者利用學(xué)生的直覺體驗(yàn)與直覺洞察。設(shè)計(jì)了一個新的學(xué)習(xí)方案。

師：你作為一個運(yùn)動員，在原地轉(zhuǎn)一圈。身體轉(zhuǎn)過了多少度?

生：360°。

師：你若沿圓周順時針跑了一圈，身體轉(zhuǎn)過多少度?

生：360°。

師：你沿著環(huán)形跑道順時針跑了一圈．身體轉(zhuǎn)過了多少度?

生：360°。

師：現(xiàn)在你沿一個六邊形的跑道(圖)，從A點(diǎn)出發(fā)，順時針跑了一圈回到A點(diǎn)出發(fā)的方向，身體轉(zhuǎn)過了多少度?

生：360°！

師：你能畫出每個轉(zhuǎn)彎處（如B處)身體轉(zhuǎn)過的角度嗎?

(學(xué)生動手畫圖，教師巡視學(xué)生作圖)

師：大家畫的圖跟我畫的圖基本一致。每一個轉(zhuǎn)彎處身體轉(zhuǎn)過的角度，用∠1，∠2……∠6標(biāo)出來，則∠1+∠2+∠3十∠4+∠5+∠6=360°?！?是六邊形ABCDEF的外角，可見其外角之和等于……?

生:360°!

師:如果跑道是任意一個n邊形(n≥3)，順時針跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度是多少呢?

生:還是360°!

師:這是為什么呢?

生:因?yàn)槿搜厝魏我粋€多邊形順時針跑完一圈，跟人沿圓周跑完一圈身體轉(zhuǎn)過的角度是一樣的。

師:非常好!如果我們沿逆時針方向沿n邊形跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度又是哪些?身體一共轉(zhuǎn)過了多少度?

師:我們能用學(xué)過的數(shù)學(xué)原理，證明你的發(fā)現(xiàn)嗎?

基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和直覺洞察，解決了多邊形外角及外角分布、外角和等相關(guān)問題的認(rèn)知，借助邏輯推理驗(yàn)證了直覺洞察結(jié)果的準(zhǔn)確性，強(qiáng)化了多邊形外角和的認(rèn)知建構(gòu)。

另一方面，在進(jìn)行習(xí)題教學(xué)時，應(yīng)選擇衍生和再造性較強(qiáng)的例題，也就是通常所指的典型例題，保證為學(xué)生建構(gòu)比較完備充分的“問題原型”庫具體要兼顧到以下幾點(diǎn)：（1）既要有順推法又要有逆推法解題思路；（2）解題常用的科學(xué)思維方法都應(yīng)經(jīng)常涉及到，例如，比較和鑒別、分析和綜合、歸納和演繹、類比和聯(lián)想、直覺等方法；（3）讓學(xué)生經(jīng)常接觸到數(shù)學(xué)問題解決的一此特殊方法，例如，整體法、守恒法、反證法、極端假說法、虛設(shè)法、圖解法、極值法等。分析講解時，更多是怎樣引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)掌握的原型來解決目前所面臨的新的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生分析新的問題與已經(jīng)掌握的原型問題之間的異同點(diǎn)；或以原有的原型問題為基礎(chǔ)結(jié)合新的問題情景衍生或再造出新的“問題原型”，隨之?dāng)?shù)學(xué)問題便解決了。

二、鼓勵大膽猜測，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

對于未給出結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導(dǎo)；對于已有結(jié)論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，并且要以數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗(yàn)為支柱。但是培養(yǎng)敢于猜想、善于探索的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺思維，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)。例如猜想探索函數(shù)圖象變化規(guī)律：

師：畫Y=x的圖象，請猜Y=∣x∣的 圖象，并列表畫圖象。

生(輕聲說)：好象V形。

師：對!請說明理由。

生：因?yàn)閅=∣x∣≥0，所以只要將Y=x在第Ⅲ象限的圖象以x軸為對稱軸折向第Ⅱ象限就成為Y=∣x∣的圖象，呈“V”形。

師：很好! 大家明白了沒有(邊畫圖邊解釋)?請?jiān)俨孪隮=∣x∣+1、Y=∣x∣+2、Y=∣x∣一3的圖象，并畫之，再比較之，發(fā)現(xiàn)了什么?

眾生：是圖象平移。

師：對!誰能不用列表畫出Y=∣x∣+4的圖象來?

大家舉手，連平時不舉手的一位同學(xué)也舉起了手，由他試一試。另一位同學(xué)輸入電腦，證明正確，大家為之高興。

作業(yè)：由Y=∣x∣+C 猜想探索Y=∣x+C∣

經(jīng)過“猜想探索”的教學(xué)探索，我們發(fā)現(xiàn)許多求知的眼睛，這些眼睛無不閃著智慧之光，照亮著人們沿著“猜想探索”之路，去探索美好的世界。

因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生憑直覺大膽地進(jìn)行猜測，先理出大致的總體的思路，再具體著手推理、運(yùn)算。同時，還要不斷地糾正學(xué)生的一些壞習(xí)慣：一拿到題目，匆匆讀完后就進(jìn)行具體的運(yùn)算。有了這種壞習(xí)慣的學(xué)生往往只見局部不見整體，解題時手忙腳亂，經(jīng)常忙了很長時間才發(fā)覺是錯的，由于考試時間有限，每道題目都蜻蜓點(diǎn)水般算幾個簡單的得數(shù)，感覺每道題目都會點(diǎn)，就是不能得分。教學(xué)中，要有意識地使學(xué)生養(yǎng)成這樣的習(xí)慣：在理清思路后，運(yùn)用所學(xué)知識、原理、方法列出數(shù)學(xué)方程，然后作出評價決斷，判斷所列方程是否正確?判斷問題所包含的數(shù)學(xué)情景是否都已經(jīng)表達(dá)出來了?判斷所列方程是否可解?判斷是否還有補(bǔ)充方程?最后，才是具體運(yùn)算，得出答案。

三、指導(dǎo)直覺選擇，進(jìn)一步發(fā)展創(chuàng)造思維

對于同一個數(shù)學(xué)問題，由于選擇了不同的邏輯材料或邏輯通道，就會得到不同的解法。一題多解也由此而來。我們關(guān)注邏輯材料的合理組合和邏輯通道的正確選擇。

例如，在平面直角坐標(biāo)系中，Y軸的正半軸上(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)有兩個點(diǎn)A，B，試在X軸正半軸上(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)確定一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。

這是一道較抽象的命題，可通過代數(shù)計(jì)算、三角方法、平面幾何方法等多種方法破解，初中學(xué)生卻無從下手。此題目的是讓學(xué)生體驗(yàn)抽象命題直觀化，引發(fā)直覺聯(lián)想和洞察，對邏輯材料作出正確選擇，實(shí)現(xiàn)問題解決的過程。

1．從結(jié)論引出直觀作圖

我們可先作∠AC1B，∠AC2B……∠ACB……其中∠ACB是最大的角，其他角都比它小。(圖1)

2．由圖形引發(fā)直覺類比

同弧所對的圓周角比圓外角大。上圖的直覺觀察，發(fā)現(xiàn)跟圓周角與圓外角有關(guān)系，這與圖2非常類似。

3．從圖形引發(fā)直覺聯(lián)想

若把圖2移到圖1上，則C點(diǎn)在圓周上，也在X軸上(原點(diǎn)除外)，其余點(diǎn)在圓周外，那么C點(diǎn)只能是圓與X軸相切的切點(diǎn)，因?yàn)镃只有一點(diǎn)，故不可能是X軸與圓的交點(diǎn)。(圖3)

4．由直覺聯(lián)想到直覺洞察

作過A，B兩點(diǎn)且與X軸相切的圓，切點(diǎn)確定。則∠ACB就完全確定。

如此抽象的命題，通過邏輯材料的直覺選擇，最后歸結(jié)為畫圖操作，直覺思維顯示出奇異的光芒。

總之，讓學(xué)生通過“經(jīng)歷”、“體驗(yàn)”、“探索”等過程來獲取數(shù)學(xué)知識與提高能力，這是實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的基礎(chǔ)。讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的問題情景中自主探索、合作交流，親歷從直觀想象到發(fā)現(xiàn)猜想，然后給出驗(yàn)證及理論證明的數(shù)學(xué)構(gòu)建過程，這正是新課程所倡導(dǎo)的教育理念。

參考文獻(xiàn)：

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[2]林婷．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中探究性學(xué)習(xí)探微[J]．教學(xué)教學(xué)通訊，2003，（10）．

（作者單位：浙江仙居縣安洲中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。