根據(jù)問題的條件確定解決問題的大致范圍，然后通過不斷改進(jìn)方法或者排除不可能的情形，逐步縮小問題的解的存在范圍，從而最終獲得問題的結(jié)果。這種思想稱之為逐步逼近思想。本文主要談?wù)勚鸩奖平枷朐谛W(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、枚舉篩選與逐步逼近

一個(gè)問題如果有許多條件需要滿足，那么，我們就必須一個(gè)條件、一個(gè)條件地去逐一滿足。于是，我們總是先選擇一個(gè)要求最低(滿足要求的事物比較容易尋找)的條件，按照某種順序(如從小到大)既不重復(fù)又不遺漏地逐一列出那些滿足這一條件的所有事物。然后，再看這些事物是否滿足第二個(gè)條件，不滿足的排除，滿足的留下。如此進(jìn)行，直到滿足所有條件為止，這時(shí)留下來的事物就是我們要尋求的。我們把最先不重不漏為滿足某一條件而進(jìn)行的列舉事物的方法，稱之為枚舉；把不斷地排除、留下的過程稱之為篩選。通過不斷地篩選，來獲得問題的解，顯然，這就是逐步逼近思想。

例1 有這樣的兩位數(shù)，將它分別乘以2、3、4、5、6、7、8、9后，所得結(jié)果的數(shù)字和都相等，那么它們是____。

【思考】先從乘數(shù)是9的情況考慮，一個(gè)兩位數(shù)乘以9所得結(jié)果的數(shù)字和不變，也就是說，這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和等于它與9的積的數(shù)字和，而一個(gè)數(shù)與9的積的數(shù)字和必是9的倍數(shù)，所以這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和也是9的倍數(shù)。

于是，這個(gè)兩位數(shù)可能是：18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。

用2分別去乘這幾個(gè)數(shù)，積的數(shù)字和與這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和完全相同；

用3分別去乘這幾個(gè)數(shù)，積的數(shù)字和與這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和不同的是63，去掉它；用4分別去乘除去63后剩下的幾個(gè)數(shù)，積的數(shù)字和與這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和不同的是72，去掉它；還剩18、27、36、45、54、81、90、99。

用5分別去乘這幾個(gè)數(shù)，積的數(shù)字和與這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和完全相同；

用6分別去乘這幾個(gè)數(shù)，可排除81，還剩18、27、36、45、54、90、99；

用7分別去乘這幾個(gè)數(shù)，可排除27、54，還剩18、36、45、90、99；

用8分別去乘這幾個(gè)數(shù)，可排除36，還剩18、45、90、99。

于是，滿足所有條件的兩位數(shù)是：18、45、90、99。

枚舉是為篩選作準(zhǔn)備的，只有經(jīng)過篩選的逐步淘汰，才能得到我們需要的結(jié)果。篩選的關(guān)鍵是枚舉確定的范圍，為了更快地尋求到結(jié)果，應(yīng)該盡可能地縮小枚舉范圍。

例2 下圖是一個(gè)小數(shù)的除法豎式，算式中注明的兩個(gè)字母的要求為A

【思考】顯然，C=D=E=F=S=0，J=5。

顯然，X、I必有一個(gè)不小于8，不妨從X=9開始，這時(shí)I≥7。

若I=7，則因?yàn)锳

又由75×8=600可知A=1，K=8，G=H=6。

于是681÷75=9．08。

這個(gè)豎式的除數(shù)與商的和是75+9．08=84．08。

顯然，小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)字謎問題，其解法就是典型的枚舉篩選。

二、估算篩選與逐步逼近

估算法是一種粗略的計(jì)算方法，也是一種快速的近似計(jì)算方法，它是通過對(duì)題目所給條件或信息作適當(dāng)變形與整理后，對(duì)結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)的方法。顯然，通過估算縮小問題解決的范圍，然后利用篩選最后獲得結(jié)果。這種先估算再篩選的思想就是逐步逼近思想。

估算篩選是小學(xué)數(shù)學(xué)中一種常見的方法。下面的例子將讓我們感受到估算篩選這種逐步逼近思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用。

例3 有人見小諸葛一臉稚氣，聰穎過人，不禁引發(fā)了好奇心：“請(qǐng)問孩兒今年貴庚幾何?”小諸葛饒有趣味地回答：“鄙人今年歲數(shù)的立方是個(gè)四位數(shù)，歲數(shù)的4次方是個(gè)六位數(shù)，如果把兩者合起來看，正好把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個(gè)數(shù)字統(tǒng)統(tǒng)用上去了，不重不漏。”那么小諸葛今年到底幾歲?

【思考】從簡(jiǎn)單情況出發(fā)探索，由20 =8000 21 =9261 22 =10648知，小諸葛的年齡最大是21歲。

因?yàn)椋?5 =225×225是五位數(shù)，17 =289×289也是五位數(shù)。所以，小諸葛的年齡最小是18歲。

18 =324×324必是六位數(shù)，于是，直接計(jì)算18 =5832，18 =104976正好滿足條件。故小諸葛今年18歲。

多位數(shù)乘法，積的位數(shù)的估計(jì)，是解決問題的關(guān)鍵。巧妙地利用估算，優(yōu)化算法，能取得事半功倍的效果。

上述問題解答的過程，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也達(dá)到了思維訓(xùn)練的目的。

例4 某住宅區(qū)共有十二家住戶，他們的門牌號(hào)碼分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。他們的電話號(hào)碼依次是十二個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門牌號(hào)整除。已知這些電話號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號(hào)是9的這一家的電話號(hào)碼還能被13整除，問這一家的電話號(hào)碼是____。

【思考】先求［1，2，…，11，12，］=27720，各家的電話號(hào)碼可能是27720+1，27720+2，…，27720+12。

又27720÷13=2132…4，所以27720+9=27729能被13整除。

因?yàn)?7729不是六位數(shù)，把它擴(kuò)大十三倍(因?yàn)閿U(kuò)大后還須被13整除），得27729×13=360477。

但這時(shí)不能保證其他住戶的電話號(hào)碼能被各自的門牌號(hào)整除，例如360478就不能被10整除。

為解決這個(gè)問題，先將27720擴(kuò)大十三倍得360360，再分別加上27720+1，27720+2，…，27720+12就得到滿足條件的所有電話號(hào)碼，其中360360+27720+9=388089即所求。

上述問題的解決，正是應(yīng)用逐步逼近思想，使問題逐步解決。

三、目標(biāo)分析與逐步逼近

目標(biāo)分析指根據(jù)控制論的“反饋—控制”原理，首先按照問題的要求建立一個(gè)解題目標(biāo)，然后比較初始條件、中間狀態(tài)與解題目標(biāo)之間的差異，確定和調(diào)整解題方向，使差異逐步縮小，最終達(dá)到解題目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)解題。這種目標(biāo)分析思想也是逐步逼近思想。

目標(biāo)分析的要點(diǎn)是：一建立適當(dāng)?shù)慕忸}目標(biāo)；二比較問題的現(xiàn)時(shí)狀態(tài)與解題目標(biāo)之間的差異；三按照解題目標(biāo)的方向逐步縮小差異。

例5 在503后面添三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)能被7、9、11整除。

【思考】從整體上考慮，該六位數(shù)既然能被7、9、11整除，也應(yīng)該被7、9、11的最小公倍數(shù)693整除，反過來，如果這個(gè)六位數(shù)能被693整除，那么它一定能被7、9、11整除。因此，建立解題目標(biāo)：

503□□□÷693=A (1)

其中A表示一個(gè)整數(shù)的商，設(shè)法在503的后面添入適當(dāng)?shù)臄?shù)字使(1)成立。不妨設(shè)添入的三個(gè)數(shù)是999(最大的三個(gè)數(shù)字)，就得：

503999÷693=727…188 (2)

(2)與(1)比較發(fā)現(xiàn)多了余數(shù)188，只要在999中減去188得811。

503811÷693=727 (3)

(3)與解題目標(biāo)(1)相一致了，503811是題目的一個(gè)解811，由于811大于693，還可以從811中再減去693，得到118，又得到另一個(gè)解503118。

此題如果用常規(guī)方法，從整數(shù)的整除性特征入手去考慮，所得的六位數(shù)如何才能被7、9、11整除，解答起來就比較困難。

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