[摘要] 運(yùn)用時(shí)間序列分析方法之一的單整自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)法，對(duì)中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額進(jìn)行時(shí)間序列分析。分析顯示，ARIMA模型可以提供比較準(zhǔn)確的短期預(yù)測(cè)效果，可以為中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的預(yù)測(cè)提供一定的依據(jù)。

[關(guān)鍵詞] ARIMA 時(shí)間序列 社會(huì)消費(fèi)品零售總額

一、問(wèn)題的提出

中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額是指各種經(jīng)濟(jì)類(lèi)型的批發(fā)零售貿(mào)易業(yè)、餐飲業(yè)、制造業(yè)和其他行業(yè)對(duì)城鄉(xiāng)居民和社會(huì)集團(tuán)的消費(fèi)品零售額和農(nóng)民對(duì)非農(nóng)業(yè)居民零售額的總和。這個(gè)指標(biāo)反映通過(guò)各種商品流通渠道向居民和社會(huì)集團(tuán)供應(yīng)生活消費(fèi)品來(lái)滿(mǎn)足他們生活需要的情況，是研究人民生活、社會(huì)消費(fèi)品購(gòu)買(mǎi)力、貨幣流通等問(wèn)題的重要指標(biāo)。由于目前消費(fèi)需求已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要組成部分，而且今年來(lái)社會(huì)消費(fèi)品零售總額呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，如何利用適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)其進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，并通過(guò)預(yù)測(cè)的結(jié)果了解中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的發(fā)展態(tài)勢(shì)，為有關(guān)部門(mén)做出正確的決策提供合理的依據(jù)，已經(jīng)成為一個(gè)需要我們進(jìn)行探討和解決的迫切問(wèn)題。

二、研究方法

ARIMA模型的建模思想。時(shí)間序列分析方法是伯克斯·詹金斯(Box-Jenkins1)在1970年提出來(lái)的。這種建模方法不考慮以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)的解釋變量的作用，而是依據(jù)變量本身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。模型建立的前提是時(shí)間序列必須具有平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，建立模型之前應(yīng)先把它變換成平穩(wěn)的，同時(shí)仍保持原時(shí)間序列的隨機(jī)性。時(shí)間序列的基本模型主要有三種：自回歸模型、移動(dòng)平均模型及單整自回歸移動(dòng)平均模型。

單整是指將一個(gè)時(shí)間序列由非平穩(wěn)性變?yōu)槠椒€(wěn)性所要經(jīng)過(guò)的差分的次數(shù)，這是對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)間序列分析的必經(jīng)步驟。假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程含有d個(gè)單位根，其經(jīng)過(guò)d次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。則該隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。模型中AR稱(chēng)為自回歸分量，P為自回歸分量的階數(shù);MA為移動(dòng)平均分量，q為移動(dòng)平均分量的階數(shù);I為差分，d為使時(shí)間序列具有平穩(wěn)性所需要的差分次數(shù)。

1.自回歸過(guò)程(AR(P))，是指一個(gè)過(guò)程的當(dāng)前值是過(guò)去值的線性函數(shù)，如:如果當(dāng)前觀測(cè)值僅與上期(滯后一期)的觀測(cè)值存在線性函數(shù)的關(guān)系，則我們就說(shuō)這是一階自回歸過(guò)程，記作AR(1)。推而廣之，如果當(dāng)前值與滯后P期的觀測(cè)值有線性關(guān)系則稱(chēng):P階自回歸過(guò)程，記作AR(P)。其一般表達(dá)式為:

。其中，i=1，…p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過(guò)程，則稱(chēng)xt為p階自回歸過(guò)程，用AR(p)表示。xt是由它的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。

2.移動(dòng)平均過(guò)程(MA(q))，如果一個(gè)線性隨機(jī)過(guò)程可用下式表達(dá):xt=ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…θqut-q=(1+θ1L+θ2L2＋…θ2Lq)ut=Θ(L)ut。

其中θ1，θ2，…θp是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過(guò)程，則上式稱(chēng)為q階移動(dòng)平均過(guò)程，記為MA(q)。之所以稱(chēng)“移動(dòng)平均”，是因?yàn)閤t是由q+1個(gè)ut和ut滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成，“移動(dòng)”指t的變化，“平均”指加權(quán)和。

3.ARIMA(p，d，q)模型的一般表達(dá)式為:

，即

或Φ(L)=Θ(L)ut。

ARMA(p，q)過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴(lài)于其自回歸部分，即Φ(L)=0的全部根取值在單位圓之外（絕對(duì)值大于1）；其可逆性則只依賴(lài)于移動(dòng)平均部分，即Θ(L)=0的根取值應(yīng)在單位圓之外。

在對(duì)含有季節(jié)、趨勢(shì)等成分的時(shí)間序列進(jìn)行ARIMA模型預(yù)測(cè)時(shí)，就不能像對(duì)純粹的滿(mǎn)足可解條件的ARIMA模型那么簡(jiǎn)單了，一般的ARIMA模型有多個(gè)參數(shù)，沒(méi)有季節(jié)成分可以記為ARIMA(p，d，q)，如果不需要利用差分來(lái)消除趨勢(shì)或循環(huán)成分時(shí)，差分的階數(shù)d=0，模型為ARIMA(p，0，q)即ARIMA(p，q);在有已知的固定周期S時(shí)，模型多了四個(gè)參數(shù)，可計(jì)為ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S，這里除了周期S已知之外，還有描述季節(jié)本身的ARIMA(p，d，q)的模型識(shí)別問(wèn)題，在實(shí)際建模過(guò)程之中，需要反復(fù)的比較。

ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S模型，它的一般表達(dá)式為:

，這里的Φ，Θ為類(lèi)似于 ARIMA(p，q)模型中的算子，，θ只是描述季節(jié)序列，它們定義為:

三、模型的應(yīng)用

1.時(shí)間序列的特征分析。我們將1980年1月～2005年12月的數(shù)據(jù)作為模型中時(shí)間序列的數(shù)據(jù)，將2006年以后的數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，來(lái)判斷模型在預(yù)測(cè)方面的準(zhǔn)確性和有效性。

第一步:通過(guò)EVIEWS繪制如圖1所示的社會(huì)消費(fèi)品零售總額的折線圖，可以看出序列具有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，并且包含周期為12個(gè)月的季節(jié)波動(dòng)。同時(shí)我們對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示它的ADF=1.94735，分別大于不同檢驗(yàn)水平的三個(gè)臨界值(1%-3.4521;5%，-2.87103;10%，-2.5719)，因此，該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。

第二步:對(duì)時(shí)間序列sale首先做對(duì)數(shù)處理，得到時(shí)間序列sale01，這樣就消除了原始數(shù)據(jù)中的異方差性。同時(shí)，為了使非平穩(wěn)的時(shí)間序列具有平穩(wěn)性，我們對(duì)時(shí)間序列sale01進(jìn)行一次差分。對(duì)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，差分次數(shù)，即模型ARIMA(p，d，q)中的參數(shù)d通常只取0，1或2，同時(shí)通過(guò)對(duì)時(shí)間序列單位根的檢驗(yàn)來(lái)獲得它的ADF值，并判斷參數(shù)d的階數(shù)。

對(duì)時(shí)間序列sale01進(jìn)行單位根的檢驗(yàn)，其ADF的檢驗(yàn)結(jié)果顯示，ADF=-1.7651分別大于不同檢驗(yàn)水平的三個(gè)臨界值(1%，-3.4512;5%，-2.8706;10%，-2.5717)，時(shí)間序列接受原假設(shè)，即存在單位根的結(jié)論。我們繼續(xù)對(duì)時(shí)間序列作差分處理，并對(duì)差分后的時(shí)間序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，最終經(jīng)過(guò)兩次差分得到時(shí)間序列sale03，其檢驗(yàn)結(jié)果顯示，ADF=-18.5949分別小于不同檢驗(yàn)水平的三個(gè)臨界值(1%，-3.4512;5%，-2.8706;10%，-2.5717)，二階差分序列在1%的顯著水平下拒絕原假設(shè)，接受不存在單位根的結(jié)論，因此可以確定時(shí)間序列是2階單整序列。

第三步:對(duì)時(shí)間序列sale01經(jīng)過(guò)兩次差分后，我們通過(guò)EVIEWS繪制如圖2所示的折線圖，可以看到序列的趨勢(shì)基本消除;我們從它的自相關(guān)圖可以看出，當(dāng)k=12或是24時(shí)，自相關(guān)系數(shù)仍然有較大的峰，說(shuō)明序列含有季節(jié)性，需要進(jìn)一步作季節(jié)差分。再對(duì)時(shí)間序列作周期S=12的季節(jié)差分，差分后時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如圖3所示，序列的樣本的字相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)很快落入隨機(jī)區(qū)域，序列趨勢(shì)基本消除，但是當(dāng)k=12時(shí)取值依然很大，季節(jié)性依然很明顯，對(duì)其作第二次季節(jié)差分，發(fā)現(xiàn)季節(jié)性仍然沒(méi)有完全改善，故只做一階季節(jié)差分。

通過(guò)以上在EVIEWS中的操作分析，可得到ARIMA模型中的參數(shù)d=2，D=1。

2.根據(jù)時(shí)間序列模型的識(shí)別規(guī)則，建立相應(yīng)的模型：

（1）若平穩(wěn)的時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)托尾，而偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定此時(shí)間序列適合AR(P)模型。

（2）若平穩(wěn)的時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)截尾，而偏相關(guān)函數(shù)是托尾的，則可判斷時(shí)間序列適合MA(Q)模型。

（3）若平穩(wěn)的時(shí)間序列的字相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是托尾的，則時(shí)間序列適合于ARMIA(p，d，q)模型。

3.模型的識(shí)別。通過(guò)分析，我們選用ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S模型，其中d和D已經(jīng)得出，d=2，D=1。通過(guò)觀察時(shí)間序列sale04(經(jīng)過(guò)兩次差分和一次季節(jié)差分后的序列)的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，我們得出p=1、2、3或4，q=1;由圖2可以看到，當(dāng)k=12時(shí)，自相關(guān)系數(shù)仍有較大的峰，表明存在季節(jié)自回歸和季節(jié)移動(dòng)平均，我們選擇P=1，Q=1。

4.進(jìn)行ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S模型的定階，然后對(duì)暫定的模型進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，檢驗(yàn)其是否有統(tǒng)計(jì)意義。

經(jīng)過(guò)以上的分析，我們初步確定模型為ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(2，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(3，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(4，2，1)(1，1，1)12或ARIMA(5，2，1)(1，1，1)12，我們運(yùn)用最佳準(zhǔn)則函數(shù)定價(jià)法，即Akaike提出的Aic準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則在極大似然值的基礎(chǔ)上對(duì)模型的階數(shù)和參數(shù)給出一組最佳估計(jì)。Aic準(zhǔn)則是在給出不同模型的Aic計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，選取使Aic值最小的那一組階數(shù)為最佳階數(shù)。對(duì)于模型ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(2，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(3，2，1)(1，1，1)12，ARIMA(4，2，1)(1，1，1)12和ARIMA(5，2，1)(1，1，1)12，我們通過(guò)EVIEWS軟件得出它們的Aic值分別為3.2185、3.2196、3.2218、3.2226和3.2544。根據(jù)Aic準(zhǔn)則，ARIMA(5，2，1)(1，1，1)12的AIC值小于其他ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S模型的 Aic值，因此我們選擇模型ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12。

5.診斷和檢驗(yàn)。下圖4是原始數(shù)據(jù)以及由ARIMA模型得到的擬合值和對(duì)2006年12個(gè)月的預(yù)測(cè)值，以及對(duì)殘差的acf圖和pacf圖。如果時(shí)間序列模型擬合的很好的話，它的殘差的acf圖和pacf圖應(yīng)該沒(méi)有任何模式，并且數(shù)值很小，那么該序列就是有一些無(wú)關(guān)的互相獨(dú)立的隨機(jī)變量組成。我們觀察模型ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12的殘差序列 acf圖和pacf圖，可以看出它們沒(méi)有任何模式，說(shuō)明該模型擬合的比較成功。

我們應(yīng)用模型ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12來(lái)對(duì)2006年的社會(huì)消費(fèi)品零售總額進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)真實(shí)值和預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，其中2006年1月份至12月份的預(yù)測(cè)值(以下數(shù)據(jù)單位為億元)分別為6620.1、6087.3、5857.2、5713.2、6101.4、5983.7、5981.7、6088.9、6554.4、6916.3、6978.7、7946.5;真實(shí)值分別為6641.6、6001.9、5796.7、5774.6、6175.6、6057.8、6012.2、6077.4、6553.6、6997.7、6821.7、7499.2;預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差率分別為-0.32%、1.42%、1.04%、-1.20%、-1.22%、-0.51%、0.19%、0.01%、

-1.16%、2.30%、5.96%。

同理，我們根據(jù)模型ARIMA(1，2，1)(1，1，1)12來(lái)對(duì)2007年的社會(huì)消費(fèi)品零售總額進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中2007年1月份至12月份的預(yù)測(cè)值(以下數(shù)據(jù)單位為億元)為7771.3、7231.56977.6、6820.7、7061.3、7087.3、7080.9、7186.8、7661.5、8030.9、8089.6、9082.7，1月份至5月份的真實(shí)值分別為7488.3、7013.7、6685.8、6672.5、7157.5;1月份至5月份的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差率分別為3.78%、3.10%、4.36%、2.22%、-1.34%。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析，我們可以看出運(yùn)用ARIMA(p，d，q)(P，D，Q)S在對(duì)中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售額的預(yù)測(cè)中，對(duì)于2006年每月的預(yù)測(cè)之值與真實(shí)值之間的誤差率都很小，隨著時(shí)間跨度的增加，該模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差率逐漸增大。

從短期來(lái)看，ARIMA模型在社會(huì)消費(fèi)品零售額的預(yù)測(cè)上具有一定的可信度，政府可以根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)制定相應(yīng)得政策，來(lái)調(diào)控宏觀經(jīng)濟(jì)的整體運(yùn)作，使社會(huì)消費(fèi)品方面的投資比例達(dá)到一個(gè)合理的比例，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的良好健康發(fā)展。

從長(zhǎng)期來(lái)看，ARIMA模型還存在先天的缺陷，隨著預(yù)測(cè)期的延長(zhǎng)，其預(yù)測(cè)誤差會(huì)逐漸增大，但是短期內(nèi)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度還是比較高的，因此我們可以用該模型來(lái)進(jìn)行短期的政策指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn):

高鐵梅:計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法與建模 Eviews應(yīng)用及事例.北京:清華大學(xué)出版社，2006（1）：126～168

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