吳仲和

教學(xué)背景

1.愛德華是美國加州具有7年教齡、非洲裔的初中數(shù)學(xué)和科學(xué)教師。他對數(shù)學(xué)教學(xué)的信念是，教師必須相信每一個學(xué)生都能學(xué)好數(shù)學(xué)，作為教師，重要的是給每個學(xué)生提供足夠的學(xué)習(xí)機會。他還相信教育的目的不僅是教會學(xué)生應(yīng)會的數(shù)學(xué)和科學(xué)基本技能，更重要的是教會學(xué)生做一個合格的公民。

2.學(xué)生情況：八年級，全班共29名學(xué)生（16男13女），其中有2個白種人，12個拉丁裔人，13個非洲裔人，2個亞裔人。英語作為第二語言的學(xué)生占25%以上。3個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績高于平均水平，2個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績低于平均水平。

3.教學(xué)內(nèi)容：未知數(shù)和簡單方程。授課時間：60分鐘。

課例

愛德華老師首先告訴學(xué)生此課的目的以及如何達(dá)到這個目的：我們首先要復(fù)習(xí)一下預(yù)備知識，新課的內(nèi)容是未知數(shù)和簡單方程，我們還要闡述方程的解法和驗算方程的解。

1.復(fù)習(xí)預(yù)備知識。

（1）愛德華老師的課從復(fù)習(xí)新課的預(yù)備知識（POD）開始：學(xué)生在已有格式的紙上大約用了5分鐘的時間來完成下列練習(xí)題。

①求值：3y-13，當(dāng)y=7時。

②求值：7w+4-w，當(dāng)w=2時。

③寫出代數(shù)式：比20小的數(shù)。

愛德華老師先選擇3個學(xué)生在黑板上回答問題，然后讓其他學(xué)生有充分的機會表達(dá)不同的答案，愛德華老師接著解釋為什么有的是正確的答案，為什么其他的是錯誤答案。他讓學(xué)生們特別觀察POD的第1、2題，并特別解釋求值與代入未知數(shù)的關(guān)系以導(dǎo)入新課的內(nèi)容。

2.教授新課。

愛德華老師開始今天的新課內(nèi)容。他特別強調(diào)要每個學(xué)生拿出數(shù)學(xué)筆記本來記錄今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并確認(rèn)都準(zhǔn)備好了。

（1）設(shè)立框架打基礎(chǔ)。

a.與實際生活相聯(lián)系。愛德華老師先讓學(xué)生表達(dá)“什么是等式”后，用專門用于教學(xué)的計算機投影（聰明小白板）給出了等式的正式定義，即等式是用等號連接的數(shù)學(xué)表達(dá)式。他還要求學(xué)生能夠舉出數(shù)學(xué)表達(dá)和日常生活中的例子，以便進一步理解等式的概念和在實際生活中的應(yīng)用。他還讓學(xué)生與鄰座互相討論，相互闡述等式的內(nèi)容和日常生活的例子，然后隨機選擇學(xué)生在全班進行闡述。例如，一組學(xué)生給出表達(dá)等式，并舉出與實際生活有關(guān)的例子：杰夫需要$38來購買自己需要的電子軟件，他利用周末幫助鄰居清除院子里的雜草。如果杰夫已有$3，清除雜草1小時可得$5，那么杰夫?qū)⒐ぷ鲙仔r，才能有$38？

b.用實物建模來幫助學(xué)生建立直觀的思維，懂得概念。當(dāng)學(xué)生對直觀等式的概念有了明確的理解后，愛德華老師立即用代數(shù)等式將一般等式予以升華。他舉出這樣的等式例子：9+2=11，x+7=37，a+（-3）=2a+5，并用代數(shù)天平秤（圖2）來闡述代數(shù)等式的特點：開放等式（含未知數(shù)的等式）和兩邊相等，同時用3種代數(shù)式來說明代數(shù)式的特點。

愛德華老師指出天平秤的中桿相當(dāng)于等式的等號，紅盤子里的砝碼代表正數(shù)，黃盤子里的砝碼代表負(fù)數(shù)。愛德華老師用不同重量的小砝碼來演示代數(shù)等式。他這樣做的目的是使學(xué)生們能直觀地感受代數(shù)式的意義。

●3+4是否等于5？愛德華老師將3個小砝碼放入左邊的紅盤子里，又將4個小砝碼放入左邊的紅盤子里，讓學(xué)生們設(shè)想一下，如果他將5個小砝碼放入右邊的紅盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？（學(xué)生小聲地議論，有的說平衡，有的說不平衡。）這時，愛德華老師在右邊的紅盤子里放入5個小砝碼，學(xué)生們從數(shù)學(xué)天平秤可以直觀地感受到天平秤不平衡。愛德華老師進一步解釋為什么不平衡：因為左邊是7而右邊是5，其數(shù)學(xué)解釋是：7≠5。

●（-2）+5是否等于-3？愛德華老師將2個小砝碼放入左邊的黃盤子里，再將5個小砝碼放入左邊的紅盤子里，他讓學(xué)生們設(shè)想一下，如果將3個小砝碼放入右邊的黃盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？在學(xué)生們議論后，愛德華老師在右邊的黃盤子里放入3個小砝碼，學(xué)生們可以直觀地感受到天平秤不平衡。愛德華老師進一步解釋為什么不平衡：因為左邊是3而右邊是-3，其數(shù)學(xué)解釋是：3≠-3。

●（-7）+2是否等于-5？愛德華老師用上述方式引導(dǎo)學(xué)生先設(shè)想，然后議論，再直觀感受天平秤是否平衡，最后愛德華老師進一步解釋為什么平衡。

c.建立抽象思維，用實物建模來驗證抽象思維并讓學(xué)生有充分的時間來練習(xí)鞏固。當(dāng)學(xué)生對等式有了直觀的理解后，為了進一步幫助學(xué)生們建立對代數(shù)式的抽象理解，愛德華老師在黑板上寫出了下列題目并移開代數(shù)天平秤，要求學(xué)生用對應(yīng)的代數(shù)天平秤對這些等式的正誤作出判斷。

①9-7=3

②4×5=20

③3（-5）+4=11

在學(xué)生做題期間，愛德華老師來到兩個低于平均水平的同學(xué)旁邊，確認(rèn)他們對以上內(nèi)容是否跟得上和是否需要進一步的幫助。個別學(xué)生做得快的，愛德華老師或讓他們幫助別人，或讓他們思考一下如何用代數(shù)天平秤來展示代數(shù)等式。當(dāng)全班同學(xué)都完成了課堂練習(xí)，愛德華老師除了讓學(xué)生們做出解釋外，自己還將所有的題都重新解釋一遍，以便所有的學(xué)生都能懂得課堂上所涵蓋的內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生理解等式概念后，愛德華老師再一次使用代數(shù)天平秤來連接代數(shù)等式（方程式）以使學(xué)生能有直觀的感受并建立抽象思維。

●（-7）+2=x，當(dāng)x等于什么數(shù)時，才能使等式正確？愛德華老師將7個小砝碼放入左邊的黃盤子里，再將2個小砝碼放入左邊的紅盤子里，讓學(xué)生們設(shè)想一下，在右邊什么顏色的盤子里放入幾個小砝碼才能使代數(shù)天平秤平衡？如果他將5個小砝碼放入右邊的紅盤子里，天平秤是平衡還是不平衡？（學(xué)生小聲地議論，有的說應(yīng)放入紅盤子里，有的說應(yīng)放入黃盤子里。）在學(xué)生們議論之后，愛德華老師在右邊的黃盤子里放入5個小砝碼，學(xué)生們可以直觀地觀察到當(dāng)x等于（-5）時天平秤平衡。愛德華老師進一步解釋為什么平衡：因為左邊是-5而右邊也是-5，其數(shù)學(xué)解釋是（-7）+2=-5，即x=-5。

●x+4=-2，當(dāng)x等于什么數(shù)時，才能使等式正確？愛德華老師按照以上差不多的程序邊放砝碼，邊讓學(xué)生們設(shè)想答案、討論，最后在正確的盤子里放入6個小砝碼，讓學(xué)生們直觀地觀察到，當(dāng)x等于（-6）時天平秤平衡，等式正確。其數(shù)學(xué)解釋是-6+4=-2，即x=-6。

d.實際應(yīng)用。愛德華老師特別強調(diào)開放等式，即代數(shù)等式的重要性，并給出定義：開放等式（方程式）就是包含有一個或多個變量的等式。然后讓每個學(xué)生自己創(chuàng)造一到兩個與現(xiàn)實生活有聯(lián)系的含有一個未知數(shù)等式的例子，并要求學(xué)生能夠?qū)⑺麄儎?chuàng)造的方程式與鄰座的同學(xué)分享和討論。然后，愛德華老師讓學(xué)生將他們創(chuàng)造的含有一個未知數(shù)的方程式在全班與其他同學(xué)分享，并用學(xué)生們的實例作為討論的基礎(chǔ)。這里是部分學(xué)生的例子：

①w-11=34：杰克有一些鉛筆，他將11支鉛筆給了其他同學(xué)，還余34支鉛筆，問杰克原來有幾支鉛筆？

②6y+3=27：珊德娜已有$3，她利用周末幫助鄰居清掃院子每小時可得$6，問幾小時后，珊德娜可有$27？

③x/3=12：如果一個玩具的價格是$12，問喬治需要有多少錢才能購買3個玩具？

（2）引入新的內(nèi)容：解方程。

a.當(dāng)確定學(xué)生們對于代數(shù)等式在概念、計算和應(yīng)用三個方面有所了解后，愛德華老師這時將重點放在對方程的解上。什么是方程的解？愛德華老師讓學(xué)生充分討論，然后他歸納出方程的解的定義：方程的解是當(dāng)你將其代入原方程，使得這個方程的等式成立的那個數(shù)。愛德華老師先給出簡單方程解的例子：

①x+3=10，x=7是方程的解，因為7+3=10。

②110+y=115，y=15不是方程的解，因為110+15≠115。

b.愛德華老師在學(xué)生對于基本的代數(shù)等式即方程的解有比較深的理解后，將代數(shù)等式與現(xiàn)實生活連接起來。他一再告訴學(xué)生們不要急于求快，要等到完全懂得變量的關(guān)系后再列方程和解方程。他要求學(xué)生們將下列應(yīng)用題轉(zhuǎn)換成代數(shù)等式：

潛水員的設(shè)備重17kg，潛水員和設(shè)備共重89kg，問潛水員有多重？

在學(xué)生思考時，愛德華老師一再告誡學(xué)生們，他并不要求他們很快地找出答案，而是把重點放在變量關(guān)系上，從而正確地列出方程。在教室觀察一圈后，他發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)給出了106kg。為此，他帶領(lǐng)學(xué)生一同分析：

愛德華老師展示建模并找出抽象代數(shù)式的過程，指出x不可能是106kg，因為17+106≠89。

愛德華老師舉出另一個例子讓學(xué)生來建模、列方程和解方程：

一個容器重3kg，你的書包和容器加起來共重16.5kg，問你的書包的重量可否是13.5kg？你需要寫出方程，然后解方程來回答這個問題。你可以與你的同伴一起討論，然后由小組代表來與全班同學(xué)分享。

在這個活動中，同學(xué)們經(jīng)過討論，基本都能由直觀的方框圖產(chǎn)生出代數(shù)式，即3加上什么數(shù)能得到16.5，學(xué)生利用16.5-3=13.5，然后將解x=13.5代入3+x=16.5，得出16.5=16.5。

（3）應(yīng)用。

愛德華老師讓學(xué)生與相鄰?fù)瑢W(xué)討論并舉出（或創(chuàng)造）一個將應(yīng)用題轉(zhuǎn)換成代數(shù)等式的實際例子。下面的例子是一組學(xué)生經(jīng)過討論舉出的：

冰球運動員的設(shè)備和球衣重11kg，冰球運動員和他的設(shè)備以及球衣共重108kg。問冰球運動員的體重可否是99kg？

此時，學(xué)生們列方程、解方程以及檢查方程的解已基本沒有問題了。愛德華老師有意識地選出幾個學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生來回答這個問題，他們做出了下列回答：

列方程：11+x=108

檢查方程的解：將x=99代入方程得出110≠108。因此冰球運動員的體重不可能是99kg。

需要指出的是，在這個班上，無論是學(xué)習(xí)能力較強的、較弱的，還是學(xué)習(xí)能力平均的學(xué)生，都能認(rèn)真地記錄自己的課堂筆記。愛德華老師利用盡可能多的機會與不同學(xué)生互動，特別是對學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，更是給予盡可能多的和有意識的關(guān)心。這在無形中也起到了檢查學(xué)生的作用。

3.寫數(shù)學(xué)日志。

這節(jié)課最后一項教學(xué)內(nèi)容是讓學(xué)生寫今天的數(shù)學(xué)日志。日志內(nèi)容包括：日期、數(shù)學(xué)概念（變量和方程式）以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，最后一項是書面解釋：如何檢查x=7是否是方程3x-10=11的解。愛德華老師要求學(xué)生們用自己的語言來闡述他們所學(xué)到的知識，并與相鄰的同學(xué)交流，然后隨機地抽出幾個學(xué)生與全班分享他們所學(xué)到的知識。

在學(xué)生們專心地寫數(shù)學(xué)日志時，愛德華老師再一次走到不同學(xué)生的面前，以便確認(rèn)這些學(xué)生確實掌握了今天所教的內(nèi)容。

最后，愛德華老師用抽簽的方式來讓3個學(xué)生在全班闡述他們的數(shù)學(xué)日志以達(dá)到總結(jié)本課內(nèi)容、復(fù)習(xí)和鞏固所學(xué)知識的目的。

課例評述

這是一堂普通的代數(shù)預(yù)備課。由于學(xué)生多為少數(shù)族裔，使得教課的節(jié)奏相對較慢，因為愛德華老師知道，教這樣的學(xué)生不能快，否則效果會相反。盡管如此，這節(jié)課還是體現(xiàn)了概念、計算和應(yīng)用三個方面的重點。下面用12條有效教學(xué)的內(nèi)容來討論愛德華老師的課。

（1）相關(guān)性：愛德華老師非常明確教學(xué)的目的并與課程標(biāo)準(zhǔn)相對應(yīng)，即學(xué)生能夠懂得未知數(shù)和簡單方程的解法。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生水平和教學(xué)目的相關(guān)。

（2）聯(lián)系性：愛德華老師以學(xué)生已有的知識為切入點，并使之與新內(nèi)容相聯(lián)系。更重要的是，他不僅自己聯(lián)系實際進行教學(xué)，還要求學(xué)生能夠舉出與實際生活相聯(lián)系的例子來加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。

（3）平衡性：這節(jié)課在數(shù)學(xué)概念、熟練計算和實際應(yīng)用上取得了相對平衡。從時間上統(tǒng)計，愛德華老師用于數(shù)學(xué)概念的時間為21分鐘（35%），熟練計算上的時間為16分鐘（27%），實際應(yīng)用上的時間為19分鐘（32%）。

（4）有序性：愛德華老師兼顧了不同層次的學(xué)生，由淺入深從預(yù)備知識到概念的引進及框架的設(shè)置；從老師的介紹到學(xué)生的創(chuàng)造和反饋；從學(xué)生的課堂練習(xí)到學(xué)生與老師的互動，層次分明，邏輯推理由易到難。

（5）多元性：愛德華老師的這個班是典型的多元化班級。此多元化不僅體現(xiàn)在種族的多元，還體現(xiàn)在學(xué)習(xí)能力的多元。不讓一個孩子掉隊是愛德華老師的目標(biāo)。為此，他將精力用在了學(xué)習(xí)能力較差的孩子身上，利用一切機會來檢查這些學(xué)生的進度。比如，這節(jié)課，愛德華老師利用課堂練習(xí)的機會與兩個低于平均水平的學(xué)生的互動多達(dá)5次，共計使用8分鐘（13%）的時間。他還對高于平均水平的學(xué)生提出新的學(xué)習(xí)要求，即幫助別人和思考超前的學(xué)習(xí)內(nèi)容（比如，如何用代數(shù)天平秤來展示代數(shù)等式）。這節(jié)課還體現(xiàn)了教學(xué)的多元化，愛德華老師不僅用講授和展示的方法，還用提問、小組討論、學(xué)生表達(dá)和展示的方法，極大地提高了學(xué)生的參與度。

（6）評價性：愛德華老師在講授新課之前，通過POD就已教內(nèi)容對全班學(xué)生做了檢測。這個檢測活動是有目的的，并且是隨課堂教學(xué)而進行的，比如，他讓學(xué)生與相鄰?fù)瑢W(xué)相互闡述等式的內(nèi)容和日常生活的例子，然后由學(xué)生代表在全班進行闡述；再比如，他讓學(xué)生與相鄰?fù)瑢W(xué)討論并將他們創(chuàng)造的含有一個未知數(shù)的方程式在全班與其他同學(xué)分享。結(jié)束時，他讓學(xué)生用日志來反映學(xué)習(xí)的情況。這些例子說明，愛德華老師用不同的方法了解學(xué)生掌握新知識的程度，以幫助他自己實時調(diào)整講課的內(nèi)容。

（7）創(chuàng)新性：愛德華老師使用代數(shù)天平秤來闡述代數(shù)等式的特點：開放等式和兩邊相等顯得有新意。特別是對負(fù)數(shù)在等式中的應(yīng)用，利用帶有負(fù)數(shù)的代數(shù)天平秤來闡述十分直觀，起到了幫助學(xué)生從直觀思維到抽象思維過渡的目的。愛德華老師并不是一味地按照教科書的順序來教學(xué)，而是按照學(xué)生的理解程度來設(shè)計教學(xué)進度，以使教學(xué)材料有新意，有吸引力，使得學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)。

（8）互動性：愛德華老師不僅鼓勵學(xué)生與其他同學(xué)討論問題，給學(xué)生創(chuàng)造互動的機會，而且還自己投入到學(xué)生中與學(xué)生互動。本節(jié)課，學(xué)生共有數(shù)次的互動機會，增強了團隊的意識。老師通過與學(xué)生的互動，了解了學(xué)生，特別是學(xué)習(xí)能力低的學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解程度，從而促進學(xué)生自發(fā)參與學(xué)習(xí)。

（9）反思性：愛德華老師在課中有意識地引導(dǎo)學(xué)生互相討論、自我指導(dǎo)、自我反思、自我評價。在課結(jié)束時，學(xué)生有機會用數(shù)學(xué)日志的方式來反思所學(xué)的內(nèi)容。他還用抽卡片的隨機方法來鼓勵學(xué)生的參與而不是按照學(xué)生成績的好壞來讓學(xué)生回答問題，這既體現(xiàn)了公平又使得學(xué)生隨時都要集中注意力。

（10）公平性：這個班雖然有不同程度的學(xué)生，但愛德華老師竭盡全力建立公平的學(xué)習(xí)環(huán)境，尊重不同智力孩子的努力，使課堂具有寬容的學(xué)習(xí)氣氛。比如，用不同的教學(xué)手段（運用教學(xué)用具來幫助不同程度的學(xué)生）；用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)（語言表達(dá)、數(shù)學(xué)式子表達(dá)、實際問題表達(dá)、方框圖表達(dá)以及書面寫作表達(dá)）來展示學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解；用不同的方法（老師授課、學(xué)生小組討論、老師隨機抽查學(xué)生）來鼓勵學(xué)生的參與。

（11）責(zé)任感：此課體現(xiàn)愛德華老師具有較高的課堂管理藝術(shù)。學(xué)生具有較強的組織紀(jì)律性和責(zé)任感。他們知道來到此課堂的目的是學(xué)習(xí)而不是其他。學(xué)生們與他人討論，有助于培養(yǎng)學(xué)生的小組合作精神，無論學(xué)習(xí)好壞，都把自己看作是小組的一員。同時也幫助學(xué)生樹立讓每個人都成為學(xué)習(xí)中的勝利者的非常積極的人生態(tài)度。

（12）有效性：這節(jié)課基本上沒有浪費時間。全課用了56分鐘（93%）在教學(xué)內(nèi)容上。由于學(xué)生的投入和參與，全課基本上沒有紀(jì)律問題。

說明：本節(jié)課是作者在課堂教學(xué)研究中的課例之一，系作者親自觀察得到。為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，課后作者將印有兩個小問題的小紙條交由學(xué)生填寫作為學(xué)習(xí)反饋。這兩個小問題是讓學(xué)生創(chuàng)造性地陳述他們從這堂課所學(xué)到的知識并給出一個實際例子來說明他們對所學(xué)知識的應(yīng)用。結(jié)果表明大多數(shù)學(xué)生達(dá)到了本課的教學(xué)要求。