本期話題：學(xué)生為什么學(xué)不好數(shù)學(xué)？

【按】每個(gè)教師都會(huì)遇到學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，數(shù)學(xué)教師尤其不會(huì)例外。處理方式無非有這么幾種：（1）忽略。（2）給予“特別”的輔導(dǎo)，多講解幾遍。（3）與學(xué)生溝通，找到真正絆倒他們的障礙?？梢院敛豢鋸埖卣f，采取第三種處理辦法的教師寥寥無幾。一方面是因?yàn)槿狈@種意識(shí)，另一方面也很欠缺這種能力。從這個(gè)角度說，俞正強(qiáng)老師的嘗試就十分難得。學(xué)生為什么學(xué)不好數(shù)學(xué)？他們存在哪些共性？又各自有哪些問題？老師的幫助是有效的嗎？不做這樣的追問和審視，教師就可能在做無用功。

從某種意義上說，教育是特別為那些發(fā)展不那么自主的人而存在的。相對于那些天生具有某些能力的人而言，教育的價(jià)值似乎并不凸顯；相反，對發(fā)展暫時(shí)困難的人來說，教育才真正扮演了“教育”的角色一及時(shí)的介入、恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、微小的點(diǎn)撥，這些都會(huì)成為改變?nèi)诵闹堑膹?qiáng)大力量。教育理應(yīng)摒棄以往的功利面孔，回歸責(zé)任的本原。

在一個(gè)追求教育均衡的時(shí)代，在一個(gè)高揚(yáng)人文關(guān)懷的社會(huì)里，這些學(xué)生存在的種種問題都應(yīng)該成為我們特別關(guān)注的焦點(diǎn)。唯愿更多的學(xué)生切實(shí)享受到宏大的社會(huì)追求帶來的種種關(guān)愛。

一、問題：她需要什么樣的幫助？

有這樣一道題目：

XX牌52型拖拉機(jī)，一天耕地150公畝，問12天耕地多少公畝？

一位學(xué)生是這樣解的：52x150X12=（略）

因?yàn)槭切陆拥乃哪昙?jí)班，對孩子不熟悉，所以俞老師就找她問話：

”告訴我，你為什么這么列式？”

“老師，我錯(cuò)了。”

“好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？”

“除?！?/p>

“怎么除？”

“大的除以小的。”

“為什么是除呢？”

“老師，我又錯(cuò)了。”

“你說，對的該怎樣呢？”

“應(yīng)該把它們加起來?！?/p>

看來，這位學(xué)生是在瞎猜，只要老師重復(fù)問一句，她就習(xí)慣性地說自己錯(cuò)了，接著拿另一種計(jì)算方法來搪塞。顯然，她沒有學(xué)會(huì)分析，她知道加減乘除肯定有一種是適合這道題目的，這也是在許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生中常見的現(xiàn)象。于是，俞老師又對她說：

“我們換一道題目，比如你每天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？”

俞老師想這道題她應(yīng)該會(huì)做，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)與前面的題目一樣，都是每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生遷移一下就可以了。

“老師，我早上不吃大餅的?！?/p>

“那你吃什么？”

“我經(jīng)常吃粽子?！?/p>

“好，那你每天吃兩個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”

“老師，我一天根本吃不下兩個(gè)粽子?！?/p>

“那你能吃幾個(gè)粽子？"

“吃半個(gè)就可以了?！?/p>

“好，那你每天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”

“兩個(gè)半?！?/p>

“怎么算出來的？”

“兩天一個(gè)，5天兩個(gè)半?！?/p>

這位學(xué)生的問題在哪里呢？學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是從生活經(jīng)驗(yàn)開始的，并具有很強(qiáng)的生活型思維習(xí)慣，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的是數(shù)學(xué)思維方式。舉例來說，當(dāng)學(xué)生面對“每天吃兩個(gè)粽子”這一材料時(shí)，有的學(xué)生首先會(huì)想：這可能嗎？而有的學(xué)生首先會(huì)想：這是每份數(shù)。前者是一種極生活化的思考，關(guān)注材料的合理性；后者是一種數(shù)學(xué)思考，將材料抽象為一個(gè)“量”，從而進(jìn)行形式化的演繹思考。

這位學(xué)生的問題就在于這種數(shù)學(xué)思考的方式尚未建立起來，也就是說，她需要的不是老師不斷地重復(fù)講這類題目，而是建立起與題目對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言間的數(shù)理關(guān)系進(jìn)行演繹建構(gòu)，形成我們通常所說的思維能力。而這種關(guān)于語言與思維能力的輔導(dǎo)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師所未曾注意的。

因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)解決問題之前，需要有一個(gè)問題解決工具的掌握過程，我把這個(gè)過程稱為準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)。如果學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)生困難，教師應(yīng)該把力量花到與該學(xué)習(xí)相關(guān)的準(zhǔn)備性材料，上去。

上述過程同時(shí)也說明，學(xué)生在學(xué)習(xí)某一知識(shí)點(diǎn)之前，對這一知識(shí)的了解是不均衡的。這樣，我們對班級(jí)授課制下的學(xué)生學(xué)習(xí)差異的成因與對策就有了一種新的認(rèn)識(shí)。平時(shí)老師經(jīng)常會(huì)感嘆：為什么同樣的老師同樣的時(shí)間，而且都是新內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)差別會(huì)如此之大！原因就在于學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容之前所形成的認(rèn)識(shí)是有差別的。用有差別的內(nèi)在圖式去順應(yīng)或同化一個(gè)新內(nèi)容，結(jié)果當(dāng)然是不同的。而通過準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)，將學(xué)生尚處于經(jīng)驗(yàn)水平的圖式調(diào)整到大致相同的水平上來，是解決班級(jí)授課中學(xué)生差異的有效途徑。

二、四個(gè)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)案例的分析。

事實(shí)上，當(dāng)我們從案例中受到啟發(fā)而對準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)開始思考的時(shí)候，才意識(shí)到我們的教育先哲們曾經(jīng)對學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的重要性作過精辟的論述。比如孔子“溫故而知新"中的“溫故”即是對學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的強(qiáng)調(diào)；比如皮亞杰提出的同化與順應(yīng)，都基于內(nèi)在的圖式，而內(nèi)在的圖式即可視為對學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的強(qiáng)調(diào)但是，實(shí)踐層面系統(tǒng)的研究卻一直被我們忽視了。

下面以四個(gè)準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)的案例為載體來討論數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中，通過改善學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，來提高群體學(xué)習(xí)質(zhì)量的可能。

案例一：幫助學(xué)生積累、整理與改造經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與純粹的知識(shí)之間的關(guān)系是一個(gè)十分值得教師去研究的領(lǐng)域，這種研究可以對學(xué)習(xí)過程中許多令人迷惑的問題做出回答。

數(shù)學(xué)知識(shí)的起始學(xué)習(xí)應(yīng)該植根于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之中，這已是教師們的共識(shí)。但是，我們卻很少去關(guān)注學(xué)生個(gè)體在經(jīng)驗(yàn)獲得上的差別。而且個(gè)體所獲得的經(jīng)驗(yàn)質(zhì)量也是參差不齊的。形成經(jīng)驗(yàn)差別的原因主要有兩個(gè)：生活經(jīng)歷與學(xué)生在經(jīng)歷中的悟性。因?yàn)閷W(xué)生的經(jīng)驗(yàn)有所差別，形成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同起點(diǎn)，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同結(jié)果。

因此，在學(xué)習(xí)純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)之前，分析該數(shù)學(xué)知識(shí)所依賴的經(jīng)驗(yàn)，并通過一定的教學(xué)方式，使班級(jí)學(xué)生能夠在經(jīng)驗(yàn)層面上達(dá)到大致相同的可接受水平，這對于群體學(xué)習(xí)是十分重要的。

課例：“半個(gè)”和“一半”教學(xué)目的：激活學(xué)生生活中關(guān)于分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生由生活中的分敷語言向科學(xué)的分?jǐn)?shù)語言發(fā)展。

學(xué)具準(zhǔn)備：一張圓形紙片教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：“半個(gè)”的研究

問題（1）你見過“半個(gè)”東西嗎？在哪里看到的？

（目的：激活“半個(gè)”的經(jīng)驗(yàn)。）

問題（2）“半個(gè)”和“小半個(gè)”、“大半個(gè)”有什么不同？

（目的：提煉經(jīng)驗(yàn)中關(guān)于“半個(gè)”、“平均”的體驗(yàn)。）

問題（3）你能用例子來證明你得到的一定是半個(gè)而不是小半個(gè)嗎？

（目的：用圓形紙片對折，強(qiáng)化平均體驗(yàn)。）

環(huán)節(jié)二：“一半”的研究

問題（1）你認(rèn)為“一半"和“半個(gè)”是同一回事嗎？

（目的：了解學(xué)生關(guān)于“一半”與“半個(gè)”的生活認(rèn)識(shí)。）

問題（2）請你舉一個(gè)例子說拿出了“一半”。

[目的：體會(huì)必須說清楚，拿出誰（單位“1”）的一半？]

問題（3）請你舉一個(gè)例子說說“一半”和“半個(gè)”有什么地方不同。

（目的：體會(huì)分率與量的區(qū)別。）

問題（4）你能說說“一半”和“半個(gè)”有什么共同之處嗎？

（目的：體會(huì)并抽象出認(rèn)識(shí)：都是平均分成兩份得來的。）

環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)

經(jīng)驗(yàn)是介于純粹的生活與科學(xué)的知識(shí)之間的一種認(rèn)識(shí)，對分?jǐn)?shù)這一概念而言，可做如下分析：

純粹的生活經(jīng)歷

典型場景：分西瓜（分月餅）

經(jīng)驗(yàn)

典型描述：半個(gè)（小半個(gè)）

科學(xué)的概念認(rèn)識(shí)

典型陳述：把“1”平均分成兩份，取其中的一份是二分之一

從上述分析可以看出，支撐學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念的不是分西瓜或分月餅這一情景本身，而是由這一情景激起的經(jīng)驗(yàn)。但這一事實(shí)，卻在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中被忽視了，或者說被我們省略了。這種省略既表現(xiàn)在教材設(shè)計(jì)上，也表現(xiàn)在教師的課堂教學(xué)中，所以，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，往往是從切分的生活情景直接跳躍到純粹的概念，這個(gè)跳躍過程掩蓋了學(xué)生經(jīng)驗(yàn)上的差別，這種經(jīng)驗(yàn)上的差別必然表現(xiàn)為科學(xué)概念獲得，上的差別。

需要特別指出的是，經(jīng)驗(yàn)的獲得是純個(gè)人的，具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。悟性高的學(xué)生會(huì)比較快地從經(jīng)歷中獲得經(jīng)驗(yàn)，且獲得的經(jīng)驗(yàn)具有一定的抽象水平，具有學(xué)習(xí)性。悟性低的學(xué)生會(huì)僅停留于事件本身，沒有獲得經(jīng)驗(yàn)或所獲得的經(jīng)驗(yàn)抽象水平低，不能成為支撐學(xué)生個(gè)體接受科學(xué)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)問題的首先是這些悟性低的學(xué)生，由于悟性（或經(jīng)歷本身）的差別，在新知識(shí)的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)處于一個(gè)不均衡的起點(diǎn)，即悟性高的學(xué)生是不自覺地從經(jīng)驗(yàn)水平到科學(xué)概念水平，而悟性欠缺的學(xué)生是被迫從事件本身直接接受科學(xué)概念的學(xué)習(xí)，因此，他們的理解會(huì)不深刻、不全面，他們需要死記硬背。

可以認(rèn)為，如果有這么一個(gè)過程，讓小學(xué)生們在事件的經(jīng)歷中討論他們所獲得的經(jīng)驗(yàn)，把學(xué)生們原本不自覺的、自生自滅的經(jīng)驗(yàn)獲得，以一種課堂討論的方式予以呈現(xiàn)，讓所有學(xué)生意識(shí)到經(jīng)驗(yàn)獲得之間的差別，并同時(shí)意識(shí)到在一個(gè)事件的經(jīng)歷過程中，是有學(xué)向可以感悟的，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)獲得能力與經(jīng)驗(yàn)的改造能力，使群體中學(xué)生個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)處于基本類似的水平上，對于學(xué)生科學(xué)概念的獲得具有重要意義。

案例二：幫助學(xué)生建立、轉(zhuǎn)換與使用數(shù)學(xué)語言。

語言是思維的工具，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量不高與數(shù)學(xué)語言的建立與使用的熟練水平有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言的建立與使用需要進(jìn)行專門的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練。當(dāng)然，大而言之，每一節(jié)數(shù)學(xué)課學(xué)生都是在學(xué)習(xí)或建立數(shù)學(xué)語言，語言學(xué)習(xí)是逐漸豐滿完善的。但是一些幫助學(xué)生思考的語言工具如線段圖、樹形圖等，則需要有專門的課程。

課例：線段圖

教學(xué)目的：認(rèn)識(shí)線段困，學(xué)會(huì)用線段困幫助思考問題。

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：展現(xiàn)線段圖的抽象過程

問題（1）生活語言：有3只小鳥，這句話可以用什么符號(hào)來表示？

符號(hào)表示一

符號(hào)表示二

符號(hào)表示三

符號(hào)表示四

（目的：展現(xiàn)符號(hào)由具象到抽象的過程，使學(xué)生體會(huì)線段圖表示數(shù)量的功能。）

問題（2）生活語言：自行車比小汽車多2輛，你可以用怎樣的符號(hào)來表示？

符號(hào)表示一

符號(hào)表示二

符號(hào)表示三

問題（3）你認(rèn)為用哪種符號(hào)來表示更好？

（目的：線段可以表示更多數(shù)量，更簡潔、明了。）

環(huán)節(jié)二：練習(xí)認(rèn)識(shí)線段圖

練習(xí)（1）請用線段困表示下列生活語言。

①雞和鴨一共50只。

……

練習(xí)（2）請用語言陳述下列線段圍所表達(dá)的意義。

①雞

鴨

……

環(huán)節(jié)三：進(jìn)一步學(xué)習(xí)線段圖案例三：幫助學(xué)生體驗(yàn)、感悟與表達(dá)數(shù)學(xué)思想。

一個(gè)正常的學(xué)童，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中碰到的第一個(gè)困難往往與“比較”連在一起，可以說，“比較”這一數(shù)學(xué)思想貫穿了小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，這一條貫徹始終的線可以簡單地羅列為下列幾個(gè)典型句式：

第一階段：口和口一樣多。

1、2年級(jí)口比口多（少）幾。

第二階段：口是口的幾倍。

3、4年級(jí)口比口的幾倍多（少）幾。

第三階段：口是口的幾分之幾。

5、6年級(jí)口比口多（少）幾分之幾。

從學(xué)生的發(fā)展來看，如果在1、2年級(jí)時(shí)沒搞清楚的，那么后續(xù)的學(xué)習(xí)會(huì)一直發(fā)生錯(cuò)誤。針對學(xué)生的困難，教師必須思考這樣一個(gè)問題：即支撐學(xué)生理解“比較”的內(nèi)在結(jié)構(gòu)是什么？筆者認(rèn)為是一種被稱之為“對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。

在小學(xué)三年級(jí)，有學(xué)生在解答應(yīng)用題“已知3小時(shí)行駛150千米，照這樣計(jì)算，那么4小時(shí)應(yīng)行駛多少千米”時(shí)，會(huì)出現(xiàn)這樣的列式：150÷4x3，究其原因，就是對應(yīng)思想缺乏或不成熟，對識(shí)別信息不能自動(dòng)地對應(yīng)處理，導(dǎo)致數(shù)學(xué)認(rèn)知的混亂。

因此，在小學(xué)起始階段，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該去關(guān)注或有意培養(yǎng)學(xué)生的對應(yīng)思想、守恒思想、互逆思想等。

小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊第一節(jié)內(nèi)容是“數(shù)數(shù)”，第二節(jié)內(nèi)容是“比較”，這兩個(gè)材料其實(shí)就是用來觀察學(xué)生對應(yīng)思想的成熟水平的，并根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平，有目的地讓學(xué)生做一些關(guān)于一一對應(yīng)的練習(xí)與游戲，是一個(gè)十分有意義的準(zhǔn)備性材料。

課例：數(shù)一數(shù)比一比（一年級(jí)）教學(xué)目的：培養(yǎng)學(xué)生一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)準(zhǔn)備：圍棋子若干教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：數(shù)數(shù)（一個(gè)一個(gè)數(shù)）（要求學(xué)生用手指點(diǎn)物并報(bào)數(shù)，了解學(xué)生數(shù)數(shù)中對應(yīng)思想的發(fā)展。）

環(huán)節(jié)二：數(shù)數(shù)（幾個(gè)幾個(gè)數(shù)）（目的：從一個(gè)一個(gè)對應(yīng)，到一組一組對應(yīng)。）

環(huán)節(jié)三：比較兩堆棋子

材料1：

問：白子黑子誰更多？

材料2：

問：白子黑子誰更多？

（目的：運(yùn)用對應(yīng)進(jìn)行比較。）

環(huán)節(jié)四：聽故事，說出誰家的人比較多（略）

（目的：將故事中的人對應(yīng)到某家之下，培養(yǎng)學(xué)生的對應(yīng)能力。）

案例四：培養(yǎng)學(xué)生的思維要素并達(dá)到熟練運(yùn)用。

新課程提倡探究學(xué)習(xí)，老師們在運(yùn)用探究學(xué)習(xí)法的時(shí)候都認(rèn)為很好，可是實(shí)踐起來比較困難，因?yàn)樘骄亢苜M(fèi)時(shí)間，影響教學(xué)進(jìn)度，使得這樣一種有意義、有價(jià)值的學(xué)習(xí)方式未能很好地為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)。那么，有沒有辦法能夠使探究學(xué)習(xí)省時(shí)間呢？有，就是通過系統(tǒng)的課程，培養(yǎng)學(xué)生的思維要素，如怎樣觀察、如何分類、抽象聯(lián)結(jié)等。一個(gè)學(xué)生有了良好的思維要素，探究活動(dòng)就會(huì)變得有效率。

比如培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)結(jié)能力，可以參考美國的OM頭腦訓(xùn)練方法。課例：聯(lián)結(jié)能力的培養(yǎng)

材料：把（）和（）聯(lián)結(jié)起來規(guī)則：（1）評分：一般回答得2分，有創(chuàng)意回答得5分；（2）不得重復(fù)。

操作辦法：短時(shí)間地經(jīng)常練習(xí)。效果：以五年級(jí)兩個(gè)班為比較對象，A班從三年級(jí)開始就經(jīng)常開展類似的思維要素的訓(xùn)練，B班從未開展過類似的訓(xùn)練。測試材料相同，即“一水池單開進(jìn)水管12小時(shí)放滿，單開出水管15小時(shí)放完，如果同時(shí)打開進(jìn)水管與出水管，問幾小時(shí)可以把水池放滿？”

有人說在生活中是不可能出現(xiàn)同時(shí)打開進(jìn)出水管這樣的情景的，你認(rèn)為這種情況會(huì)出現(xiàn)嗎？

學(xué)生答案整理：

從兩個(gè)班的回答中不難發(fā)現(xiàn)，A班通過思維要素的訓(xùn)練，其聯(lián)結(jié)與抽象的能力已非常突出，他們可以透過具體的形式進(jìn)入最為重要的本質(zhì)，思考的質(zhì)量很高。B班因?yàn)闆]有進(jìn)行過類似的思維要素的訓(xùn)練，就一直拘泥于形，以“忘記"來作解釋。

從這樣的事例中也可以看出，準(zhǔn)備課的準(zhǔn)備性也許在上準(zhǔn)備課的時(shí)候，并不能馬上看出這節(jié)準(zhǔn)備課對于學(xué)生的學(xué)習(xí)有什么幫助，但長遠(yuǎn)來看，這些準(zhǔn)備課將深深地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與思考質(zhì)量。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。在新教材中，有許多關(guān)于經(jīng)歷活動(dòng)、積累經(jīng)驗(yàn)的材料，比如“認(rèn)識(shí)物體”，讓學(xué)生看一看，摸一摸，滾一滾，這個(gè)過程中雖然沒有對圓柱體下科學(xué)定義，但學(xué)生從中感悟的經(jīng)驗(yàn)對學(xué)生在六年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)圓柱體，無疑是十分有益的再比如“認(rèn)識(shí)物體"，比如“平移”“旋轉(zhuǎn)”等課程，都使學(xué)生積累了有益于理解數(shù)學(xué)概念與問題情境的經(jīng)驗(yàn)。

三、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課充滿創(chuàng)造性和人文關(guān)懷。

準(zhǔn)備課，顧名思義，是以學(xué)習(xí)準(zhǔn)備為目的的課，即幫助學(xué)習(xí)主體具備知識(shí)學(xué)習(xí)所要求的一些條件，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量而設(shè)計(jì)的課。就廣義而言，小學(xué)數(shù)學(xué)的每一節(jié)課都是后續(xù)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備課。但本文所探討的是狹義的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課，它通常是指為提高數(shù)學(xué)顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)質(zhì)量而進(jìn)行的，指向經(jīng)驗(yàn)、思維要素、學(xué)習(xí)品質(zhì)、數(shù)學(xué)語言等內(nèi)容的課堂學(xué)習(xí)。

準(zhǔn)備課涉及的多半是隱性知識(shí)（如內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)、內(nèi)隱圖式、習(xí)慣、思維品質(zhì)、思維要素等），作為顯性知識(shí)的支撐部分在起作用，它所取得的效果往往難以像顯性知識(shí)那樣及時(shí)檢測出來。但是，它又的確是教師為使國家課程能為學(xué)生所接受而進(jìn)行的創(chuàng)造性工作的一部分，是十分值得為之努力的一個(gè)領(lǐng)域。我們知道，一門學(xué)科課程，課程開發(fā)者多從學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性來考慮問題，這些問題可以表現(xiàn)為由簡人繁、由淺人深、由易入難等。而數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課則強(qiáng)調(diào)了人的狀況，即從人的可接受性來思考問題，完全是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力而進(jìn)行的。這是對人深入靈魂的學(xué)習(xí)關(guān)懷；是以教師的實(shí)際行動(dòng)來幫助每一個(gè)學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的成功，獲得課堂生活的自信，從而在真正意義上實(shí)現(xiàn)教育發(fā)展的公平與教育質(zhì)量的均衡。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課的類型。

按照不同分類標(biāo)準(zhǔn)，小學(xué)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課呈現(xiàn)不同的類型。

1.按學(xué)生的學(xué)習(xí)材料分類。（1）經(jīng)驗(yàn)類。

這一類準(zhǔn)備課程主要幫助學(xué)生積累更多的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生有充分的感性認(rèn)識(shí)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)整理，使之調(diào)整到適宜學(xué)習(xí)的狀態(tài)上來。

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)包括：

程序的經(jīng)驗(yàn)：這種經(jīng)驗(yàn)源自生活中的行動(dòng)，比如分蘋果，呈現(xiàn)一個(gè)先后的程序性的聚合與分散的過程，在這一過程中獲取的經(jīng)驗(yàn)成為學(xué)生理解加、減、乘除運(yùn)算方式的基礎(chǔ)。

情景的經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生對應(yīng)用題的理解程度與學(xué)生對情景的熟悉水平具有相關(guān)性。如果學(xué)生熟悉某一問題的情景，就能夠以一種親切而有信心的情緒狀態(tài)進(jìn)行思考，反之，學(xué)生就會(huì)如同進(jìn)入一個(gè)陌生地帶，以一種略帶緊張的情緒狀態(tài)進(jìn)行思考，從而影響思考的質(zhì)量。

關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)：能否在數(shù)與數(shù)、量與量之間建立正確的關(guān)系，是影響小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的一個(gè)重要因素，這些建立關(guān)系的能力取決于小學(xué)生有關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，比如學(xué)生，的購物經(jīng)驗(yàn)，能夠使他們比較容易地建立起單價(jià)與數(shù)量的相乘關(guān)系。

空間的經(jīng)驗(yàn)：以從上下、左右、前后、內(nèi)外開始建立起來的方位經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，學(xué)生在空間方面所獲得的經(jīng)驗(yàn)對形體知識(shí)的理解具有十分重要的意義。

其他相關(guān)經(jīng)驗(yàn)：比如度量、對聲音的感受，等等。

（2）語言類。

這一類準(zhǔn)備課主要幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語言與生活語言的差別，并學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行思考，試著用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生們接觸到的數(shù)學(xué)語言主要包括圖形、數(shù)字、字母、關(guān)系式等。（3）數(shù)學(xué)思想類。

數(shù)學(xué)思考往往建筑于某些特定數(shù)學(xué)思想的成熟，比如一一對應(yīng)、守恒、互逆等，在這些數(shù)學(xué)思想發(fā)展不成熟的情況下，需設(shè)計(jì)相應(yīng)的課程幫助學(xué)生盡快理解這些數(shù)學(xué)思想，并使之成熟。

（4）學(xué)習(xí)方法類。

主要向?qū)W生講授一些關(guān)于學(xué)習(xí)方法的知識(shí)，培養(yǎng)一些習(xí)慣，對學(xué)習(xí)心理形成初步的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力。

2.按教師材料的組織分類。（1）新課程的教材提供的再創(chuàng)型準(zhǔn)備課。

新課程的教材已經(jīng)有許多用于學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的材料，這些材料需要老師進(jìn)行合理的再創(chuàng)造，實(shí)現(xiàn)其關(guān)于學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的意義。下面，我們以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，來看看其中為學(xué)習(xí)準(zhǔn)備提供的材料。

與舊教材相比，新教材有了許多具有準(zhǔn)備意義的內(nèi)容，是教師著手研究學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的好材料。就小學(xué)數(shù)學(xué)教材來看，這種材料以一、三年級(jí)為最多，二年級(jí)其次，這是符合小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的，數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)很好地認(rèn)識(shí)這種規(guī)律。下面，我們以“時(shí)間”為主題進(jìn)行新舊教材的分析：

漸教版小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于“時(shí)間”的學(xué)習(xí)安排在三年級(jí)上冊（第五冊），以“時(shí)、分、秒的認(rèn)識(shí)”為課題，從認(rèn)識(shí)鐘面到時(shí)、分、秒的進(jìn)率安排了兩個(gè)課時(shí)。

在人教版新教材中，關(guān)于“時(shí)間”的認(rèn)識(shí)，預(yù)先分別安排了一年級(jí)（上）“認(rèn)識(shí)鐘表”和一年級(jí)（下）“認(rèn)識(shí)時(shí)間”兩個(gè)準(zhǔn)備性材料，這兩個(gè)材料均處于生活經(jīng)驗(yàn)層面，目的是將模糊的自覺性經(jīng)驗(yàn)凸顯為公共性經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)、分、秒做好準(zhǔn)備。

（2）教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際原創(chuàng)的準(zhǔn)備課程。

學(xué)習(xí)是一種共性行為，同時(shí)也是個(gè)性行為，學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的隨機(jī)問題，需要教師及時(shí)解決，這就要求教師本人進(jìn)行原創(chuàng)性的課程開發(fā)，可以依據(jù)前面論述的不同分類進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)計(jì)。

另外，值得一提的是，準(zhǔn)備課有多種表現(xiàn)形式，有呈現(xiàn)為復(fù)習(xí)課的，有呈現(xiàn)為新授課之中復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的，有呈現(xiàn)為數(shù)學(xué)游戲的，有呈現(xiàn)為數(shù)學(xué)參觀活動(dòng)的，有呈現(xiàn)為針對某一經(jīng)驗(yàn)而專門設(shè)計(jì)成課堂學(xué)習(xí)形態(tài)的，等等，不一而足。數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課的多樣性使得小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一個(gè)持續(xù)的過程，成為一個(gè)與學(xué)生生活始終連接在一起的整體。

在研究的過程中發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備課的作用是明顯的，主要有兩點(diǎn)：一是給老師提供了一條新思路，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生困難時(shí)，回到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的源頭去，而不是在末端與學(xué)生糾纏不清；二是對學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的影響是久遠(yuǎn)而深刻的。