新課程理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。從小培養(yǎng)和發(fā)展兒童建構(gòu)、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)和能力，是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的要求，也是在新課程實(shí)施中，需要廣大教師思考和實(shí)踐探索的重要課題。數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中各種基本概念以及用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言或圖像語(yǔ)言刻劃表達(dá)的某種實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有關(guān)幾何圖形方面的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算公式就是一種數(shù)學(xué)模型。不過(guò)，有關(guān)幾何知識(shí)的數(shù)學(xué)模型多而雜，較抽象，易混淆，是教學(xué)的一大難點(diǎn)。如何優(yōu)化教法和學(xué)法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用中更好地掌握知識(shí)、發(fā)展能力、培養(yǎng)興趣、促進(jìn)創(chuàng)新，打破幾何知識(shí)難教難學(xué)的神話呢?下面就從如何引領(lǐng)學(xué)生活學(xué)、活記、活用幾何計(jì)算公式這三個(gè)方面談?wù)勛约旱囊恍┳龇ā?/p>

一、教學(xué)手段直觀化——活學(xué)

要使學(xué)生很好地理解幾何知識(shí)方面的計(jì)算公式，教者必須借助有效的直觀手段，幫助學(xué)生建立有關(guān)幾何圖形的清晰表象，掌握幾何圖形的特征，理解計(jì)算公式的建模過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和形象思維能力。教者除了借助實(shí)物、模型進(jìn)行直觀演示外，操作和畫圖是最好的直觀化手段。

1，動(dòng)手操作。心理學(xué)家皮亞杰指出：兒童的思維是從動(dòng)作開始的。學(xué)生動(dòng)手操作是一種特殊的認(rèn)知活動(dòng)。這一動(dòng)態(tài)的活動(dòng)既滿足了學(xué)生好奇、好動(dòng)、好表現(xiàn)的心理特點(diǎn)。又可以集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)。通過(guò)操作活動(dòng)，能夠促進(jìn)學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從中建立空間感。在實(shí)際教學(xué)中，老師大多是讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作和學(xué)具操作，卻忽視了手勢(shì)操作。實(shí)物操作和學(xué)具操作是手勢(shì)操作的前提，但用得過(guò)多，就易使學(xué)生過(guò)于依賴外在的物體使思維水平停留在低層次的視覺和觸覺操作層面：而手勢(shì)操作的優(yōu)勢(shì)就是讓學(xué)生借助短暫的實(shí)物操作和學(xué)具操作所積累的感知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)想象、比劃和口頭表述等外部活動(dòng)促進(jìn)內(nèi)部思維活動(dòng)快速高效地展開，使學(xué)生在頭腦中迅速生成關(guān)于外在感知對(duì)象的清晰表象。學(xué)生借助于頭腦中的表象就能易如反掌地掌握幾何圖形的特征，理解相關(guān)的計(jì)算公式。發(fā)展自己的空間觀念和形象思維能力。如：我在教學(xué)長(zhǎng)方體面的特征時(shí)，先讓學(xué)生拿實(shí)物或自制的模型摸一摸長(zhǎng)方體的6個(gè)面，觀察相對(duì)面的大小關(guān)系，緊接著就果斷拋開實(shí)物與模型，讓學(xué)生在眼前想像一個(gè)長(zhǎng)方體，并用兩個(gè)手掌相對(duì)，分別比劃出它的前后面、左右面和上下面，并戲稱這是在玩“降龍十八掌”，學(xué)生興致極高。接著進(jìn)行比劃競(jìng)賽：師說(shuō)出一個(gè)面或相對(duì)面，生用手掌比劃，看誰(shuí)反應(yīng)快。通過(guò)巧妙的比劃游戲，有關(guān)面的特征就不只是寫在黑板上的一段枯燥抽象的文字(長(zhǎng)方體有6個(gè)面，3組相對(duì)面，相對(duì)面是完全相同的長(zhǎng)方形)。而是已經(jīng)牢牢地建立在學(xué)生腦海中以具體形象為基礎(chǔ)的心智圖像。學(xué)到棱的時(shí)候，我同樣先讓學(xué)生借助實(shí)物或模型數(shù)棱，認(rèn)識(shí)相對(duì)棱，概括出棱的特征后，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生玩食指禪功：每個(gè)學(xué)生與同座面對(duì)面，共同想像出一個(gè)長(zhǎng)方體，各自伸出2個(gè)食指，合作比劃同一方向的四條棱，邊比劃邊說(shuō)：左右(上下、前后)方向四條棱；然后進(jìn)行比劃相對(duì)棱的游戲：師發(fā)口令，同座合作比劃，看哪一組同學(xué)動(dòng)作快!有了這樣的手勢(shì)操作，12條棱的清晰表象已牢牢地建構(gòu)在學(xué)生的腦海中了。正是由于巧妙地借助動(dòng)手操作尤其是手勢(shì)操作幫助學(xué)生建立了有關(guān)長(zhǎng)方體面、棱特征的具體表象，學(xué)生在建構(gòu)有關(guān)長(zhǎng)方體的表面積和棱長(zhǎng)總和計(jì)算公式時(shí)就表現(xiàn)得相當(dāng)積極主動(dòng)。感覺特容易、特爽!而當(dāng)我在總復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生說(shuō)出長(zhǎng)方體的特征時(shí)。學(xué)生們倒背如流、口若懸河。難怪呀!十指連心那!

2，畫圖法。建構(gòu)數(shù)學(xué)圖像語(yǔ)言的材料是十分豐富的。而畫圖相對(duì)于實(shí)物和模型操作來(lái)說(shuō)，更方便、更經(jīng)濟(jì)，相對(duì)于手勢(shì)操作來(lái)說(shuō)。更清晰、更直觀，更利于揭示數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征。更利于學(xué)生充分展開數(shù)學(xué)思維。如在教學(xué)圓柱體的表面積公式S=C(H＋R)時(shí)，我就借助了畫圖法。圓柱體表面積公式書上只介紹了S表＝S底×2＋S，而我在一開始的教學(xué)中也沒有將S＝C(H＋R)介紹給學(xué)生。因?yàn)楫?dāng)時(shí)考慮到有關(guān)面積方面的公式太多，學(xué)生易混淆，怕增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。之后的綜合練習(xí)中出現(xiàn)了有關(guān)這一公式的選擇題，全班無(wú)一人答出。于是我決定與學(xué)生共同探討這一計(jì)算公式。

師：圓柱側(cè)面展開是什么圖形?(長(zhǎng)方形)長(zhǎng)、寬各是多少?(C和H)

根據(jù)學(xué)生的回答師畫圖1。

師：圓柱底面的圓形可以剪拼成什么圖形?(長(zhǎng)方形)長(zhǎng)、寬各是多少?(∏R，R)將上下兩個(gè)圓形底面剪拼成的長(zhǎng)方形拼成更大的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)、寬各是多少?(2∏R和R，也就是C和R)

根據(jù)學(xué)生的回答師畫圖2。

師：將長(zhǎng)、寬是C和H的長(zhǎng)方形與長(zhǎng)、寬是C和R的長(zhǎng)方形上下再拼起來(lái)，又得到了什么圖形?(長(zhǎng)方形)長(zhǎng)、寬各是多少?(C和H＋R))怎樣求它的面積?所以圓柱的表面積還可以怎樣算——

學(xué)生們頓時(shí)兩眼放光。紛紛舉手，有的競(jìng)手舞足蹈地大喊起來(lái)：S＝C(H＋R)

師反問(wèn)：記住了這幅剪拼圖。還發(fā)愁記不住這一公式嗎?

生：NO!這一公式太容易了，太簡(jiǎn)單了，我更喜歡這一公式!

由于巧妙借助了畫圖法，學(xué)生輕而易舉地就掌握了這一公式，并大有相見恨晚之感。所以，只要有直觀形象的教法和學(xué)法，再難的知識(shí)也會(huì)變得簡(jiǎn)單容易。

我覺得手勢(shì)操作和畫圖法是幾何知識(shí)教學(xué)中非常有用的直觀手段，是幫助學(xué)生迅速高效地生成清晰表象、發(fā)展形象思維能力和空間觀念的捷徑，經(jīng)濟(jì)、方便、簡(jiǎn)單、實(shí)用，事半功倍。

二、溝通聯(lián)系系統(tǒng)化——活記

有關(guān)幾何知識(shí)方面的計(jì)算公式多而雜。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)地梳理、整合，溝通內(nèi)在的聯(lián)系，讓學(xué)生親歷溫故知新的過(guò)程，通過(guò)比較、辨析知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成一個(gè)比較完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。這樣不僅能使學(xué)生更好地掌握知識(shí)的本質(zhì)。加深對(duì)公式全面而系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，便于深刻理解和長(zhǎng)久記憶，達(dá)到牽一發(fā)而動(dòng)全身的功效；更能提高所學(xué)知識(shí)的通識(shí)性，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)能融會(huì)貫通、靈活變通、左右逢源、游刃有余!如有關(guān)圓的長(zhǎng)度和面積計(jì)算公式，書上只介紹了5個(gè)，即d＝2r，r＝d÷2，C＝∏d，C＝2∏r，S＝∏r。而在實(shí)際運(yùn)用中。常要進(jìn)行公式的逆用，如已知周長(zhǎng)求半徑或直徑；或不能直接用公式計(jì)算，如已知直徑或周長(zhǎng)求圓的面積。于是我又增加了相應(yīng)的4個(gè)計(jì)算公式：d＝C÷∏，學(xué)了半圓和圓環(huán)后，我又增加了相應(yīng)的5個(gè)計(jì)算公式。這樣有關(guān)圓方面的計(jì)算公式就是14個(gè)。而這14個(gè)公式的聯(lián)系是相當(dāng)密切的。只要抓住其中的3個(gè)基本公式(d＝2r，C＝∏d，S＝∏r)進(jìn)行逆向反推或正向類推。其余公式就水落石出，記憶它們也就不費(fèi)吹灰之力了。

在記憶這些公式時(shí)，我要求學(xué)生完整表述，如：已知直徑求半徑的公式是r＝d÷2，已知周長(zhǎng)求半徑的公式是r＝C÷∏÷2。這樣不僅使學(xué)生徹底搞清公式之間的區(qū)別，還能使學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中能根據(jù)已知條件靈活選用合適的計(jì)算公式，從而真正達(dá)到活記活用、學(xué)為所用的目的。而在教學(xué)圓周長(zhǎng)的一半和半圓周長(zhǎng)時(shí)，我則自創(chuàng)出字母和圖形相結(jié)合的計(jì)算公式，便于學(xué)生更好地把握公式內(nèi)涵，同時(shí)還讓學(xué)生邊比劃手勢(shì)邊口述公式，從而使學(xué)生真正心領(lǐng)神會(huì)地建構(gòu)了這一數(shù)學(xué)模型，真可謂“一兩撥千斤”。

從教學(xué)效果看。這14個(gè)公式不僅沒有增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，反而讓學(xué)生真切地感受到知識(shí)的聯(lián)系性與系統(tǒng)性，體驗(yàn)到巧學(xué)活記的輕松愉悅，感受到數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)潔美和靈活美，提高了思維的逆向性、綜合性、靈活性和敏捷性，使所有學(xué)生(包括數(shù)學(xué)后進(jìn)生)真正獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功。

由于有關(guān)圓的計(jì)算公式學(xué)得深刻而系統(tǒng)，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更具遷移性和通識(shí)性，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)圓柱的計(jì)算公式時(shí)顯得得心應(yīng)手、易如反掌。在畢業(yè)總復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生們很輕松地就回憶起有關(guān)平面圖形和立體圖形的36個(gè)公式，他們的駕輕就熟、了如指掌讓我也有幾分吃驚。于是我試探地問(wèn)：已經(jīng)將這36個(gè)公式熟記于心的請(qǐng)舉手!剎那間，教室里小手如林!是那樣的自信與愉悅!我心中好一陣感動(dòng)與自豪!由此可見，融會(huì)貫通、自成系統(tǒng)的知識(shí)一定是活的知識(shí)、活的智慧!它就像滾動(dòng)的雪球，越“滾”越大，越“滾”越快。越“滾”越富有靈性；學(xué)生也越學(xué)越輕松，越學(xué)越聰明，越學(xué)越富有智慧!

下面就是我與學(xué)生共同整理出來(lái)的有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何知識(shí)的全部計(jì)算公式，共36個(gè)!數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)潔概括、直觀通融之美盡顯其中!

三、指導(dǎo)解題有序化——活用

記住了計(jì)算公式不等于就會(huì)用公式解決實(shí)際問(wèn)題。在解決幾何實(shí)際問(wèn)題時(shí)。我們可以通過(guò)由“單位——公式——算式——豎式”組成的“四點(diǎn)三步”的解題流程來(lái)指導(dǎo)學(xué)生思考，滲透解題策略，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和解決問(wèn)題的本領(lǐng)。

1，圈“單位名稱”定解題方向。在幾何知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用中，涉及到的單位較多，包括長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位、容積單位、質(zhì)量單位等。在審題過(guò)程中，讓學(xué)生圈出題中的所有單位名稱，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不同單位名稱的關(guān)注，明確是否需要同類單位名稱間的互化，還能根據(jù)不同單位名稱的量之間的聯(lián)系定出解題方向和思路。可以說(shuō)，單位名稱就是幾何應(yīng)用題的解題線索和思維命脈。

案例1：做一個(gè)底面直徑0.6米，高1米的圓柱形油箱，至少需要多少平方分米的鐵皮?如果每升汽油重0.8千克，這個(gè)油箱能存汽油多少千克?

在分析思路時(shí)，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析的：

師：本題中有哪些單位名稱?需要單位互化嗎?

生1：本題中有長(zhǎng)度單位米，面積單位平方分米，容積單位升，質(zhì)量單位千克。要將長(zhǎng)度單位米化為分米，再求面積，因?yàn)槊娣e單位是平方分米。

生2：也可以先求出圓柱的表面積是多少平方米，再化為平方分米。

師：很好!如何解決第二個(gè)問(wèn)題?

生3：升是容積單位。由“每升汽油重0.8千克”可知汽油質(zhì)量與油箱的容積有關(guān)，所以先求油箱的容積是多少立方米，并化為多少升，再求汽油質(zhì)量。

生4：也可以先將長(zhǎng)度單位米化為分米，再求出容積是多少立方分米，也就是多少升，最后求汽油質(zhì)量。

對(duì)于這道題，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)首先就是忽略單位互化。再有，就是習(xí)慣用第一問(wèn)中求出的結(jié)果乘0，8，求第二個(gè)問(wèn)題的結(jié)果。而抓住單位名稱來(lái)進(jìn)行分析，這兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)就迎刃而解了。

2，由已知條件定計(jì)算公式。有關(guān)幾何知識(shí)的計(jì)算公式很多。除了在教學(xué)計(jì)算公式時(shí)要讓學(xué)生明白每個(gè)公式是已知什么求什么外，在實(shí)際解題時(shí)，更應(yīng)要求學(xué)生根據(jù)題中的已知條件準(zhǔn)確、靈活地確定相應(yīng)的計(jì)算公式，并正確無(wú)誤地寫出來(lái)。這樣既鞏固了公式的記憶，又提高了靈活運(yùn)用公式的能力，培養(yǎng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。在審題時(shí)。要提醒學(xué)生注意一些重要字眼，如：“無(wú)蓋”、圓錐、通風(fēng)管、煙囪、壓路機(jī)等，以提高公式運(yùn)用的正確性、靈活性。

在案例1中。由于題中已知圓柱的直徑和高，所以求圓柱表面積的公式是：S＝∏(d÷2)2×2＋∏dh，求容積的公式是：V＝∏(d÷2)h。

案例2：一個(gè)圓錐形小麥堆，底面周長(zhǎng)為12.56米。高1.5米。每立方米小麥重750千克，這堆小麥約重多少千克?

分析：這一題要先由底面周長(zhǎng)和高求出圓錐的體積，再由體積求小麥的質(zhì)量，所以選用的公式是：V＝∏(C÷∏÷2)h÷3

3，由“三式一體”確保解題質(zhì)量。所謂“三式一體”，就是要求學(xué)生在解題時(shí)詳寫每道題的公式、算式、豎式，通過(guò)“三式”連續(xù)正確高效的書寫，提高答題的效率。讓學(xué)生將公式寫出來(lái)，不僅可以使教者清楚地了解學(xué)生的思路，進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，還使學(xué)生進(jìn)一步鞏固公式的記憶，并對(duì)照公式正確列出算式，避免因解題條件過(guò)多而發(fā)生漏寫的情況。正確寫出公式和相應(yīng)的算式后，還要認(rèn)真寫豎式，克服怕算抄算的惡習(xí)，準(zhǔn)確、認(rèn)真地算出計(jì)算結(jié)果，踏實(shí)有效地提高計(jì)算能力，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

有關(guān)圓、圓柱、圓錐等幾何知識(shí)方面的計(jì)算繁雜易錯(cuò)，為了提高計(jì)算的速度和正確率，教者要在具體的學(xué)習(xí)情境中進(jìn)行算法指導(dǎo)。首先是注意口算與筆算的結(jié)合。如計(jì)算案例2中的算式時(shí)，通過(guò)乘法結(jié)合律將與750相乘為250，(12.56÷3.14÷2)與1.5相乘為6，250與6相乘為1500，最后列豎式計(jì)算3，14乘1500為4710。求案例1中的汽油重量時(shí)，先將算出72，再列豎式計(jì)算3.14乘72得226.08。其次是要求學(xué)生在計(jì)算中有意識(shí)地記住某些常見數(shù)據(jù)。同時(shí)借助估算來(lái)幫助檢驗(yàn)筆算的正誤。如：3.14x16，可把3.14看成3，3乘16為48，所以3.14x16＝50.24；如果算成3.14x16＝18.84，顯然就錯(cuò)了。另外，由于計(jì)算多了，學(xué)生對(duì)有關(guān)3.14方面的計(jì)算就形成了一定的直覺，感覺某些結(jié)果很眼熟，如：113.04，226.08，78.5，7.065，100.48，471，56.52等。所以不妨提醒學(xué)生借助數(shù)感與直覺來(lái)判斷計(jì)算的正誤。

由于在平時(shí)教學(xué)時(shí)就注意了幾何計(jì)算公式的活學(xué)、活記、活用，所以學(xué)生們對(duì)這部分知識(shí)學(xué)得扎實(shí)、牢固、靈活。當(dāng)我追問(wèn)解決這類問(wèn)題要注意什么時(shí)，學(xué)生們?nèi)鐢?shù)家珍，滔滔不絕：要圈單位，注意單位互化；要由單位名稱定思路，如有的物體質(zhì)量與面積有關(guān)，像：每平方米用漆0.5千克，有的與體積有關(guān)，像：每立方米石油重800千克：要看清有蓋還是無(wú)蓋；求圓錐的體積要乘三分之一：計(jì)算時(shí)要注意口算、估算、簡(jiǎn)算、筆算相結(jié)合；與煙囪、通風(fēng)管、壓路機(jī)前輪等有關(guān)的面積計(jì)算只要求側(cè)面積，等等。當(dāng)時(shí)我內(nèi)心好不激動(dòng)!是呀，活的知識(shí)不僅容易激活，更能活化為學(xué)生的能力和智慧，成為學(xué)生持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展的源頭活水。