一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用是一元二次方程的重點(diǎn)，也是中考試題的一個(gè)熱點(diǎn)．這里通過(guò)相關(guān)例題向同學(xué)們介紹根的判別式的應(yīng)用．

一、 判別方程根的情況

例1不解方程，判別方程２x2+3x-4=0根的情況是（）．

A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

分析:本題首先是一個(gè)一元二次方程，只要求出b2-4ac的值即可．

由b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41＞0不難知道，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B.

二、 求方程中輔助未知數(shù)的值或取值范圍

例2一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.

A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k＜2 D． k＞2且k≠1

分析:在k-1≠0即k≠1的條件下，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可知△＞0即解得k＜2且k≠1．故選B.

三、 判斷三角形的形狀

例3若關(guān)于x的方程a(1-x)2+c(1+x2)=2bx有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷以a、b、c的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的三角形的形狀，并加以證明．

分析：由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得△=0，

即［－２（a+b)］2-4(a+c)2=0，

∴(2a+b+c)(b-c)=0.

由于a、b、c為線段的長(zhǎng)，顯然a+c≠0，2a+b+c≠0，

∴b=c.

∴以a、b、c的長(zhǎng)為邊的三角形為等腰三角形．

（對(duì)于像本例這樣的方程，解題時(shí)首先要化成一元二次方程的一般式.）

四、 求最值．

例4如果m，n是正實(shí)數(shù)，方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有實(shí)數(shù)根，求m+n的最小值．

解：兩方程都有實(shí)數(shù)根，其判別式的值均為非負(fù)數(shù)．

Δ1=m2-8n≥0，Δ2=4n2-4m≥0.

∴m2≥8n，n2≥m.∴n4≥m2≥8n，∴n≥2 (n＞0).

從而有m2≥8n≥16， ∴m≥4(m＞0).

當(dāng)n=2且m=4時(shí)，m+n有最小值6．

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