讓學生獲得持續(xù)發(fā)展，是課改背景下數(shù)學教育的內(nèi)在追求，數(shù)學操作技能(特指度量、作圖等技能)的教學自然也不例外。

但在一線教師的課堂中，操作技能的教學恐怕更多的是“示范和模仿”，學生的感受恐怕更多的是“單調(diào)和乏味”，這一串關鍵詞勾勒出的課堂不可能洋溢著生命成長的氣息。難道就不能創(chuàng)造技能教學的另一種可能：充滿探索情趣而又意味深長?我們在相關課例的教學中進行了思考和探索。

一、操作技能不僅僅是動作技能，也是智慧操作的過程。

這似乎是數(shù)學教育的一個悖論。一方面，隨著對東方數(shù)學教育研究的深入，數(shù)學技能在學生數(shù)學水平的提高和數(shù)學能力培養(yǎng)中的重要性日益突出；但另一方面，基層教師的課堂中，數(shù)學技能的教學卻暮氣沉沉，毫無數(shù)學教改的時代氣息。這其中固然有多種原因，但不容置疑的是，首先在我們的理念上，認為數(shù)學技能就是動作技能，教師不示范講解和學生跟著模仿，怎么能習得?因而，數(shù)學操作技能的教學要打開新局面，首先要對直尺、三角尺、量角器、圓規(guī)等工具，以及運用這些工具進行操作的過程有新視野。任何的度量都是用度量單位比劃被測圖形的過程，因而抽象的數(shù)學單位不能只存在于學生的心智內(nèi)部，總得有一個物化的存在形式。以“角的度量”為例，“度”是測量的單位，但我們不可能用“度”這個單位一度一度去測量被測的角，為了方便，把許多個“一度”組合在一起而成量角器，量角器顯然是度量單位“度”的物化形式，或者說是一個個有著明確度數(shù)的角的標準形式。以此類推，直尺就是“厘米”等長度單位的物化形式。就作圖來說，作圖所憑借的工具，是相關數(shù)學概念的物化形式，三角尺的兩直角邊不是“垂直”概念的存在嗎?圓規(guī)只要一轉(zhuǎn)，不就能得到一個個圓嗎?鑒于此，我們就可以構建這樣的認識：度量的過程是學生用工具去比劃被測量對象，對照重合找到和被測圖形相對應的標準形式，從而獲得結(jié)果的過程。而畫圖的本質(zhì)是學生在頭腦中依據(jù)數(shù)學概念的心理意義去想象圖形的基本結(jié)構，添加某些要素(點、線、面)，將數(shù)學概念的心理意義通過具體的圖形呈現(xiàn)出來，或不斷地調(diào)整各要素(點、線、面)的位置關系，使之切合數(shù)學概念的要求。雖然就操作技能的最終呈現(xiàn)方式來說，上述很多過程是在無意識狀態(tài)中完成的，但就其最初的心理過程來說，肯定是充滿智慧的，絕對不是純粹的肢體動作過程。換言之，數(shù)學中的度量、作圖等操作技能，是基于數(shù)學知識并以肌肉運動表現(xiàn)在外的智慧性動手技能，它提供了學生通過自己的眼睛和小手去認識現(xiàn)實世界的機會，理應讓學生在自主學習的過程中獲得技能。

二、數(shù)學概念不僅僅是數(shù)學推理的基礎，也是技能生長的沃土。

在角的度量中，即使學生明白了“由哪條零刻度線決定了讀哪圈刻度”的道理，但在實際操作中，總有不少學生讀錯刻度。想要突破這個不是難點的難點，似乎只有多操作。認知心理學認為，技能屬于程序性知識范疇。而程序性知識的獲得必須以陳述性知識為前提。這揭示了一個顯而易見的道理，如果人為割裂了數(shù)學操作技能和相關數(shù)學概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學操作技能的形成就只能演變?yōu)楹唵蔚哪７?、機械的訓練。而反之，只要教師有意識地挖掘?qū)W生已有的知識儲備，操作技能的形成完全可能“四兩撥千斤”。在上面所說的教例中，教師如果充分調(diào)動起學生關于“銳角”、“鈍角”的表象，被測的角是銳角的。就讀兩個刻度中銳角的度數(shù)：是鈍角的，就讀兩個刻度中鈍角的度數(shù)。以知識的表象為支撐指導操作，而不再拘泥于僵化的技巧，操作還容易錯嗎?

充分發(fā)揮相關知識的作用，技能的教學或許就少去了重復的講解和機械的訓練。與此同時，我們還應該看到，數(shù)學概念的定義雖然揭示了它的本質(zhì)特點，但并不能呈現(xiàn)出這個概念的多方面特點。為了利于學生探索相關的數(shù)學操作技能，作為教師，就要有意識地引導學生領悟更有利于數(shù)學技能形成的數(shù)學本質(zhì)。

在蘇教版國標四年級上冊教材中，“平行”的教學先認識平行線。再學習畫平行線。教材從兩條直線的相交、不相交，引出了平行線的定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。不相交，而且是無限延長后永遠不相交，這種描述本身就是只可意會，不可再現(xiàn)的，因而在作圖中，很難說得清這兩條直線是永遠不相交的，要求學生自主探索怎樣畫平行線當然也就難上加難。針對這種情況，在平行線的教學中，我們就有意識地引導學生發(fā)現(xiàn)：互相平行的兩條直線問寬度不變(學生還沒有學習垂直，所以引用這個生活概念來替代“距離”)，為學生探索平行線的畫法作了鋪墊。教學的事實證明，這樣的鋪墊對于學生探索操作技能是必要的。

數(shù)學概念和數(shù)學技能間的相得益彰是雙向的，不僅數(shù)學概念的深刻理解可以促進學生以此為生長點探索數(shù)學技能，而且，憑借數(shù)學技能的操作可以加深對數(shù)學概念的認識，為更高層級的數(shù)學技能的生長提供可能，這也是發(fā)展的一個方面含義。因而，在操作技能的學習過程中，教師也要注意把握促進學生加深理解數(shù)學概念的課程資源。例如角的度量中，用直尺延長角的邊以方便測量，可以加深學生對“角的邊為什么是射線”的理解；教學“平行”時，要求學生畫不同方向的兩組平行線，可以把多種四邊形聯(lián)系起來，并從平行的角度闡釋各自的特征，如此等等。

三、教學組織不僅僅可以先講后試。也可以先試后講。

廣大一線教師在數(shù)學操作技能的教學中，囿于“示范——模仿——訓練”的教學模式，與數(shù)學教育心理學的研究缺失有一定關系。

如上文所言，數(shù)學操作技能既不是純粹的智慧技能，也不是典型的動作技能，但它的掌握還是屬于程序性知識學習的范疇。程序性知識的習得一般要經(jīng)歷如下3個階段：①陳述性階段。理解并記住此技能的各項規(guī)定或操作步驟，知道要怎樣做。②轉(zhuǎn)化階段。即將言語表達的某項技能用行為的方式表現(xiàn)出來。③自動化階段。通過一定的練習使得某項操作快速、準確、熟練。也就是說，技能教學一般教師先講、學生跟著操作。以現(xiàn)代認知心理學的一般規(guī)律指導教學，這本身沒有問題。實際上，就操作技能的掌握來說，教師先講學生模仿的教法同樣可以是卓有成效的。但模仿和強化操作，封殺了學生作為一個人的全部豐富性，因而，發(fā)展的功能是極其有限的。當我們對這樣的教法進行反思的時候，恰恰一方面凸顯了心理學的一般原理指導數(shù)學教育的尷尬，另一方面則凸顯了數(shù)學教育心理學研究的蒼白。數(shù)學的教與學是特殊的認知活動，其中的心理過程和心理機制，與其他的學習過程并不完全一致，因而，以一般的心理學原理指導數(shù)學教育，就缺少了針對性和適應性。正如歌德所言，理論是灰色的，惟生命之樹常青。鮮活的教學實踐完全可能走在理論前面。加涅認為，任何技能的學習都是以過去學習的其他比較簡單的技能為前提的。因而，新技能的建構是學生以相關數(shù)學知識為基點整合已掌握技能的過程。以已有的知識技能為基礎，輔之以在平時的游戲活動中，學生多樣的動手操作活動積累的動作經(jīng)驗，顯然，在教師講解、示范之前，讓學生先嘗試操作，完全是行得通的。

上文提到的“平行”課例中，在學生認識平行意義后，教師就可以放手讓他們試畫平行線。學生先畫一條直線，把直尺移動一下，再畫一條直線。但他們似乎有所顧忌，移動直尺時都稍稍動了動。在老師的要求下，直尺移動的幅度大了，問題也就冒了出來。量了量兩條直線間的寬度，發(fā)現(xiàn)兩條直線延長后會相交。畫——移尺——再畫，“那問題出在哪一步呢?”“肯定是尺移動時出了問題?！睂W生依據(jù)“兩條平行線間的寬度不變”這一思考，得出了結(jié)論“直尺移動時不能晃動”，“徒手移動直尺要不晃動還真不容易。如果能靠著軌道移動那該多好啊?！本瓦@樣，把畫平行線的新技能轉(zhuǎn)化成了探究“怎樣給移動的直尺造軌道”。學生調(diào)動起各種經(jīng)驗和技能，將移動直尺的方法演繹得多姿多彩：有的學生把直尺一端沿著練習本的邊移動；有的把直尺一端靠上了數(shù)學書來移動；有的在已畫的直線旁又畫了一條與之相交的直線，讓直尺一端沿著新畫的直線移動：有的在直尺一端靠上了另一把尺……新技能無須教師多講，已成為了學生的囊中之物。

數(shù)學操作技能的教學倡導學生先試、教師再講，其本質(zhì)是彰顯其智慧性的內(nèi)在屬性，但與此同時。也并不是否定其動作性的內(nèi)在屬性。也正因為，數(shù)學操作技能具有相互間不可替代的兩方面屬性，因而，在教學中我們常?？吹剑瑢W生即便理解了操作的原理或方法，但在操作中還是會出錯。特別是，由于小學生的年齡所限，在動作的精確度、連續(xù)性、協(xié)調(diào)性方面。經(jīng)常會出現(xiàn)這樣或那樣的問題。例如畫平行線，即使用了規(guī)范的操作方法畫平行線，一些學生還是會驚呼“不平行啊”。問題出在哪里?原來，在雙手的配合上出了問題。如圖的第二步，應先右手用力按住三角尺，左手拿直尺輕輕靠上；之后，應左手用力按住直尺，右手輕輕移動三角尺：第三步，左手就可以放開直尺，用力按住三角尺，右手拿鉛筆靠著三角尺的一邊輕畫直線。整個過程中如果雙手的用力配合不佳，就極易造成三角尺和已畫直線的不重合，或者三角尺和直尺的晃動，那畫出的兩條直線當然就不平行，

一般來說，每一種操作都有類似的特殊技巧要求。但凡事都要學生躬身而為，也就容易陷入凡事都不能有作為的境地。這些操作過程中的特殊技巧，更多的是動作的協(xié)調(diào)與連貫方面的要求，只要“熟”總是能生“巧”的，因此，也就無須讓學生自己去摸索，以省去不必要的操作挫折。有效的數(shù)學操作技能教學，教學方式雖然以“先試后講”為主，但教師在學生運用新技能進行操作時，一定要留心學生操作還存在什么問題，并及時組織討論交流，交流和共享各自的解決之道，或者教師作出必要的示范講解，以幫助學生盡快地步入操作定型、簡縮、自動化的層次。

任何技能掌握之后，再操作起來可能就無須動腦。但探究之初，無疑是件富有挑戰(zhàn)性的事情。沒有精心的組織，要求學生琢磨新技能怎樣操作，那猶如將小白鼠引入迷宮，即使獲得成功也是全憑運氣。而自主探究的教學，學生是否獲得成功如果全憑運氣，沒有絕大多數(shù)學生在絕大多數(shù)時候獲得成功的把握，那也就失去了在課堂情境中組織的意義。從這個角度上說，考量“先試后講”的教學怎樣設計，是很有價值的事。筆者執(zhí)教“平行”后的體會是，首先要洞悉操作技能的數(shù)學本質(zhì)，然后從學生的視野依次剝離學生已經(jīng)掌握的舊技能，把剩下的操作作為課的核心。抓住了這樣的核心，也就抓住了學生已有的動手操作經(jīng)驗、知識與技能向新技能發(fā)展的關節(jié)點，教學也就有了“四兩撥千斤”的可能。例如，畫平行線的數(shù)學本質(zhì)是實現(xiàn)畫直線(線段)工具的平移，平移后對應的直線(線段)自然是平行的，因而，新技能的各步操作中，剝離學生已掌握技能后剩下的也就是給要移動的直尺“造軌道”，以實現(xiàn)直尺的平移。用量角器度量角的大小，數(shù)學本質(zhì)是用量角器上度數(shù)明確的角去重合被測度數(shù)的角，而學生在前面的學習中，已經(jīng)知道了角的大小是指角的兩邊張開的大小，也學會了怎樣使兩個角重合的操作，所以，新技能形成的核心也就是能從量角器中找出各種度數(shù)的角。這樣一剝離，顯露的核心往往既不十分煩瑣，學生的內(nèi)心世界也可能有相關的動手操作經(jīng)驗或知識技能儲備，教師過多的講解和示范完全沒有了必要。

(作者單位：啟東市教育局教研室)