數(shù)學(xué)中的向量概念及其運(yùn)算法則，在物理中有廣泛的應(yīng)用。把數(shù)學(xué)與物理溝通，既有利于理解數(shù)學(xué)，也有利于理解物理。

數(shù)學(xué)中的向量，定義如下：

向量：把既有大小又有方向的量叫向量。（全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下），人民教育出版社，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)》，第96頁(yè)。）

矢量概念在物理學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，例如（全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）《物理》第一冊(cè)，人民教育出版社，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《物理》第一冊(cè)，第13頁(yè)）：力既有大小，又有方向，力的合成要遵守平行四邊形定則。在物理學(xué)中，象這樣的物理量叫做矢量。而長(zhǎng)度、質(zhì)量、溫度、時(shí)間、能量等物理量，只有大小，沒(méi)有方向，在物理學(xué)中叫做標(biāo)量。

物理量有許多矢量，如力F、位移s、速度v、加速度a、動(dòng)量p、電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B等等。

標(biāo)量除上述外還有，如功W、功率P、能量E（包括動(dòng)能與勢(shì)能，勢(shì)能又包括重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、分子勢(shì)能、電勢(shì)能等）等等。

矢量與標(biāo)量物理意義不同，比較大小的方法不同，運(yùn)算法則也不同。矢量的運(yùn)算法則與數(shù)學(xué)中的向量相同。

1 向量的加法與減法——力與運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.1 向量的加法：

（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法（《數(shù)學(xué)》第99頁(yè)）。

（2）法則：①三角形法則：圖1中的兩個(gè)向量，根據(jù)向量加法的定義，利用圖2所示得出的求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則。

②平行四邊形法則：如圖3以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AC→就是a與b的和，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（《數(shù)學(xué)》第100頁(yè)）

1.2 向量的減法：

（1）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法（《數(shù)學(xué)》第102頁(yè)）。

（2）法則：①三角形法則：a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量（《數(shù)學(xué)》第102頁(yè)）。

②平行四邊形法則：如圖6，平行四邊形ABCD中，AB→=a，AD→=b，知DB→=AB→-AD→=a-b（《數(shù)學(xué)》第103頁(yè)）。

1.3 向量運(yùn)算在物理中的應(yīng)用

1.3.1 力的合成

（1）定義：求幾個(gè)力的合力叫做力的合成。

（2）平行四邊形法則：實(shí)驗(yàn)表明，如果用表示兩個(gè)力F1和F2的線段為鄰邊作平行四邊形，那么合力F的大小和方向就可以用這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線表示出來(lái)。這叫做力的平行四邊形定則（《物理》第12頁(yè)）。

1.3.2 力的分解

（1）定義：求一個(gè)已知力的分力叫做力的分解。

（2）平行四邊形法則：把一個(gè)已知力F作為平行四邊形的對(duì)角線，那么，與力F共點(diǎn)的平行四邊形的兩個(gè)鄰邊，就表示力F的兩個(gè)分力。同一個(gè)力F可以分解為無(wú)數(shù)對(duì)大小、方向不同的分力。一個(gè)已知力究竟該怎樣分解，這要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)決定（《物理》第14頁(yè)）。

1.3.3 運(yùn)動(dòng)的合成與分解

（1）定義：已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的合成。已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的分解（《物理》第84頁(yè)）。

（2）平拋運(yùn)動(dòng)的分解：平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向和豎直方向上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。在水平方向（也就是在初速度方向）上物體不受力，物體由于慣性而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度等于平拋物體的初速度。在豎直方向上物體受到重力的作用，并且初速度為零，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)（《物理》第86頁(yè)）。

平拋運(yùn)動(dòng)公式：

x=v0t

y=12gt2

vx=v0

vy=gt

vt=v2x+v2y

tanθ=vyvx（θ是vt與x軸（水平方向）的正方向的夾角）（《物理》第86和87頁(yè)）。

2 向量的數(shù)量積——力的功

2.1 向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ（《數(shù)學(xué)》第118頁(yè)）。

幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度｜a｜與b在a上的投影｜b｜c(diǎn)osθ的乘積（《數(shù)學(xué)》第119頁(yè)）。

2.2 在物理中的應(yīng)用

功的定義：一個(gè)物體受到力的作用，如果在力的方向上發(fā)生一段位移，這個(gè)力就對(duì)物體做了功。如圖7所示，W=Fscosα

這就是說(shuō)，力對(duì)物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夾角的余弦這三者的乘積（《物理》第135頁(yè)）。

3 向量的向量積——安培力與洛侖茲力

3.1 實(shí)數(shù)與向量的積

定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

（1）｜λ a｜=｜λ｜｜a｜

（2）當(dāng) λ>0時(shí)，λ a的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λ a的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λ a=0。

3.2 向量的向量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把向量c叫做a與b的向量積（或叉乘積），記作a×b，即a×b=c，其中c的大小應(yīng)為 ｜a｜｜b｜sinθ，c的方向由右手螺旋關(guān)系確定。

幾何意義：向量積a×b等于a的長(zhǎng)度｜a｜與b在a的法線（垂線）上的投影｜b｜sinθ的乘積。

3.3 在物理中的應(yīng)用

（1）安培力

定義：磁場(chǎng)對(duì)電流的作用力通常稱(chēng)為安培力。

安培力的大?。簩?shí)驗(yàn)表明把一段通電直導(dǎo)線放在磁場(chǎng)里，當(dāng)導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，電流所受的安培力最大；當(dāng)導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向一致時(shí)，電流所受的安培力最小，等于零；當(dāng)導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向斜交時(shí)，電流所受的安培力介于最大值和最小值之間（《物理》第二冊(cè)第147頁(yè)）。

導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，公式為F=BIL（《物理》第二冊(cè)第148頁(yè)）

導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向斜交，夾角為θ時(shí)，公式為F=BILsinθ。

安培力的方向：通電直導(dǎo)線所受安培力的方向和磁場(chǎng)方向、電流方向之間的關(guān)系，可以用左手定則來(lái)判定：伸開(kāi)左手，使大拇指跟其余四個(gè)手指垂直，并且都跟手掌在一個(gè)平面內(nèi)，把手放入磁場(chǎng)中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開(kāi)的四指指向電流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通電直導(dǎo)線安培力的方向（《物理》第二冊(cè)第149頁(yè)）。

（2）洛侖茲力

定義：（電子射線管）實(shí)驗(yàn)表明，在沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)，電子束是沿直線前進(jìn)的。如果把射線管放在蹄形磁鐵的兩極間，熒光屏上顯示的電子束運(yùn)動(dòng)的徑跡發(fā)生了彎曲。這表明，運(yùn)動(dòng)電荷確實(shí)受到了磁場(chǎng)的作用力，這個(gè)力通常叫做洛侖茲力（《物理》第二冊(cè)第151頁(yè)）。

洛侖茲力的方向：洛侖茲力的方向也可以用左手定則來(lái)判定：伸開(kāi)左手，使大拇指跟其余四個(gè)手指垂直，且處于同一個(gè)平面內(nèi)，把手放入磁場(chǎng)中，讓磁感線垂直穿入手心，四指指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，那么，大拇指所指的方向就是電荷正電荷所受洛侖茲力的方向。運(yùn)動(dòng)的負(fù)電荷在磁場(chǎng)中所受的洛侖茲力，方向跟正電荷受的力相反（《物理》第二冊(cè)第152頁(yè)）。

洛侖茲力的大?。寒?dāng)電荷在垂直于磁場(chǎng)的方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的洛侖茲力F等于電荷q、速率v、磁感應(yīng)強(qiáng)度B三者的乘積（《物理》第二冊(cè)第152頁(yè)）。

如果速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B不垂直而是夾角為α，則洛侖茲力的大小公式變?yōu)椋篎=qvBsinα。

由此可知洛侖茲力F是磁感應(yīng)強(qiáng)度B與速度v和電荷量q的積（q v ）的向量積?？梢杂涀鳎篎=（qv）×B，所以也叫做叉乘積。

在教學(xué)中，物理教師若能把數(shù)學(xué)與物理很好地結(jié)合起來(lái)講，學(xué)生將更能融會(huì)貫通，更有利于綜合高考及將來(lái)的科學(xué)工作。

(欄目編輯陳 潔)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文