摘要：本文針對“計算方法”課程的特點(diǎn)，結(jié)合從事該課程的教學(xué)實(shí)際，圍繞如何提高該課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行探討和實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：計算方法；算法；計算機(jī)應(yīng)用；教學(xué)水平；教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1672-5913（2007）02-0007-03

計算方法也稱為數(shù)值計算方法或數(shù)值分析，是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是高等工科院校學(xué)生普及有關(guān)計算方法方面知識的基礎(chǔ)課程。

通過該門課程的學(xué)習(xí)，旨在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和分析問題能力的同時，使學(xué)生熟悉并掌握利用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算所必須的一些最基本、最常用的算法。但在一般情況下，由于該門課程具有理論性強(qiáng)，高度抽象，知識要素的分析過程復(fù)雜等特點(diǎn)，再加上一些學(xué)生的高等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)較差，計算機(jī)語言和編程方法的課程學(xué)習(xí)不夠扎實(shí)，理論與實(shí)踐銜接不緊密，致使學(xué)生對該門課程學(xué)習(xí)的興趣不高，實(shí)際教學(xué)效果也不理想。因此，如何提高計算方法課程的教學(xué)水平和教學(xué)效果，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和更好利用計算機(jī)解決實(shí)際問題均具有重要的意義。本人結(jié)合長期從事該課程教學(xué)工作的實(shí)際，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一定的探討。

1 引導(dǎo)學(xué)生明確課程要求

計算方法課程從表面看，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)類的課程，一些學(xué)生在開始學(xué)習(xí)該課程時，也感覺計算方法就是高等數(shù)學(xué)課程的延續(xù)。因此，讓學(xué)生領(lǐng)會該課程的要求和教學(xué)的指導(dǎo)思想，對學(xué)好該門課程來說至關(guān)重要。高等數(shù)學(xué)重在討論對問題的解決，而計算方法重在討論和分析問題解決的方法。計算機(jī)要真正能夠充分發(fā)揮作用離不開計算機(jī)軟件，軟件由計算機(jī)程序、文檔和有關(guān)控制數(shù)據(jù)組成，而計算機(jī)程序的核心是計算機(jī)算法，一步一步解問題的過程稱為算法?？梢姡绻麤]有有效的算法，就不可能開發(fā)出更新更先進(jìn)的軟件，也就不可能有計算機(jī)的廣泛運(yùn)用。因此，教學(xué)中要讓學(xué)生明白算法的重要性，理解計算方法重在研究方法，重在研究適合計算機(jī)的算法，且讓學(xué)生一開始就知道，計算機(jī)的運(yùn)算速度雖然高，可以承擔(dān)大運(yùn)算量的工作，但并不意味著計算機(jī)的算法可以隨意選擇。在本課程的引入中，筆者選擇了幾個典型例子來說明研究計算方法的必要性和重要性。如：關(guān)于求解線性方程組的問題，在高等數(shù)學(xué)中一般通過分析可以容易得出使用行列式解法的克萊姆（Cramer）法則。但用這種方法求解一個n階線性方程組，要計算n+1個n階行列式的值，為此總共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法，即使n=20，這項(xiàng)計算用運(yùn)算速度為百萬次每秒的計算機(jī)去做，也要連續(xù)工作千百萬年才能完成，這樣的求解方法當(dāng)然完全沒有實(shí)際意義。其實(shí)，計算方法就是要探討類似很多問題的實(shí)用算法。同時，通過教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生不斷感受到計算方法這門課程的作用和使用價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性，并突出和加強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

2整合課程內(nèi)容

自計算機(jī)成為數(shù)值計算的主要工具以來，計算方法主要研究適合于在計算機(jī)上使用的數(shù)值計算方法及與此相關(guān)的理論，包括方法的收斂性、穩(wěn)定性以及誤差分析，還研究滿足計算機(jī)特點(diǎn)且計算時間最短、占用計算機(jī)內(nèi)存最少的計算方法。因此，首先必須根據(jù)計算機(jī)學(xué)科和專業(yè)培養(yǎng)要求制訂切合實(shí)際的教學(xué)大綱，并深入分析計算方法課程和不同教材的特點(diǎn)，合理安排教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)更有針對性。

由于我校的辦學(xué)定位是培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)業(yè)人才，所以，在制定本課程大綱時，做到教學(xué)要求符合實(shí)際，教學(xué)內(nèi)容合理，突出具體的運(yùn)用，使其能更好地指導(dǎo)本課程的教學(xué)。筆者在先后講授計算方法這門課程時，使用過多種不同版本的教材和參考書，有《數(shù)值分析》（南開大學(xué)出版社，袁尉平等編著）、《計算方法與實(shí)習(xí)》（南開大學(xué)出版社，孫志忠等編著）、《數(shù)值分析簡明教程》（高等教育出版社，王能超編著）、《計算方法》（西安交通大學(xué)出版社），《計算機(jī)算法設(shè)計》（電子工業(yè)出版社，蘇德富等編著）等。這些教材或參考書各有特點(diǎn)，有不同的側(cè)重和各自的內(nèi)容體系。如何選擇適合本?？茖W(xué)生實(shí)際及教學(xué)大綱要求的教材就顯得很重要。實(shí)際上，要真正選擇一種很適合的計算方法的教材是很困難的，因?yàn)檫@方面教材數(shù)量少且更新較慢，而計算機(jī)學(xué)科發(fā)展又較快。為了解決這些方面的問題，筆者在尊重學(xué)科特點(diǎn)，滿足大綱要求的基礎(chǔ)上，指定教材時以《計算方法與實(shí)習(xí)》（南開大學(xué)出版社，孫志忠等編著）為主，其他作為參考書，并在教學(xué)中將所要講授的內(nèi)容按照由簡單到復(fù)雜、由淺入深、循序漸進(jìn)、注重實(shí)用的原則進(jìn)行重新組織，甚至在知識點(diǎn)的組合中打破章節(jié)界限，對部分內(nèi)容做了合理的取舍。對一些內(nèi)容復(fù)雜且今后可能會隨著繼續(xù)升造而進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行了刪減。如對偏微分方程的數(shù)值解、插值與逼近中周期函數(shù)的逼近與快速Fourier變換、振蕩函數(shù)的積分、常微分方程數(shù)值求解中的邊值問題的數(shù)值解法等做了大膽的刪減。一方面節(jié)省了課時數(shù)，另一方面也使學(xué)生更集中精力抓住重點(diǎn)，同時也使講授更適合學(xué)生的思維和知識結(jié)構(gòu)，對一些理論性過強(qiáng)的內(nèi)容，做到只講解思路，重視分析及得出具體方法，對具體的推導(dǎo)過程只要求學(xué)生理解即可，從而使學(xué)生真正達(dá)到計算機(jī)學(xué)科的要求。

3改革傳統(tǒng)教學(xué)方法

3.1 設(shè)立問題情景，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生自主解決問題

對于計算方法這門課程的內(nèi)容，讓學(xué)生掌握的不是解決某一個或某一類問題的具體方法，而是要讓學(xué)生理解和分析如何得到解決問題的方法。也就是說，在教學(xué)的整個過程中，把解決問題的思路、方法、步驟作為講授的重點(diǎn)。對于每一個要講授的內(nèi)容，一般設(shè)計為四個階段：（1）問題的提出；（2）問題的解決所用到的新舊知識；（3）解決問題的過程；（4）方法的提煉和有效性分析。如，在講授非線性方程的數(shù)值解這一內(nèi)容時，先依據(jù)“非線性方程的解在方程次數(shù)大于或等于5的情況下，它的根不能用方程系數(shù)的解析式表示”這一理論知識，提出：一般的非線性方程的數(shù)值解如何得到？緊接著，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系，回憶已學(xué)過的知識（方程根的概念，數(shù)學(xué)分析中關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的知識）很容易得出求解的理論依據(jù)和步驟，并與學(xué)生一道利用其理論依據(jù)求解問題（過程），最后將這一解決問題的過程歸納并抽象化，就得到求方程近似根的最直觀、最簡單的方法——二分法。在分析二分法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，就提出了下一個要講授的內(nèi)容。通過這樣一個完整的過程，使學(xué)生在教師的啟發(fā)和自己的主動思考中拓展知識結(jié)構(gòu)和思維空間，逐漸學(xué)會和掌握解決類似未知問題的思維模式和方法要領(lǐng)。

3.2 典型分析、觸類旁通

在教學(xué)中，由于該課程內(nèi)容復(fù)雜，課時少，在課堂中如果要講解所有的問題和多種類型的例題，時間是不允許的。因此，在講授過程中必須對內(nèi)容進(jìn)行有效的處理，使學(xué)生在理解和掌握基本算法的基礎(chǔ)上，抓住典型問題對一些內(nèi)容和習(xí)題進(jìn)行講解、深入分析，要求學(xué)生掌握問題和方法的實(shí)質(zhì)，并要求學(xué)生在課堂或課后做到對其他問題觸類旁通。比如講解復(fù)化求積公式時，考慮到為了提高計算積分的精度，復(fù)化求積公式其實(shí)就是對劃分的若干個小區(qū)間上的積分應(yīng)用梯形公式、辛卜生（Smpson）公式、柯特斯(Cotes)公式，因此在講授時就可以重點(diǎn)講授一個公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，然后引導(dǎo)學(xué)生課堂或課后理解掌握其他公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。通過對類似很多內(nèi)容的處理，從而提高課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。

3.3 激發(fā)求知，主動參與

在計算方法的教學(xué)中，可以說新的知識點(diǎn)一個個不斷地出現(xiàn)，這就需要學(xué)生運(yùn)用科學(xué)的思維方法去思考，從而來解決許多實(shí)際問題，最大限度地發(fā)揮學(xué)生的潛能。在教學(xué)中讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中學(xué)會思維、學(xué)會學(xué)習(xí)是非常重要的。因?yàn)?，計算方法每一章?jié)的內(nèi)容都是在過去已解決了的問題基礎(chǔ)上，從新的角度提出的另一個層面上的一個個新的問題，如：數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解、矩陣特征值與特征向量的計算等。因此，在教學(xué)中，結(jié)合大學(xué)生的智力特點(diǎn)，筆者立足于不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生積極主動的參與學(xué)習(xí)活動，并使學(xué)生在獲取知識的同時，自覺完善和發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握獨(dú)立獲取和運(yùn)用知識的能力，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生揭示已有知識、經(jīng)驗(yàn)與新的學(xué)習(xí)任務(wù)之間的矛盾，引起學(xué)生的認(rèn)識沖突。同時，深入了解學(xué)生探究新知識的知識基礎(chǔ)及能力起點(diǎn)，預(yù)想學(xué)生解決問題的各種思考方法及會遇到的種種困難，提供有利于學(xué)生進(jìn)行思維的信息，給予學(xué)生討論、交流及展示思維過程的時間和場合，使學(xué)生積極主動地參與整堂課的學(xué)習(xí)活動，從而更好地激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維和分析的能力。

4 改革教學(xué)手段，優(yōu)化教學(xué)過程

4.1 利用多媒體教學(xué)手段，提高課堂教學(xué)效率

由于計算方法課時少，知識信息容量要求大，在一些章節(jié)適當(dāng)借助于多媒體教學(xué)，能有效地增大每一堂課的課容量，減輕教師板書的工作量，使教師能有精力講深講透所舉例子，提高講解效率。如，在講授線性方程組的數(shù)值解法和及其例題時，筆者就是將一些表述的過程用多媒體進(jìn)行演示。否則，使用板書表示問題，也會占去課堂很多寶貴的時間，更沒有時間去分析和講解具體的方法。另外在每次對課堂所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧和小結(jié)時，筆者一方面引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本堂課的內(nèi)容，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。另一方面，通過投影儀或多媒體課件，同步地將內(nèi)容在瞬間放在屏幕上，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握本堂課的內(nèi)容。

4.2 運(yùn)用框圖描述算法全貌，為學(xué)生編程和利用計算機(jī)演算奠定堅實(shí)基礎(chǔ)

在教學(xué)中得出某一個問題的算法后，從計算方法課程要求來講，任務(wù)似乎已經(jīng)完成。但算法是抽象的，為了真正架起問題、軟件、計算機(jī)之間的橋梁，在對每一個問題講授后，不失時機(jī)地對所形成的算法用框圖加以描述。對于利用框圖描述一個算法，一般可分為：準(zhǔn)備部分、計算部分、控制部分、反饋部分。這不僅可以使學(xué)生加深對算法基本特征的直觀理解，也使學(xué)生真正把握計算公式在算法中核心作用，因?yàn)樵谟嬎銠C(jī)上使用的算法，其計算公式常采用遞推的形式，遞推的基本思想就是將一個復(fù)雜的計算過程歸結(jié)為一個簡單過程的多次重復(fù)，這種重復(fù)在算法上表現(xiàn)為循環(huán)，而這一點(diǎn)正是借助計算機(jī)解決實(shí)際問題的方便之處，從而也為學(xué)生利用編程語言寫出運(yùn)行程序進(jìn)行演算和計算提供幫助。因此，讓學(xué)生學(xué)會和掌握用框圖描述算法也是必要的。

4.3 安排上機(jī)實(shí)習(xí)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對算法的理解，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力

計算方法雖說是理論性很強(qiáng)的課程，但該課程教學(xué)的最終目的是培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生編寫程序，開發(fā)軟件，或者說利用計算機(jī)解決實(shí)際問題奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)過程中適時安排上機(jī)環(huán)節(jié)是十分必要的，特別是針對每章學(xué)習(xí)結(jié)束，學(xué)生可以利用已經(jīng)得到的算法，編寫出相應(yīng)的程序，利用計算機(jī)來求解教材中的習(xí)題，從而幫助學(xué)生加深和強(qiáng)化對知識的理解，鍛煉學(xué)生的實(shí)際動手能力和解決問題的能力，筆者也深深體會到這樣的實(shí)踐環(huán)節(jié)，對增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心是有很大幫助的。

總之，要教好計算方法這門課程，并使學(xué)生學(xué)好這門課，需要教師在認(rèn)真掌握教學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上，不斷加強(qiáng)教學(xué)改革和探索，也需要學(xué)生具有一種主動探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并掌握正確的學(xué)習(xí)方法，才能從根本上提高本課程的教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量。

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收稿日期：2006-11-07

作者簡介：王超(1964.5-)，男，副教授，工程碩士，院長，書記。研究方向?yàn)橛嬎銛?shù)學(xué)、計算機(jī)軟件工程。