龐加萊猜想是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊于1904年提出的一個(gè)問(wèn)題：

一個(gè)單連通的3維閉流形是否同胚于3維球面?這個(gè)問(wèn)題聽(tīng)起來(lái)不復(fù)雜，可是它包含一些我們感到陌生的拓?fù)鋵W(xué)概念。

拓?fù)鋵W(xué)是一種最粗糙的幾何學(xué)，也可以說(shuō)是最基礎(chǔ)的幾何學(xué)。那么我們要問(wèn)：既然如此基本，我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)的幾何學(xué)中為什么從來(lái)沒(méi)有講過(guò)呢?原因很多，最主要有兩方面一是中學(xué)幾何學(xué)中所研究的圖形主要是曲線、曲面以及三維空間中的立體，它們看得見(jiàn)、摸得著，給我們一個(gè)直觀的印象，而拓?fù)鋵W(xué)則研究更高維的流形，從3維流形起，我們已經(jīng)看不見(jiàn)、摸不著，只能靠想象和推理了，這對(duì)于一般人可不是很容易的，它需要很強(qiáng)的抽象能力。二是在中學(xué)幾何中所討論的幾何性質(zhì)比較精密，其中最精密的是度量性質(zhì)，如長(zhǎng)度、面積、曲率(彎曲的程度)等等。這樣，同樣是球，，大球、小球、圓球、橢球我們是不會(huì)把它們看成一樣的，可是拓?fù)鋵W(xué)把它們都看成一樣，甚至一腳踢癟的足球，我們也認(rèn)為它在拓?fù)鋵W(xué)上都是球。這里需要注意的是，兩個(gè)圖形可以通過(guò)連續(xù)變形由一個(gè)變成另一個(gè)，但是在變化過(guò)程中不能撕裂，也不能粘結(jié)，這樣兩個(gè)圖形如果能夠滿足這樣的條件互相變換，我們就說(shuō)它們?cè)谕負(fù)鋵W(xué)上等價(jià)，專業(yè)術(shù)語(yǔ)稱為同胚。大球、小球，長(zhǎng)球、橢球，甚至癟球，彼此都是同胚的。因此，拓?fù)鋵W(xué)也稱為橡皮膜上的幾何學(xué)，但是，這是一種最為粗糙的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)稱為拓?fù)湫再|(zhì)，例如封閉性就是一種拓?fù)湫再|(zhì)。球面和環(huán)面都是封閉性的曲面，簡(jiǎn)稱閉曲面。這從直觀上也容易了解，無(wú)論是足球、籃球或自行車(chē)的內(nèi)胎，里面的氣都不能漏到外面去，也就是封閉曲面內(nèi)的氣都在它的內(nèi)部。人體的血管網(wǎng)很復(fù)雜，它也是閉曲面，如果有地方破開(kāi)了變成開(kāi)曲面，那就要出血了。曲面的概念可以推廣到3維，4維甚至無(wú)窮維。這樣就得到流形的概念。我們這里只談3維流形。從解析幾何學(xué)中，我們知道2維球面的方程：

X²+Y²+Z²=1這里的1也可以寫(xiě)成Y²，r是球的半徑，但是，這無(wú)所謂，因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)是不在乎大球小球的。我們可以只選擇其中最簡(jiǎn)單的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是把2維的曲面推廣到3維的閉流形。我們可以有兩種辦法。一種是我們?cè)偌右粋€(gè)坐標(biāo)，3維球面就是4維歐氏空間中方程

X²+Y²+Z²+T²=1所代表的圖形，這種做法不難推廣到高維，只是我們沒(méi)有直觀的感覺(jué)。這種方法還有一個(gè)缺點(diǎn)，就是它依賴于外在的空間，而拓?fù)鋵W(xué)只關(guān)心流形的內(nèi)在的性質(zhì)。這樣對(duì)于高維流形，我們尋找一個(gè)更好的內(nèi)在定義的方法。過(guò)去騎自行車(chē)的人很多，一旦內(nèi)胎漏氣就要去補(bǔ)一塊補(bǔ)丁(拓?fù)鋵W(xué)中稱為2維圓盤(pán)，從拓?fù)渖峡矗哂?維歐氏空間)，如果漏洞多了，每一塊都補(bǔ)上補(bǔ)丁，抽象地看，內(nèi)胎與這些補(bǔ)丁的集合效果是一樣的，換言之，環(huán)面(內(nèi)胎)無(wú)非是相互有些重疊的補(bǔ)丁的集合。其實(shí)，球面和所有閉曲面都是如此，它們局部上看都一樣，都是補(bǔ)丁或2維圓盤(pán)，但它們組合方式不同就形成球面、環(huán)面或者其他的閉曲面。拓?fù)鋵W(xué)的對(duì)象不難推廣到3維、4維乃至高維，只需要把局部的補(bǔ)丁換成3維圓球(實(shí)心球)就可以了。它們經(jīng)過(guò)相互重疊通過(guò)不同的組合方式就構(gòu)成不同的3維流形了。而拓?fù)鋵W(xué)的基本問(wèn)題就是兩個(gè)流形何時(shí)同胚?當(dāng)然，如果兩個(gè)流形有某個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)不一樣，則它們肯定不同胚。當(dāng)然，也可以問(wèn)一個(gè)反問(wèn)題：哪些拓?fù)湫再|(zhì)足以刻畫(huà)某類流形?龐加萊猜想就是這樣一個(gè)問(wèn)題，其中關(guān)鍵的性質(zhì)就是“單連通”。

單連通的概念也很直觀。就是說(shuō)，如果一個(gè)流形上任何一個(gè)圓圈都可以連續(xù)變形最后縮成一點(diǎn)，則稱這流形是單連通的。不難看出，球面上無(wú)論大圓與小圓，經(jīng)圈與緯圈都可以在球面上縮為一點(diǎn)，因此它是單連通的；但是，環(huán)面上的經(jīng)圈與緯圈在環(huán)面上是不能縮為一點(diǎn)的。對(duì)于2維閉曲面，逆定理也成立，也就是2維單連通閉曲面一定是球面。龐加萊猜想就是這件事對(duì)3維流形是否也對(duì)?

這個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單的拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題花了數(shù)學(xué)家100年時(shí)間，并被克雷研究院列入21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題之一，解決者可獲100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。斯梅爾也把這個(gè)問(wèn)題列為21世紀(jì)最重要的兩個(gè)問(wèn)題之一，另一個(gè)是黎曼假設(shè)。其實(shí)，在這個(gè)偉大的拓?fù)鋯?wèn)題解決之前，已經(jīng)有4位數(shù)學(xué)家因解決這個(gè)問(wèn)題而獲得菲爾茲獎(jiǎng)。但他們解決的不是原來(lái)的3維龐加萊猜想，而是看起來(lái)更難的4維、5維乃至所有高維的龐加萊猜想。第一個(gè)越過(guò)維數(shù)障礙的是美國(guó)數(shù)學(xué)家斯梅爾。他一舉證明5維及5維以上的“廣義龐加萊猜想”，廣義在什么地方呢?對(duì)于n維流形單連通是不夠的，改為，(n-1)連通，也就是在n維流形上不僅圓圈S，而且2維球面S²，3維球面S³，一直到(n-1)維球面都要縮為一點(diǎn)。斯梅爾在1960年的突破立即引起轟動(dòng)，他也在1966年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。4維似乎更難，但是美國(guó)數(shù)學(xué)家弗里德曼和英國(guó)數(shù)學(xué)家唐納森在1982年解決了這個(gè)難題，他們也在1986年雙雙獲菲爾茲獎(jiǎng)。這時(shí)最后剩下了最早的3維龐加萊猜想沒(méi)有解決。正好這時(shí)，美國(guó)數(shù)學(xué)家瑟斯頓提出關(guān)于所有3維流形分類的一個(gè)綱領(lǐng)，其中關(guān)鍵是幾何化猜想。如果這個(gè)猜想被證明，龐加萊猜想只不過(guò)是其中一個(gè)小小的推論。瑟斯頓證明了其中的主要情形，但是沒(méi)有證明能推出龐加萊猜想的橢圓化猜想。盡管如此，瑟斯頓還是獲得1982年的菲爾茲獎(jiǎng)。在最近25年，兩位數(shù)學(xué)家做出巨大的貢獻(xiàn)，一是美國(guó)數(shù)學(xué)家漢密頓，他在1982年引入里奇流這個(gè)新工具，他在2003年獲得克雷研究院獎(jiǎng)。另一位是俄國(guó)數(shù)學(xué)家彼列爾曼，他在2002年到2003年給出里奇流奇點(diǎn)的分類方案，一舉突破幾何化猜想，當(dāng)然也就證明了龐加萊猜想。只是他的3篇論文發(fā)表在網(wǎng)上。2006年6月3日，丘成桐宣布兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家解決了龐加萊猜想，從而為這個(gè)偉大的猜想畫(huà)上一個(gè)圓滿的句號(hào)。

[責(zé)任編輯]蒲 暉