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        數(shù)學(xué)大師解題小故事

        2006-09-28 06:11:54于志洪
        初中生世界·八年級 2006年9期
        關(guān)鍵詞:條腿外角酒杯

        于志洪

        (一)曾任國際數(shù)學(xué)教育委員會主席的弗賴登塔爾在《思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)》中提出問題:“設(shè)有白酒與紅酒各一杯,分量相同.現(xiàn)從白酒杯中舀一匙放入紅酒杯中,調(diào)勻后,舀回一匙放進(jìn)白酒杯中.問白酒杯中所含的紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒?”

        弗氏說,會出現(xiàn)兩種解法.多數(shù)人會在設(shè)酒杯和羹匙的容積之后,實際計算一番(其中不少人還會遇到困難).只有少數(shù)人會作如下的“思辨”求解:兩個杯子最終所盛液體分量相同.設(shè)想將每杯中的白酒與紅酒分離,則白酒杯中之紅酒是來自紅酒中之“所失”,而紅酒杯中“所失”的分量正好由白酒置換.因此,白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒,分量相同.

        多一點思考,換一個角度,問題就一語道破!大師的“思路”,令人大開眼界.

        (二)當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身,1980年在北京大學(xué)的一次講學(xué)中妙語驚人:“人們常說,三角形內(nèi)角和等于180°.但是,這是不妥的!”當(dāng)時全場爆發(fā)一陣笑聲,于是陳教授作了精辟的解釋:“三角形內(nèi)角和為180°”不妥,不是說這個事實不對,而是說這種看問題的方法不對,應(yīng)該說“三角形外角和是360°”.把眼光盯住內(nèi)角,只能看到三角形,四邊形,……,n邊形的內(nèi)角和分別是180°,360°,……,(n-2)·180°——公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.

        如果看外角呢?不論是三角形、四邊形或n邊形,外角和都是360°!這樣就把一切可能的情況用一個十分簡單的結(jié)論概括出來,用一個與n無關(guān)的常量(360°)代替了與n有關(guān)的公式,找到了更一般、更明白的規(guī)律.

        設(shè)想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子,每經(jīng)過一個頂角,它的前進(jìn)方向就要改變一次,改變的角度恰好是這個頂點處的外角的度數(shù).爬了一圈,回到原處,角度改變量之和當(dāng)然恰好是360°.

        (三)G·波利亞曾任國際數(shù)學(xué)教育委員會主席,“雞兔同籠”問題最早見于我國古代的《孫子算經(jīng)》.波利亞認(rèn)為該題是一個“智力測驗的難題”,若干世紀(jì)以來一直使“許多聰明的青少年感興趣”.下面就讓數(shù)學(xué)教育大師向我們講解“雞兔同籠”問題.

        題目:一戶農(nóng)家的大籠子里關(guān)著若干只雞和兔子,它們共有50個頭和140條腿,問其中雞、兔各幾只?

        解1(試湊法)一共50只雞兔,它們不會全是雞,否則只有100條腿;也不可能全是兔子,否則將有200條腿.會不會正好一半是雞,另一半是兔子?如果這樣,總共的腿數(shù)為25×2+25×4,即150條,超過了題目中的140條.可知兔子應(yīng)少于25只,讓我們再試一試(即20只兔子,30只雞),這時總共的腿數(shù)為20×4+30×2=140(條).這里用的是試湊、猜測的辦法.

        解2(觸景生情引發(fā)的巧思)在我們持續(xù)探求新解法時,有人忽然看見籠子里的家畜作出一種新姿勢:每只雞都用一條腿站著,而每只兔子都僅用后腿(兩條)站著.這時,只用了半數(shù)的腿,即70條腿,在70這個數(shù)目中,顯然雞的頭只計算了一次,而兔子的頭則計算了兩次.從70這個數(shù)減去所有的頭數(shù)50,就應(yīng)是兔子的頭數(shù)70-50=20,即兔子20只,于是雞有30只.

        巧思是誘人的,但畢竟不可多得,如果不是“觸景生情”,也一定是有心人久經(jīng)思索所得.

        解3(代數(shù)的方法)我們已經(jīng)學(xué)過“好的數(shù)學(xué)——方程(組)”,多數(shù)讀者一定會列方程(組)解決此題:

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