《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在課程目標(biāo)中明確提出：“形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神?！本€段圖作為解決問題的一種基本策略，從數(shù)學(xué)教學(xué)的“輔助工具”向“課程目標(biāo)”的價(jià)值提升，必然要求教師重新認(rèn)識(shí)線段圖策略的重要性，改變以往線段圖運(yùn)用的自發(fā)性和偶然性，增強(qiáng)線段圖策略培養(yǎng)的主動(dòng)性和自覺性，提高學(xué)生運(yùn)用線段圖策略解決問題的能力?！熬€段圖具有雙重性——既可能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，也可能阻礙學(xué)生的發(fā)展”，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中線段圖策略的運(yùn)用重在“合理”。本文試從多維視角刻畫數(shù)學(xué)教學(xué)中線段圖策略運(yùn)用的“合理性”表征。

一、線段圖策略運(yùn)用的價(jià)值多元性

1．線段圖是促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)的重要手段。

為幫助學(xué)生理解問題中抽象的數(shù)學(xué)概念，采用線段圖策略能化抽象為具體，在形象思維的充分運(yùn)動(dòng)中，建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念清晰、豐富、正確的“心理表征”。盧仲飛老師在教學(xué)較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)幾分之幾”時(shí)，為幫助和促進(jìn)學(xué)生真正理解“嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少、年多4/5”，師生協(xié)作，共同構(gòu)造線段圖，以圖為弦激蕩起學(xué)生的活躍思維，以圖為鏡外顯出學(xué)生的真實(shí)思維，從而使學(xué)生在不斷地“畫”、“評(píng)”、“改”線段圖的過程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)。

2．線段圖是促進(jìn)問題解決的有效工具。

在問題解決過程中，利用線段圖將問題中蘊(yùn)涵的抽象數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式表達(dá)出來，能有效地促進(jìn)問題的解決。在本人看來，線段圖的這種促進(jìn)功能源于其“固有屬性”：通過“舍棄與數(shù)學(xué)問題無關(guān)的東西，抽取實(shí)際問題中的數(shù)量”，運(yùn)用理想化抽象的方法，把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形線段圖，這事實(shí)上就把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，這樣我們即可運(yùn)用有關(guān)“圖形法則”(如割補(bǔ)法、平移法等)靈活處理，使問題獲得解決。

3．線段圖是促進(jìn)思維發(fā)展的基本載體。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用線段圖的目的不僅僅是幫助學(xué)生解決某些具體問題，提高解決問題的能力，更重要的是使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”。因此，線段圖的運(yùn)用不能僅僅滿足于解決問題的“有效性”，更應(yīng)重視發(fā)揮其對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的發(fā)展功能。線段圖策略的運(yùn)用過程是由問題“文字表征”向“形象表征”再到“數(shù)學(xué)表征”的轉(zhuǎn)換過程，內(nèi)潛著廣闊的思維空間，需要學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、比較、調(diào)整、猜測(cè)、想象、推理等一系列智力活動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)。可以說，學(xué)生運(yùn)用線段圖策略解決問題的過程就是學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的發(fā)展過程。

二、線段圖策略運(yùn)用的過程全面性

在問題解決活動(dòng)中，線段圖策略的運(yùn)用過程包括兩個(gè)階段：構(gòu)造線段圖和分析線段圖，兩者之間既有階段性，又具有連續(xù)性。前者指向于線段圖的構(gòu)造能力，后者則指向于線段圖的分析能力，這兩種能力的有機(jī)整合——運(yùn)用線段圖策略解決問題的能力。

審視當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中線段圖策略的運(yùn)用，在線段圖構(gòu)造與分析的關(guān)系認(rèn)識(shí)和行為指向上，普遍存在著一種“厚此薄彼”的傾向：重視線段圖的分析過程，輕視線段圖的構(gòu)造過程(線段圖常常是由教師主動(dòng)構(gòu)造“完形”后直接呈現(xiàn)給學(xué)生，表現(xiàn)為明顯的“師主性”特征)。其實(shí)，線段圖的構(gòu)造是以構(gòu)造主體的閱讀能力、抽象能力及對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念的正確理解為基礎(chǔ)，隱性思維和外顯操作相互作用，由問題文字表征向形象表征的探索性轉(zhuǎn)換過程，而不是一種純粹的操作行為。這種“厚此薄彼”的教學(xué)傾向產(chǎn)生的結(jié)果必然是學(xué)生分析線段圖的能力不斷提高，但構(gòu)造線段圖的能力卻停滯不前，從而直接制約了學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用線段圖策略解決問題能力的發(fā)展。

因此，教師應(yīng)確立“構(gòu)造線段圖”和“分析線段圖”同等重要的過程觀，做到既重視學(xué)生構(gòu)造線段圖的過程，又重視學(xué)生分析線段圖的過程。事實(shí)上，只有全面關(guān)注和巧妙引導(dǎo)，讓學(xué)生親歷運(yùn)用線段圖策略解決問題的全過程，才能有效促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用線段圖策略解決問題能力和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

三、線段圖策略運(yùn)用的主體自主性

學(xué)生的線段圖策略能力不是在單純地“看”(教師構(gòu)圖)和“聽”(教師講圖)的過程中形成的，而是在教師引導(dǎo)下親身經(jīng)歷線段圖的構(gòu)造與分析過程中發(fā)展起來的。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中線段圖策略的運(yùn)用要體現(xiàn)學(xué)生主體性，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)性，彰顯學(xué)生自主性，有效發(fā)展學(xué)生的線段圖策略運(yùn)用能力、思維能力和創(chuàng)新精神。

“學(xué)生運(yùn)用線段圖策略的真正動(dòng)因不是某種外力強(qiáng)加，而是源于學(xué)生自身成功解決問題的需要”。因此，是否畫線段圖應(yīng)由學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際需要來確定。只有當(dāng)學(xué)生有畫線段圖的心理需求但又存在客觀困難時(shí)，教師畫線段圖才是“善解人意”的關(guān)懷與幫助。無視學(xué)生實(shí)際需求和思維發(fā)展水平的硬性規(guī)定，過于追求直觀性，對(duì)處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡期的學(xué)生來說，則會(huì)阻礙抽象思維的發(fā)展。而這正是線段圖的雙重性的具體體現(xiàn)。

不僅如此，在學(xué)生具備構(gòu)造線段圖的相關(guān)知識(shí)和能力的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)給予學(xué)生“怎樣畫”的自主權(quán)，讓學(xué)生從自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)自主構(gòu)造。學(xué)生在自主構(gòu)造過程中，對(duì)數(shù)學(xué)概念的不同“心理表征”、個(gè)人獨(dú)特的思維方式以及習(xí)慣的構(gòu)圖方式都“凝聚”在線段圖中直觀地表現(xiàn)出來，從而產(chǎn)生個(gè)性化、多樣化的線段圖。教學(xué)實(shí)踐表明，讓學(xué)生從自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)自主構(gòu)造線段圖常常會(huì)生成“無法預(yù)約的精彩”。如教學(xué)蘇教版義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教材第十一冊(cè)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”例2(一輛摩托車3/10小時(shí)行駛18千米，1小時(shí)行駛多少十米?)，教師常常習(xí)慣性地直接引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出這樣的線段圖(下左圖)，若讓學(xué)生從自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)自主構(gòu)造，則很可能會(huì)出現(xiàn)下面兩種不同的構(gòu)造(筆者的教學(xué)實(shí)踐表明這一點(diǎn))。這兩種線段圖的產(chǎn)生源于學(xué)生對(duì)同一概念“3/10小時(shí)”的不同的“心表征”(1小時(shí)的3/10或3小時(shí)的1/10)，特別是，“在不同的時(shí)刻或場(chǎng)合，所得到‘激活’的通常又只是這些不同心理表征中的某一個(gè)”。這就清楚表明了教師主動(dòng)構(gòu)造的個(gè)體局限性，同時(shí)彰顯出學(xué)生自主構(gòu)造的相對(duì)合理性。

同樣，作為線段圖構(gòu)造活動(dòng)的動(dòng)態(tài)延伸——“分析線段圖”，應(yīng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷線段圖的分析過程，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的視角、運(yùn)用不同的方法，展開豐富和合理的想象，把復(fù)雜線段圖“化歸”為簡(jiǎn)單線段圖，使問題獲得解決。這樣，學(xué)生在自主運(yùn)用線段圖策略解決問題過程中，得到的不僅僅是問題的成功解決，更重要的是增強(qiáng)了線段圖策略的運(yùn)用能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，濡養(yǎng)了創(chuàng)新精神。

四、線段圖策略運(yùn)用的反思自覺性

在線段圖策略運(yùn)用過程中，事實(shí)上同時(shí)存在著兩種不同的思維過程，即具體的思維過程和元認(rèn)知(又稱“反思”)過程。與前者相比，后者屬于一個(gè)更高的層次，它是主體對(duì)自身所進(jìn)行的線段圖策略運(yùn)用這一智力操作活動(dòng)過程與結(jié)果的自我覺察、自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)、自我調(diào)節(jié)，對(duì)線段圖策略運(yùn)用過程起著指導(dǎo)、支配、監(jiān)控的作用，它是影響問題能否獲得有效解決的重要因素。

1．前瞻性反思。對(duì)教師而言，對(duì)線段圖策略的選用不能“隨心所欲”，而要“三思而行”。教師應(yīng)自覺地反復(fù)追問：如果沒有線段圖策略的支持，學(xué)生能否獨(dú)立解決當(dāng)前的問題?線段圖策略的運(yùn)用，能否有效促進(jìn)當(dāng)前問題的解決?在運(yùn)用線段圖策略有效解決問題的過程中，學(xué)生的思維能力能否獲得相應(yīng)的發(fā)展?總之，教師必須充分考慮線段圖策略運(yùn)用的必要性、有效性和發(fā)展性，這樣線段圖策略運(yùn)用才具有合理性前提。

2．過程性反思。線段圖策略的運(yùn)用過程包括兩個(gè)階段：構(gòu)造線段圖和分析線段圖。線段圖構(gòu)造過程中的反思，主要表現(xiàn)在主體在構(gòu)造過程中始終保持清醒的自我意識(shí)，對(duì)構(gòu)造的線段圖持一種謹(jǐn)慎的批判態(tài)度，能自覺地在線段圖與問題的相互比照中，適時(shí)作出必要的“修正”，從而使構(gòu)造的線段圖與問題題意相“吻合”；線段圖分析過程中的反思，主要是主體自我評(píng)價(jià)采用的分析方法是否恰當(dāng)，能否實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”、“化暗為明”、“化生為熟”，特別是在遭遇“挫折”后，能及時(shí)作出必要的調(diào)整，而不是“一股勁地往前走”，直至最終陷入“死胡同”。

3．回顧性反思。它是線段圖策略運(yùn)用之后的反思，其目的在于“意識(shí)到深藏在自身行為后面的實(shí)質(zhì)”。通過反思可以從具體的方法中抽象提煉出一般方法，如“對(duì)稱點(diǎn)撥法”、“集中會(huì)聚法”、“分層對(duì)應(yīng)法”等線段圖構(gòu)造方法，再如“借去還來法”、“位置互換法”、“推拉展開法”等線段圖分析方法，它們具有普遍的遷移價(jià)值。而且還可以感悟到蘊(yùn)涵在線段圖運(yùn)用過程中的基本“規(guī)律”：線段圖必須忠實(shí)于問題(即正確反映題意)，構(gòu)造線段圖時(shí)，有時(shí)僅靠簡(jiǎn)單的讀清問題是不夠的，還必須展開深入細(xì)致的思考，這樣才能使構(gòu)造的線段圖真正做到“忠實(shí)”于當(dāng)前的問題，即“在思考中忠實(shí)”；分析線段圖時(shí)，既要忠實(shí)于當(dāng)前的線段圖，但又不能完全被它所束縛，必須展開豐富而又合理的想象，把復(fù)雜的線段圖轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的線段圖，從而成功解決問題，即“在忠實(shí)中思考”。

五、線段圖策略運(yùn)用的技術(shù)互補(bǔ)性

任何技術(shù)都是價(jià)值與局限的共存。在運(yùn)用線段圖策略解決問題的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)(電腦與網(wǎng)絡(luò))和傳統(tǒng)技術(shù)(筆、紙或黑板)各自的優(yōu)越性，并實(shí)現(xiàn)必要的聯(lián)合與互補(bǔ)，從而有效促進(jìn)學(xué)生線段圖策略運(yùn)用能力和思維能力的發(fā)展，體現(xiàn)教學(xué)技術(shù)“促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量和效益的提高”的本質(zhì)意義。

在線段圖構(gòu)造過程中，傳統(tǒng)技術(shù)較之于現(xiàn)代技術(shù)具有不可比擬的優(yōu)越性。由于線段圖構(gòu)造活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是問題文字表征向形象表征的主動(dòng)轉(zhuǎn)換過程，是伴隨著構(gòu)造主體的觀察、比較、分析、評(píng)價(jià)與調(diào)整的智力操作活動(dòng)，具有明顯的生成性特征，而傳統(tǒng)技術(shù)有利于清晰、全面、便捷地反映線段圖的動(dòng)態(tài)生成過程。在線段圖分析過程中，教學(xué)技術(shù)的運(yùn)用應(yīng)具有相對(duì)“滯后性”，即它是在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上所提供的后續(xù)支持——源于個(gè)體的自由想象需要通過“外化”加以證實(shí)和“擴(kuò)大”(個(gè)體觀念為群體所分享)。對(duì)此，現(xiàn)代技術(shù)較之于傳統(tǒng)技術(shù)具有明顯的優(yōu)越性。如分析線段圖并列出算式(見圖1)。盡管有的學(xué)生洞察了題中的量率對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出正確算式：(18+26)÷(1+3/8)，但他們難以解釋清楚。如果借助課件演示：將26厘米的線段向后平移(圖2)或?qū)?8厘米的線段往前平移(圖3)，則題中量率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然。

由此可見，在線段圖分析過程中現(xiàn)代技術(shù)的優(yōu)越性體現(xiàn)在：現(xiàn)代技術(shù)具有動(dòng)態(tài)演示功能和“再現(xiàn)”功能，能具體、清晰地反映想象活動(dòng)中形象的變化，而且演示過程具有“恒在性”和“高保真性”，確保線段圖的形象變化始終處在觀察者眼中，并能在變化之中保持各部分線段“長(zhǎng)度守衡”，使演示過程與結(jié)果更具信服力。當(dāng)然，作為一種必要的補(bǔ)充——傳統(tǒng)技術(shù)，在應(yīng)對(duì)線段圖分析過程中的“生成性”信息時(shí)，更顯得“游刃有余”。

(作者單位：靖江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

責(zé)任編輯：王 偉

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