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        基于優(yōu)化模型的折疊桌設(shè)計(jì)

        2015-06-15 18:56:24蘇玥瑩高莉麗竇霽虹胡君豪
        關(guān)鍵詞:桌腿木條桌面

        蘇玥瑩,高莉麗,竇霽虹,胡君豪

        (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

        基于優(yōu)化模型的折疊桌設(shè)計(jì)

        蘇玥瑩,高莉麗,竇霽虹,胡君豪

        (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

        基于2014年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題,研究了折疊桌的設(shè)計(jì)問題,運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化模型,以穩(wěn)定性、易加工性、省材性為目標(biāo),得到了平板折疊桌加工的各參數(shù),并且分析了折疊桌折疊時(shí)的動(dòng)態(tài)變化過程。運(yùn)用Matlab軟件確定最優(yōu)設(shè)計(jì),并用SolidWorks軟件繪制其實(shí)體模型。

        折疊桌設(shè)計(jì);多目標(biāo)優(yōu)化模型;SolidWorks軟件

        折疊桌是一種輕巧耐用的便攜式日常家具,如何設(shè)計(jì)一款兼顧產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的折疊桌,一直是廠家最重要的問題之一。

        該折疊桌的桌面呈圓形,桌腿有若干木條組成,隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板且由鋼筋連接。鋼筋兩端固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上,并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。任意給定折疊圓桌高度和其桌面的直徑設(shè)計(jì)要求,設(shè)計(jì)者希望據(jù)此確定折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程并確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

        1 概念定義及符號(hào)說明

        木板尺寸(2s×2r×δ):原料木板的長(zhǎng)為2s;寬為2r,即折疊桌桌面半徑為r;厚度為δ。

        夾角大小(θ):即邊緣桌腿與豎直方向的夾角大小,折疊到最大限度時(shí)為α,即θ∈[α,90°]。

        折疊高度(h):桌子折疊完全后桌面的高度,其中h包含桌面厚度δ。

        桌面木條的根數(shù)(n):即桌面是由n跟木條所組成。

        桌面木條的半長(zhǎng)度(di):即作為桌面部分從中心向兩邊的第i根木條一半的長(zhǎng)度,

        其中,r是圓形桌面的半徑,即所給木板寬度的一半;w為每根木條的寬度,即w=r/n。

        開槽長(zhǎng)度(ki):每根木條插入鋼筋處需要開槽的長(zhǎng)度。

        鋼筋位置(l1):鏈接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿各組最外側(cè)木條距桌腿末端的長(zhǎng)度。

        切痕長(zhǎng)度(L):相鄰兩根木條間所需切割的長(zhǎng)度的總和。

        弦心距(a):第一根木條的長(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的弦到圓心的距離,0

        2 模型假設(shè)

        (1)厚度對(duì)模型結(jié)果的影響很小,假設(shè)木條的厚度為定值3cm。

        (2)假設(shè)鋼筋能夠承受折疊桌以及其承擔(dān)物體的重量且鋼筋很細(xì)。

        (4)不考慮加工過程中失誤導(dǎo)致材料的損失。

        3 模型的建立

        3.1 折疊桌的描述與加工參數(shù)的確定

        給定長(zhǎng)方形平板尺寸、木條寬度及折疊后桌高。要求建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程,并給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)的數(shù)學(xué)描述。據(jù)此建立如下模型:

        3.1.1 動(dòng)態(tài)變化過程模型:

        為了方便描述,我們?yōu)檎郫B桌建立三維坐標(biāo)系[1],以折疊桌下底面的中心為原點(diǎn),x軸方向平行于木條放置方向,y軸垂直于桌面方向,z軸平行于鋼筋插入木條的方向。利用相似三角形的性質(zhì)得到桌腿末端所在位置的坐標(biāo)為:

        其中,xp是鋼筋的位置的橫坐標(biāo),yp是鋼筋的位置的縱坐標(biāo)。

        (θ∈[α,90°])。

        動(dòng)態(tài)變化過程需要用不同折疊狀態(tài)下的桌腿末端位置來表現(xiàn),所以將鋼筋位置坐標(biāo)整合進(jìn)上式,建立動(dòng)態(tài)變化模型如下:

        1、本數(shù)據(jù)系在近2個(gè)月內(nèi),預(yù)測(cè)調(diào)整幅度大于10%、預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)數(shù)大于3家的股票,以2018年最新每股收益一致預(yù)期排名。

        (θ∈[α,90°])。

        3.1.2 加工參數(shù)模型

        開槽長(zhǎng)度:

        設(shè)第i條木條的開槽長(zhǎng)度為li,可以以通過折疊桌作為矩形平面時(shí)鋼筋穿過桌腿的位置與桌子折疊到最大限度時(shí)鋼筋穿過桌腿的位置來計(jì)算。

        桌子未折疊時(shí)鋼筋位置為l1。

        桌子折疊到最大限度時(shí),鋼筋的位置表示為:

        其中,xp、yp是折疊到最大程度時(shí)鋼筋的坐標(biāo),即θ=α。

        所以得到木條開槽長(zhǎng)度模型為:

        桌面木條長(zhǎng)度模型:

        對(duì)于該問題需要建立優(yōu)化模型,目標(biāo)是使桌面實(shí)際面積最接近于一個(gè)半徑為r圓形面積,決策變量是a。由幾何關(guān)系得出di的長(zhǎng)度表達(dá)式為:

        從而可以建立木條長(zhǎng)度模型如下:

        3.1.3 邊緣線模型的確立

        觀察折疊桌的圖像可以看出邊緣線是一條三維曲線,我們對(duì)該曲線尋找數(shù)學(xué)模型。首先根據(jù)3.1.1建立空間坐標(biāo)系。

        根據(jù)幾何關(guān)系,寫出邊緣線的數(shù)學(xué)模型:

        其中xp,yp為3.1.1中確定的鋼筋的位置坐標(biāo):

        我們所建立的邊緣線數(shù)學(xué)模型以z為變量,x,y之間相互表達(dá)即為桌角邊緣線的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

        3.2 最優(yōu)設(shè)計(jì)的確定

        需要討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù),包括平板尺寸,鋼筋位置,開槽長(zhǎng)度,組成桌面的木條長(zhǎng)度等。根據(jù)設(shè)計(jì)折疊桌的要求可知該問題是一個(gè)典型的優(yōu)化問題,應(yīng)利用規(guī)劃模型對(duì)問題進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化[2]。

        由于需要優(yōu)化的變量個(gè)數(shù)較多,共有5個(gè)變量,分別為:木板的總長(zhǎng)度、觸地桌腿形成的面積、發(fā)生形變的趨勢(shì)(力矩)、重心與木條開槽長(zhǎng)度,本文中我們將問題設(shè)置為兩層多目標(biāo)優(yōu)化問題,先滿足第一層模型,在此基礎(chǔ)上求解第二層模型。

        第一層優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型將木板長(zhǎng)度s、四條桌腿所確定矩形的面積p、切痕長(zhǎng)度L及力矩作為目標(biāo)變量,以邊緣桌腿與豎直方向最大夾角α、木條數(shù)目n作為決策變量建立數(shù)學(xué)模型。

        為了節(jié)約成本,減少用材,我們希望木板長(zhǎng)度2 s越小越好:

        觸地桌腿形成的面積是桌子穩(wěn)定性的衡量指標(biāo)之一,這個(gè)矩形面積越大則桌子的穩(wěn)定性越好:

        p=2r·2[dn+(h-δ)tanα]。

        力矩是地面支持力在垂直于桌腿方向的分力與桌腿長(zhǎng)度的乘積,力矩越大桌子的形變趨勢(shì)越大:

        t=ρδsrg·sinα·(s-dn),

        式中ρ是木條的密度為0.5,g為重力加速度9.8N/kg,根據(jù)選材的確定性為一定值,所以ρsδrg就是桌子每條邊緣桌腿所承受的重力,s-dn就是邊緣桌腿的長(zhǎng)度。

        通過上述分析,可以建立第一層模型為:

        maxp=2r·2[dn+(h-δ)tanα],

        mint=ρδsrg·sinα·(s-dn),

        第二層模型中目標(biāo)變量是重心G與開槽長(zhǎng)度k,決策變量是鋼筋位置l1。模型如下:

        (((s-dn-l1)·sinθ+dn-di)2+

        其中yi是桌腿末端的縱坐標(biāo):

        yi=

        4 舉例

        4.1 對(duì)以下模型的求解

        對(duì)模型一,給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm,每根木條寬2.5cm,連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置,折疊后桌子的高度為53cm。

        之后利用MATLAB程序?qū)δP瓦M(jìn)行求解,得到最優(yōu)結(jié)果如表1和表2所示。

        表1 木條開槽長(zhǎng)度

        表2 桌面木條的長(zhǎng)度

        a的最優(yōu)取值為1.328。

        根據(jù)該數(shù)據(jù)所繪制的三維設(shè)計(jì)圖如圖1和圖2所示。

        圖1 完全折疊時(shí)的折疊桌

        圖2 未完全折疊時(shí)的折疊桌

        模型建立恰當(dāng)。

        對(duì)模型二,給定桌高70cm,桌面直徑80cm,用MATLAB對(duì)第一層模型進(jìn)行求解[3]。

        為了方便計(jì)算,我們將目標(biāo)函數(shù)表現(xiàn)在同一個(gè)式中變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問題。因?yàn)槊總€(gè)目標(biāo)變量對(duì)結(jié)果的影響程度不同,在這里我們對(duì)每個(gè)變量設(shè)置權(quán)重βi,

        其中bi是0,1,2,3,4,分別表示不同的影響程度(見表3)。

        表3 不同取值的影響程度

        解得:

        平板尺寸:169.28cm×80cm×3cm,

        鋼筋位置:l1=22.55cm,

        木條數(shù)目:n=13。

        表4 桌面木條的長(zhǎng)度

        4.2 結(jié)果分析

        在本文中,模型多為利用幾何關(guān)系與三角函數(shù)推導(dǎo),簡(jiǎn)便易行,算法效率高,具有嚴(yán)謹(jǐn)性并且普適性強(qiáng)的特點(diǎn)[4]。

        通過對(duì)桌面尺寸的建模求解力求讓折疊桌更加美觀。

        引入多目標(biāo)優(yōu)化模型,進(jìn)行兩層優(yōu)化分析,將如此多的目標(biāo)兼顧取其相對(duì)最優(yōu)的結(jié)果(見圖3)。

        圖3 木條的開槽長(zhǎng)度

        在此,我們提出關(guān)于模型改進(jìn)和拓展思路:在決定模型權(quán)重時(shí)較為主觀,可以根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與分析獲得較精確的權(quán)重。

        [1]胡良劍,孫曉軍,等.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2006.

        [2]章紹輝.數(shù)學(xué)建模[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

        [3]姜啟源,謝金星,等.數(shù)學(xué)建模[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [4]壽紀(jì)鱗.數(shù)學(xué)建模——方法與范例[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1993.

        [責(zé)任編輯 畢 偉]

        2015-07-20

        蘇玥瑩(1994—),女,河南民權(quán)人,西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生。

        O221.6

        A

        1004-602X(2015)04-0004-04

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