■楊樹(shù)波

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確指出，初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)包括初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等，以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。在這一理念的指導(dǎo)下，教師應(yīng)更加注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的形成和發(fā)展過(guò)程，注重?cái)?shù)學(xué)思維的生成、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模的思想方法蘊(yùn)含于抽象知識(shí)的形成過(guò)程之中。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師需要具備專業(yè)的建模觀念，注重概念框架的基本形成過(guò)程，模型建構(gòu)的設(shè)計(jì)、推導(dǎo)、驗(yàn)證過(guò)程，方法設(shè)計(jì)的邏輯論證過(guò)程和問(wèn)題探究的實(shí)踐論證過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考、觀察、歸納模型的建構(gòu)過(guò)程。

一、在概念形成中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的本質(zhì)屬性及其特征在人的思維體系中的規(guī)律性反映。在實(shí)施概念教學(xué)時(shí)，教師可以在概念形成過(guò)程中滲透模型化的數(shù)學(xué)思想、特殊與一般的辯證思想、分類的數(shù)學(xué)思想等，助力學(xué)生生長(zhǎng)數(shù)學(xué)思維、挖掘數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在教授蘇科版數(shù)學(xué)八（上）“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)根據(jù)數(shù)學(xué)建模思想，筆者準(zhǔn)備幾種座位票，座位票的種類包含有排無(wú)號(hào)、有號(hào)無(wú)排、有排有號(hào)、排號(hào)互換、無(wú)排無(wú)號(hào)等，設(shè)計(jì)了“找朋友”的游戲，規(guī)則如下：教室各排從左到右依次是1 號(hào)、2 號(hào)……從第一排1號(hào)開(kāi)始，學(xué)生從教師手中抽取座位票，然后尋找座位票位置上的朋友。找不到朋友的學(xué)生，請(qǐng)他們說(shuō)說(shuō)“找不到的原因”“如果要找到位置，還需補(bǔ)充什么條件”。學(xué)生的好奇心一下子被激發(fā)，立刻進(jìn)入教師設(shè)計(jì)的情境中，體會(huì)到了從生活場(chǎng)景到數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象概括，以及數(shù)學(xué)思維的形式化和數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)化。

有序數(shù)對(duì)模型的有效建立使數(shù)學(xué)化思維過(guò)程真實(shí)發(fā)生，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了真真切切的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。學(xué)生在主動(dòng)探索的過(guò)程中，知識(shí)得到生長(zhǎng)，能力得到發(fā)展，數(shù)學(xué)思維得到提升，數(shù)學(xué)思想方法得到落實(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模在解決問(wèn)題中的可行性和必要性。這樣的數(shù)學(xué)建模是學(xué)生主動(dòng)地、積極投入地接受學(xué)習(xí)的過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性得到充分發(fā)揮。

二、在規(guī)律探究中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善的過(guò)程。在定理、公式、法則等一般規(guī)律的科學(xué)探究過(guò)程中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)真實(shí)問(wèn)題情境，積極引導(dǎo)學(xué)生自主歸納數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)感性的直觀背景材料或根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)規(guī)律；不要過(guò)早地呈現(xiàn)結(jié)論，讓學(xué)生參與從問(wèn)題提出到問(wèn)題解決的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的一般方法，理解建立數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效手段。

例如，在教授蘇科版數(shù)學(xué)七（上）“有理數(shù)的減法”時(shí)，筆者首先給出“自學(xué)指導(dǎo)”：某地一天的氣溫是-3℃～4℃，求這天的溫差。有的學(xué)生猜1℃，有的猜7℃。筆者先引導(dǎo)學(xué)生觀察溫度計(jì)，數(shù)一數(shù)某地這天的氣溫相差多少度，再引導(dǎo)學(xué)生列算式。學(xué)生列出4-（-3），不會(huì)計(jì)算。筆者引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系小學(xué)減法的意義，可知：被減數(shù)-減數(shù)=差，變形得：差+減數(shù)=被減數(shù)。4-（-3）=（），其實(shí)就是（）+（-3）=4，而7+（-3）=4，故（）=7。因此，4-（-3）=7。而通過(guò)溫度計(jì)，我們知道4+3=7。請(qǐng)學(xué)生觀察上述兩個(gè)算式有什么不同點(diǎn)。討論中，有理數(shù)的減法法則就被學(xué)生很好地提煉出來(lái)了。

在運(yùn)算法則動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程中，學(xué)生親身經(jīng)歷了法則的探索過(guò)程，體會(huì)到成功的喜悅，最重要的是參與了數(shù)學(xué)分析、探討、發(fā)現(xiàn)、建模等過(guò)程。學(xué)生在自主探索過(guò)程中，碰撞了思維的火花，經(jīng)歷了試錯(cuò)的體驗(yàn)，生成了必要的耐挫品質(zhì)。雖然在自主探索中習(xí)得知識(shí)常常顯得較為緩慢，但教育本來(lái)就是一種“慢的藝術(shù)”。在此過(guò)程中，學(xué)生的心智、情感、人格得以喚醒、激發(fā)、強(qiáng)化和發(fā)展。有了自主探索作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和起點(diǎn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)才是穩(wěn)健的、久遠(yuǎn)的，數(shù)學(xué)建模思想的滲透才是根深的、牢固的和可持續(xù)的。

三、在問(wèn)題解決中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模思想的形成離不開(kāi)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)的思想方法蘊(yùn)含在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考過(guò)程之中。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決就是從未知到已知事實(shí)的一步步抽象、推理，遵循數(shù)學(xué)思想指引的方向，最后形成數(shù)學(xué)模型。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)注重突出思維的形成過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用過(guò)程，提升數(shù)學(xué)建模能力。

例如，在教授著名的“將軍飲馬”問(wèn)題時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生理解并自主歸納了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題：有位將軍從牧場(chǎng)放牧歸營(yíng)，先到河邊讓馬飲水，然后回到營(yíng)地，已知營(yíng)地和牧場(chǎng)在河的同一側(cè)，怎樣走，才能使所行路線最短？

小組討論后展示思考結(jié)果：我們都知道兩點(diǎn)之間線段最短，要使所行路線最短，便要把牧場(chǎng)A、河邊、營(yíng)地B的折線行程轉(zhuǎn)化為直線行程。那么，作出牧場(chǎng)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A1（如圖1），連接A1B，與河邊相交于一點(diǎn)M，則由A到M再到B就是最短的行程。為什么這會(huì)是最短的呢？我們可以假設(shè)還有一個(gè)點(diǎn)M1，使A到M1再到B是最短的，如圖2，從圖中可知，由A到M再到B，實(shí)際是AM+MB=A1M+MB=A1B，而由A到M1再到B，其路程為AM1+M1B=A1M1+M1B。在△A1M1B中，可得A1B

圖1

圖2

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的步步探索，學(xué)生不僅系統(tǒng)理解了問(wèn)題探究的本質(zhì)，還促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維方式的自主生長(zhǎng)、數(shù)學(xué)思想方法的凝練提升和數(shù)學(xué)模型的自主建構(gòu)。學(xué)生面對(duì)各種新問(wèn)題，既能遷移、聯(lián)想熟悉的相關(guān)知識(shí)、技能、方法，來(lái)分析和解決新問(wèn)題，又能獨(dú)立自主地探尋、發(fā)現(xiàn)和選擇解決新問(wèn)題的途徑及操作依據(jù)。問(wèn)題解決后，學(xué)生再次交流思維方法的形成過(guò)程，逐步內(nèi)化為自主建構(gòu)的必要能力，形成從問(wèn)題到素養(yǎng)的知識(shí)遷移。在這一過(guò)程中，學(xué)生獲得了探索問(wèn)題的樂(lè)趣，品嘗到了成功的喜悅，增強(qiáng)了自主學(xué)習(xí)的動(dòng)力，提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。