遼寧省黑山縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)組(121400)劉大鵬 王洪峰

各種競賽中經(jīng)常出現(xiàn)周期數(shù)列,這引起了筆者的興趣,經(jīng)過認(rèn)真研究,有些收獲.現(xiàn)整理成文,供同行參考.

一、類型I數(shù)列的通項(xiàng)

我們稱形如：已知a1,a2,an+2=aan+1+ban,(a2+4b＜0)的數(shù)列為類型I數(shù)列.以下討論該型數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.

定義方程x2-ax-b=0叫做遞推公式an+2=aan+1+ban的特征方程,其根叫做特征根.

定理1若特征方程有兩個(gè)共軛虛根x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ),則

其中c1,c2是

的唯一解.[1]

證明(用第二數(shù)學(xué)歸納法)

i)當(dāng)n=1時(shí),a1=r(c1cosθ+c2sinθ),結(jié)論成立.

ii)將特征根帶入特征方程,得

所以

假設(shè)an=rn(c1cosnθ+c2sinnθ)對不超過k(1＜n≤k)的自然數(shù)成立,當(dāng)n=k+1時(shí),

綜上,結(jié)論對一切自然數(shù)n都成立.

推論1在定理1中,若r=1,k＞1,k∈N,則{an}是周期為k的數(shù)列.

推論2在推論1的條件下,{an}的相鄰k項(xiàng)的和為0.

證明證法一：結(jié)論等價(jià)于Sk=0,cosθ+cos2θ+同理sinθ+sin2θ+···+sinkθ=0.

證法二：見文[5]中引理1的證明.

二、類型II數(shù)列的通項(xiàng)

我們稱形如：已知a1,an+1=f(an),a1/=f(a1)的數(shù)列為類型II數(shù)列,其中(c/=0,ad-bc/=0).

定義方程f(x)=x的根叫做函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).

定理2當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q時(shí),{是等比數(shù)列;當(dāng)函數(shù)f(x)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)p時(shí),是等差數(shù)列.[2]

推論3在定理2中,p,q是共軛復(fù)數(shù)時(shí),記

三、考題再現(xiàn)

例1(1989年浙江高中數(shù)學(xué)競賽)數(shù)列{an},an+1=求a1001-a401的值.

所以T=12,600=12×50,所以a1001-a401=0.

例2(2005湖南高考題)已知數(shù)列{an},a1=0,求a20的值().

例3(1985年美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,S1492=1985,S1985=1492,求S2001的值.[3]

解特征根所以T=6,an+3=an+2-an+1=-an,由推論2,S1492=S6×248+4=a1+a2+a3+a4=a2+a3,S1985=S6×330+5=S5=-a6=a3=1492,a2=S1492-S1985=1985-1492=493,a1=-a4=a2-a3=493-1492=-999,S2001=S6×333+3=S3=986.

以下兩題供讀者練習(xí)：

1.(2006山西預(yù)賽試題)已知數(shù)列{an},an+2=an+1-an,a2=1,S2005=2006,求S2006的值.[4]

2.(1994年第5屆希望杯題)已知數(shù)列{an},a1=13,a2=56,an+1=an+2+an,求a1994的值.

答案1.S2006=2007;2.a1994=56.

鳴謝對張興波校長提供的幫助表示衷心的感謝!