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        無窮級(jí)數(shù)的柯西和與切薩羅和

        2019-08-15 03:40:54趙小玲上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院
        數(shù)碼世界 2019年8期
        關(guān)鍵詞:散性柯西級(jí)數(shù)

        趙小玲 上海電機(jī)學(xué)院 文理學(xué)院

        無窮級(jí)數(shù)求和問題是級(jí)數(shù)教學(xué)中的一個(gè)起點(diǎn),也是重點(diǎn)和難點(diǎn)。在《高等數(shù)學(xué)》中,首先定義了無窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散,接著才定義了收斂級(jí)數(shù)的和,這種和稱為柯西和??梢园l(fā)現(xiàn),此種定義框架下,發(fā)散級(jí)數(shù)是不能求和的。但是,當(dāng)我們改變和的定義方式時(shí),某些發(fā)散級(jí)數(shù)也能求和,且與柯西和是相容的。意大利數(shù)學(xué)家切薩羅就提出了另一種定義方式方式,讓我們可以求出某些發(fā)散的無窮級(jí)數(shù)的和。

        一、柯西和

        利用上述定義,即求部分和數(shù)列的斂散性,我們可以得到級(jí)數(shù)的斂散性,并求出收斂級(jí)數(shù)的和。

        例1:用柯西和定義討論下列級(jí)數(shù)的和。

        (2)1-1+1-1+…+(-1)n-1+…

        (3)1+2+3+4+…+n+…

        解:(1) 因?yàn)榧?jí)數(shù)的前n 項(xiàng)的部分和

        在判斷級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散時(shí),我們還特別強(qiáng)調(diào)了如下一些性質(zhì)。

        (1)收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)和構(gòu)成的新級(jí)數(shù)仍然收斂;發(fā)散級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)和構(gòu)成的新級(jí)數(shù)不一定發(fā)散;如果兩級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和的新級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散;如果兩級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和的新級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定都收斂。

        (2)在級(jí)數(shù)中增加或減少有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性;但在收斂時(shí),級(jí)數(shù)的和數(shù)不同的;

        (3)在收斂級(jí)數(shù)上任意加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)仍然收斂,且和不變;若加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散;若加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定收斂(即不能用加括號(hào)改變級(jí)數(shù)運(yùn)算順序的方法求級(jí)數(shù)的和)。 在第三個(gè)性質(zhì)中,著重強(qiáng)調(diào)了發(fā)散級(jí)數(shù)求和不能任意加括號(hào)。例如是發(fā)散的,但是在給此級(jí)數(shù)用不同的方法加括號(hào)以后有:這兩個(gè)加括號(hào)后改變運(yùn)算順序的級(jí)數(shù)均是收斂的,但收斂到不同的數(shù)值。表明用任意加括號(hào)的方法求級(jí)數(shù)的和并不科學(xué)。

        那么,對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù),有沒有一種方法可以更好地描繪級(jí)數(shù)趨近于哪一個(gè)常數(shù)呢。比如格蘭迪級(jí)數(shù),它的和一直在0 和1 之間擺動(dòng),我們直觀上認(rèn)為,它應(yīng)該趨近于二分之一比較合理。事實(shí)上,用切薩羅求和,確實(shí)可以得到這樣的結(jié)論。

        二、切薩羅和

        例如:用切薩羅和定義討論例1 中各級(jí)數(shù)的和。

        解:(1) 因?yàn)榧?jí)數(shù)的前n 項(xiàng)的部分和

        所以級(jí)數(shù)和為1??梢姡硕x方式與柯西和是相容的,即柯西和若存在,則切薩羅和也存在且與柯西和相等。

        當(dāng)然,切薩羅和也不是萬能的,對(duì)于(3)這個(gè)全體自然數(shù)相加的發(fā)散級(jí)數(shù),用切薩羅定義不能求出它的和。

        從以上例子可以看出,在研究無窮級(jí)數(shù)求和的發(fā)展過程中有著很多數(shù)學(xué)理論上的跳躍式發(fā)展。全體自然數(shù)相加的級(jí)數(shù),用切薩羅定義不能求出它的和,但是用拉馬努金和的定義方式可以得到一個(gè)令人瞠目結(jié)舌的 “和”。我們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中要特別注意數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),注意數(shù)學(xué)架構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)清晰,有理有據(jù)。在一定的公理體系下,通過嚴(yán)密的邏輯推理,可以發(fā)展出不同的數(shù)學(xué)新分支,豐富數(shù)學(xué)理論。

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