秦桂芳

(廣西壯族自治區(qū)南寧沛鴻民族中學(xué) 530031)

1 離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念

一般地，若隨機(jī)變量X的概率分布見表1：則稱x1p1+x2p2+…+xnpn為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，記為E(X)或μ．

表1

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布見表1，則隨機(jī)變量X與其均值μ的平均偏離程度，則稱為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為V(x)或σ2，那么V(x)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn，其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+p3+…+pn=1．隨機(jī)變量的方差即為總體的方差，它是一個(gè)常數(shù)，不隨抽樣樣本變化而變化，是客觀存在的常數(shù)；樣本方差則是隨機(jī)變量，它是隨著樣本不同而變化的，對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本方差則可以越接近于總體方差．

2 常用的方差

(1)若X服從兩點(diǎn)分布，那么V(X)=p(1-p).

(2)二項(xiàng)分布：若X～B(n,p),那么V(X)=np(1-p).

3 典例分析

3.1 關(guān)于離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

例1已知隨機(jī)變量X的概率分布見表2所示.

表2

求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．

小結(jié)解決這類問題應(yīng)該充分利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)進(jìn)行思考：一是Pi≥0，i=1，2，…，n；二是同時(shí)具有p1+p2+…+pn=1．

3.2 關(guān)于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

例2有40名學(xué)生參加培訓(xùn)次數(shù)列見表3.

表3

(1)從這40人中任意選3人，此3名中至少有2名學(xué)生培訓(xùn)次數(shù)恰相等的概率；

(2)從這40人中任選2名同學(xué)，用X表示這2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．

(2)由題意知道X的可能值為0，1，2，則

那么隨機(jī)變量X的分布列見表4.

表4

小結(jié)首先列出隨機(jī)變量所有取值及每一值概率；其次列出隨機(jī)變量的分布列；再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出E(X)；最后再利用方差的計(jì)算公式求出方差的值．

3.3 關(guān)于數(shù)學(xué)期望與方差的逆應(yīng)用

例3(1)隨機(jī)變量ξ的分布列見表5.

表5

解析(1)根據(jù)分布列的性質(zhì)可以知道，

則可以化簡(jiǎn)得到m+n=7.

①

②

聯(lián)立①②，得m=3，n=4或m=4，n=3.

則m,n,a的乘積為3．

小結(jié)若已知分布列的數(shù)學(xué)期望和方差，可根據(jù)此求出分布列的未知量，同時(shí)也可以解決一些實(shí)際問題，解決的方法就是先設(shè)出未知量，然后根據(jù)給出的數(shù)學(xué)期望值或方差值，列出關(guān)系式，進(jìn)行解答．

3.4 關(guān)于分布列、方差與均值的綜合題

綜合應(yīng)用題可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)和思維能力，能更多地體現(xiàn)出“多維”(知識(shí)層次、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等)的命題思路，充分體現(xiàn)背景公平，情境新穎，避開猜題壓題，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力．

例4 甲到乙地，一貨車晴天賺 230元，小雨賺163元，中雨賺90元，明天氣象無雨、小雨、中雨概率分別為0.2，0.3，0.5，求期望盈利值.

解析用X表示明天發(fā)一輛汽車的盈利，{X=230}發(fā)生的充要條件是明天天氣無雨；{X=163}發(fā)生的充要條件是明天天氣有小雨；{X=90}發(fā)生的充要條件是明天天氣有中雨.

小結(jié)關(guān)于分布列、方差與均值的綜合題需注意求離散型隨機(jī)變量X的均值與方法：一是理解X的意義，寫出X的全部可能的取值；二是求X的每個(gè)值的概率；三是寫出X的分布列，由均值的定義求E(X)和由方差的定義求V(X).

3.5 數(shù)學(xué)期望與方差在實(shí)際問題中的逆應(yīng)用

解析(1)由題意可以得知隨機(jī)變量X1的概率分布見表6.

表6

由題設(shè)知道乙工程產(chǎn)品價(jià)格下降的次數(shù)服從參數(shù)為2，p的二項(xiàng)分布，則X2的概率分布見表7.

表7

所以X2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2p2=-p2-0.1p+1.3(0

(2)由E(X1)1.18，則-0.4

又因?yàn)?

故p的取值范圍是0

小結(jié)在實(shí)際問題中，做某件事情有兩種方法，為使其中一種方法的數(shù)學(xué)期望比另一種方法的數(shù)學(xué)期望更高，這就要用到數(shù)學(xué)期望與方差的逆運(yùn)算解決．

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差知識(shí)的實(shí)質(zhì)是處理好教與學(xué)的相互關(guān)系，它反映了教學(xué)的自然規(guī)律，運(yùn)用的關(guān)鍵在于如何設(shè)置問題情境.