中圖分類(lèi)號(hào)：TH71 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.08.015

0 引言

在航空航天領(lǐng)域，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響飛行器的運(yùn)行軌跡和姿態(tài)，為飛行器的運(yùn)動(dòng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[2]提供了重要依據(jù)。因此，精確測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量方法可以分為在線(xiàn)測(cè)量3]與離線(xiàn)測(cè)量?jī)深?lèi)。航空航天制造領(lǐng)域主要使用離線(xiàn)測(cè)量法測(cè)量某一具體部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，離線(xiàn)測(cè)量方法根據(jù)測(cè)量過(guò)程中待測(cè)部件的運(yùn)動(dòng)范圍可以分為3類(lèi)：基于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的測(cè)量方法、基于小角度振動(dòng)的測(cè)量方法和基于微小尺度振動(dòng)的測(cè)量方法。這些方法通過(guò)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)速度、振動(dòng)周期或頻率響應(yīng)的測(cè)量，使用合適的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?，F(xiàn)有測(cè)量方法包括能量法[4]扭擺法[5]、復(fù)擺法[、頻率響應(yīng)法[7]。唐松8測(cè)量了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量過(guò)程的阻尼比，通過(guò)線(xiàn)性最小二乘法擬合了阻尼比和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果之間的方程，實(shí)現(xiàn)了通過(guò)阻尼比對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果的補(bǔ)償，將測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差從 2.132% 降低至 0.4% 。CHEN等將視覺(jué)識(shí)別技術(shù)引入了扭擺裝置中，視覺(jué)識(shí)別傳感器測(cè)得扭擺的振幅，通過(guò)直接采集角位移信號(hào)消除平均周期的影響，提高測(cè)量精度。盧志輝等[10-11]提出了在同時(shí)具備扭擺和直立振復(fù)擺結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置上測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，借助任意兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的差值關(guān)系或比例關(guān)系，實(shí)現(xiàn)在兩個(gè)測(cè)量位姿下獲取三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的目的，振復(fù)擺設(shè)備工裝方式簡(jiǎn)單，對(duì)被測(cè)樣件的形狀要求較小[12]，因此大尺寸的待測(cè)部件也可在該測(cè)量設(shè)備上獲取三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

空氣阻尼力矩的大小與扭擺的振動(dòng)速度互相影響，這意味著現(xiàn)有的線(xiàn)性方法無(wú)法準(zhǔn)確描述實(shí)際的扭擺運(yùn)動(dòng)。在工程上，對(duì)氣動(dòng)力的數(shù)值求解通常是基于對(duì)納維-斯托克斯（Navier-Stokes，NS）方程數(shù)值求解的收斂結(jié)果。計(jì)算流體力學(xué)（ComputationalFluidDynamics，CFD）軟件以速度場(chǎng)和壓強(qiáng)場(chǎng)為基礎(chǔ)，通過(guò)網(wǎng)格單元間的插值，求解出流場(chǎng)中每一點(diǎn)的各種物理特征。通過(guò)對(duì)慣性張量測(cè)量過(guò)程的CFD軟件仿真可以獲得測(cè)量過(guò)程中任意時(shí)刻作用在被測(cè)樣件上的氣動(dòng)力，進(jìn)而計(jì)算出空氣阻尼力矩。MENEGHINI等[3]對(duì)串聯(lián)和并排布置的兩個(gè)圓柱體之間的渦流和流動(dòng)干擾進(jìn)行了數(shù)值模擬，將數(shù)值模擬的結(jié)果與BEARMAN等[14]獲得的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，通過(guò)對(duì)雷諾數(shù)、阻力系數(shù)和斯特勞哈爾數(shù)的對(duì)比，證明了數(shù)值模擬在計(jì)算阻力和湍流特性上的可行性。

本文以扭擺法為基礎(chǔ)建立了包含空氣阻尼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量模型。分析了阻尼力矩對(duì)扭擺運(yùn)動(dòng)的影響，建立了基于氣動(dòng)力仿真結(jié)果的補(bǔ)償方法，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了測(cè)量模型和補(bǔ)償方法的有效性。

1扭擺法動(dòng)力學(xué)建模

1.1扭擺法的傳統(tǒng)無(wú)阻尼線(xiàn)性模型

本文的測(cè)試系統(tǒng)用于測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不隨時(shí)間變化的被測(cè)樣件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖1顯示了扭擺法的測(cè)量原理和測(cè)量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量過(guò)程中，被測(cè)樣件通過(guò)測(cè)量工裝與轉(zhuǎn)接工裝固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)由激勵(lì)裝置驅(qū)動(dòng)。

圖1扭擺法測(cè)量裝置示意圖

激勵(lì)裝置固定在設(shè)備安裝臺(tái)面上，由撥動(dòng)電動(dòng)機(jī)、撥片和撥齒組成，其安裝方法如圖2所示。激勵(lì)裝置開(kāi)啟后，撥片和撥齒的相互作用為扭擺運(yùn)動(dòng)提供了初始激勵(lì)，撥片在轉(zhuǎn)過(guò)一定角度后與撥齒分離，轉(zhuǎn)臺(tái)在扭桿恢復(fù)力矩的作用下做圓周扭擺運(yùn)動(dòng)。

圖2激勵(lì)裝置示意圖

Fig.2Schematicdiagramofexcitationdevice

在進(jìn)行測(cè)量前，可以通過(guò)調(diào)節(jié)撥片的長(zhǎng)度來(lái)改變分離角度，進(jìn)而改變初始激勵(lì)，本文中的初始激勵(lì)設(shè)定為 5^° 。

系統(tǒng)圓周扭擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中， J 為被測(cè)樣件對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； J₀ 為轉(zhuǎn)臺(tái)（附加測(cè)量工裝與轉(zhuǎn)接工裝）對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； θ 為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度； K 為轉(zhuǎn)軸剛度理論值。

由式（1）求得

式中， T 為轉(zhuǎn)臺(tái)及被測(cè)樣件的振動(dòng)周期。

進(jìn)而推導(dǎo)出

轉(zhuǎn)軸剛度可采用標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)定法15進(jìn)行測(cè)量，為避免因直接計(jì)算扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)引起的誤差的傳遞，在真實(shí)的測(cè)量工作中，通過(guò)測(cè)量被測(cè)樣件的振動(dòng)周期與標(biāo)準(zhǔn)件的振動(dòng)周期對(duì)比即可求出被測(cè)樣件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在測(cè)量過(guò)程中有3組測(cè)量狀態(tài)，即測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)與標(biāo)準(zhǔn)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)與被測(cè)樣件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)于3組測(cè)量狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期，有

式中， J₁ 為標(biāo)準(zhǔn)件對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 為轉(zhuǎn)臺(tái)（附加測(cè)量工裝與轉(zhuǎn)接工裝）的振動(dòng)周期； T₁ 為轉(zhuǎn)臺(tái)及標(biāo)準(zhǔn)件的振動(dòng)周期； k 為轉(zhuǎn)軸剛度的實(shí)際值，k=K/（4π²）

聯(lián)立求解式（4）可得被測(cè)樣件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

1.2 扭擺法的有阻尼模型

傳統(tǒng)的線(xiàn)性測(cè)量模型假設(shè)扭擺運(yùn)動(dòng)是恒定的，即其周期和振幅基本不變。當(dāng)被測(cè)樣件為質(zhì)量較大且對(duì)空氣阻力敏感的大尺寸異形體時(shí)，這一假設(shè)便難以成立，需要考慮外力對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的干擾。

在描述有阻尼的扭擺法測(cè)量模型時(shí)，可使用拉格朗日方程，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表示為

式中， E 為系統(tǒng)的動(dòng)能； U 為系統(tǒng)的勢(shì)能； Q 為廣義外力矩，在激勵(lì)釋放后僅包括軸承阻尼與空氣阻尼。

系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為

可認(rèn)為系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度是線(xiàn)性，則系統(tǒng)的恢復(fù)力矩可表示為

M=Kθ

系統(tǒng)的勢(shì)能可寫(xiě)為

外力矩可以表示為軸承阻尼力矩和空氣阻尼力矩的和，軸承阻尼可表述為黏性阻尼，此時(shí)式（6可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中， C_be 為軸承引起的阻尼； M_damping（t） 為隨時(shí)間變化的非定?？諝庾枘崃?。

空氣阻尼力矩主要由空氣的阻力貢獻(xiàn)，當(dāng)機(jī)翼在低密度流體中振動(dòng)時(shí)，因流體產(chǎn)生的外力主要與位移和速度相關(guān)[17]。因加速度產(chǎn)生的附加質(zhì)量效應(yīng)可以被忽略，但流場(chǎng)仍處于非定常狀態(tài)。

為計(jì)算這一非定常氣動(dòng)力，引入準(zhǔn)定常假設(shè)，假定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任意瞬間該機(jī)翼的氣動(dòng)特性都與同一機(jī)翼以等速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)的氣動(dòng)特性一致，而這些速度應(yīng)等于該運(yùn)動(dòng)機(jī)翼在此刻的瞬時(shí)值。

假定待測(cè)異形體物體的翼面的阻力特性服從準(zhǔn)定常假設(shè)。在應(yīng)用準(zhǔn)定常假設(shè)前要判斷流場(chǎng)的非定常性，其通常使用縮減頻率 k_rf 表征，縮減頻率的定義為

式中， ω 為運(yùn)動(dòng)角頻率， ω=2πf;L 為特征長(zhǎng)度； v 為特征速度。

對(duì)于扭擺系統(tǒng)，流體的運(yùn)動(dòng)因被測(cè)樣件的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)的特征速度為被測(cè)樣件的運(yùn)動(dòng)速度，推導(dǎo)扭擺法測(cè)量被測(cè)樣件過(guò)程中作用于翼面上的流場(chǎng)的縮減頻率。翼面上任意一點(diǎn)的速度沿展長(zhǎng)線(xiàn)性變化，在工程上可使用展向平均速度作為特征速度，展向平均速度定義為

式中， r 為翼面上任一點(diǎn)距離扭擺中心的距離。

本文的研究目的是研究氣動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量精度的影響，氣動(dòng)力的大小與速度成正比，因此以運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大速度時(shí)的狀態(tài)進(jìn)行表征?；谠囼?yàn)數(shù)據(jù)和無(wú)阻尼測(cè)量模型即可估算出扭擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度，進(jìn)而計(jì)算出此時(shí)的縮減頻率。

在滿(mǎn)足準(zhǔn)定常假設(shè)后，可認(rèn)為任何瞬間該機(jī)翼的氣動(dòng)特性都與同一機(jī)翼以等速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)所顯現(xiàn)的氣動(dòng)特性一致，系統(tǒng)的阻力為

式中， C_d 為阻力系數(shù)； ρ 為流體密度； V_∞ 為無(wú)窮遠(yuǎn)處速度；A為翼面的面積。

由此可將研究的重點(diǎn)從對(duì)阻力的求解轉(zhuǎn)變到對(duì)阻力系數(shù)的求解。令 R 為回轉(zhuǎn)半徑，則測(cè)量模型式（10）可以表述為

阻力的具體數(shù)據(jù)將以仿真結(jié)果作為輸入，為便于后續(xù)推導(dǎo)，本文中測(cè)量的阻尼板的特征尺寸為平板的迎風(fēng)面積 A_pA 。測(cè)量過(guò)程中準(zhǔn)定常阻尼力矩 M_damping 可以寫(xiě)為

式中， 為平均阻力系數(shù)。

構(gòu)建非線(xiàn)性阻尼力矩系數(shù) ，此時(shí) 式（10）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式（16）為非線(xiàn)性方程，其無(wú)法通過(guò)線(xiàn)性方法解析求解，一種簡(jiǎn)單的求解方法是對(duì)非線(xiàn)性阻尼項(xiàng) 進(jìn)行等效線(xiàn)性化。

本文中扭擺的振幅為 5^° ，在工程上仍處于小角度振動(dòng)范疇，假定存在等效線(xiàn)性阻尼系數(shù) C_eq ，令 C_eq≈ ，式（16）可轉(zhuǎn)化為

式中， ζ_be 為軸承引起的阻尼比； ζ_eq 為等效阻尼比； ω_n 為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自振頻率。根據(jù)最小均方誤差原理， C_eq 應(yīng)滿(mǎn)足

式中， .E（?） 表示數(shù)學(xué)期望。式（18）等價(jià)于

通過(guò)對(duì)式（19）展開(kāi)求導(dǎo)后得

為便于推導(dǎo)，該系統(tǒng)的角位移函數(shù)可近似寫(xiě)為 θ（t）=Acos（ωt+?） ，求解式（20）可得

此時(shí)的阻尼比可表示為

對(duì)于阻尼比較小的系統(tǒng)，振動(dòng)角頻率依舊可以近似地表示為 2π/T 。以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算值代替轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的真實(shí)值，此時(shí)式（22）可近似為

式中， J_mea 為實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。使用這一結(jié)果可以對(duì)測(cè)量結(jié)果的周期進(jìn)行修正，修正計(jì)算式為

2 阻力系數(shù)的求解

特定被測(cè)樣件的阻力系數(shù)可借助CFD軟件仿真方法獲得。為驗(yàn)證準(zhǔn)定常假設(shè)的有效性，要進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算出驗(yàn)證試驗(yàn)中的真實(shí)空氣阻尼比和等效阻尼比并進(jìn)行比較。

阻力系數(shù)與攻角和雷諾數(shù)相關(guān)[18]，在扭擺過(guò)程中，平板形被測(cè)樣件的攻角恒定為 90^° ，在攻角確定的情況下，理論上可以仿真求解被測(cè)樣件扭擺運(yùn)動(dòng)在不同雷諾數(shù)下的阻力系數(shù)。

對(duì)于以圓柱繞流為代表的鈍體繞流問(wèn)題，其尾流渦街會(huì)直接影響阻力系數(shù)[19]，但相較于分離點(diǎn)可變的圓柱繞流，垂直平板的繞流分離點(diǎn)固定于平板邊緣，因此湍流狀態(tài)下，垂直平板擾流的阻力由壓差阻力主導(dǎo)，與雷諾數(shù)弱相關(guān)。TIAN等[20]研究了高雷諾數(shù)情況下平板繞流的阻力特性，對(duì)于平滑邊緣的平板，其阻力系數(shù)在雷諾數(shù) 250～10⁵ 范圍內(nèi)變化不大，振動(dòng)過(guò)程的平均阻力系數(shù)記為 。

根據(jù)仿真結(jié)果即可計(jì)算阻尼板在振動(dòng)過(guò)程中的平均阻力系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出等效阻尼比為

2.1 CFD模型建立

根據(jù)第1.2節(jié)理論分析，在OpenFoam軟件中建立平板繞流仿真算例。研究中采用的湍流模型為 k-ε 模型，對(duì)于計(jì)算域尺寸的設(shè)定，流體入口位置的選擇會(huì)直接影響來(lái)流能否充分發(fā)展，流體出口位置則影響對(duì)尾跡區(qū)渦脫落特性的捕捉。橫向和垂直方向則需要設(shè)置足夠的空間以避免壁面對(duì)流場(chǎng)的影響，設(shè)置如圖3所示的計(jì)算域。計(jì)算域尺寸如表1所示，邊界條件如表2所示。

圖3阻尼板繞流模型計(jì)算域 Fig.3Computational domain of the flow around the damping plate model

當(dāng)阻尼板平行于入口時(shí)，計(jì)算域具備對(duì)稱(chēng)性，在前面和后面邊界中心設(shè)置對(duì)稱(chēng)面，構(gòu)建新的計(jì)算域，以節(jié)省資源。在阻尼板上應(yīng)用了壁面函數(shù)，因此網(wǎng)格的y+值設(shè)定為30，使用snappyHexMesh軟件劃分六面體非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖4所示。

2.2 阻力系數(shù)計(jì)算

繞流輸出的阻力系統(tǒng)將用于對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果的修正。為提前驗(yàn)證計(jì)算模型的有效性，在人口設(shè)置速度為 5m/s 的氣流流人，對(duì)于鈍體繞流入口湍流強(qiáng)度設(shè)定為0.1，依次計(jì)算入口的湍流動(dòng)能k和湍流耗散率 ε 并輸入到邊界條件中，此時(shí)對(duì)稱(chēng)面上的速度云圖如圖5所示。

表1繞流問(wèn)題計(jì)算域尺寸Tab.1 Dimensionsof thecomputational domain forflow arount

表2繞流問(wèn)題計(jì)算域邊界條件Tab.2 Boundarycondition of thecomputational domain of flov

圖4繞流問(wèn)題網(wǎng)格劃分圖

Fig.4Flowaroundanobstacleproblemmeshdivisiondiagram

圖5對(duì)稱(chēng)面速度云圖Fig.5Velocitynephogramof symmetryplane

平板表面的氣動(dòng)力基于壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)計(jì)算，典型的氣動(dòng)力計(jì)算式[21]為

式中，S為積分邊界面； U 為流體速度張量； p 為計(jì)算點(diǎn)處的氣體壓力； p_∞ 為無(wú)窮遠(yuǎn)處的氣體壓力； τ 為黏性力張量； n 為控制體單位外法線(xiàn)矢量。

阻力為氣動(dòng)力垂直于流動(dòng)方向的分量，通過(guò)在controlDict中定義forceCoffient函數(shù)，即可讀取出平板表面的阻力系數(shù)為

式中， n_y 為阻力方向單位外法線(xiàn)矢量。

3 驗(yàn)證試驗(yàn)

試驗(yàn)中，轉(zhuǎn)接工裝包括一個(gè)框架載物臺(tái)與夾持件，連接在測(cè)量工裝上。轉(zhuǎn)接工裝和坐標(biāo)系之間的關(guān)系是已知的，通過(guò)將夾持件鎖定在框架上的不同位置，驗(yàn)證阻力特性仿真的準(zhǔn)確性與測(cè)量模型的有效性。

3.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量試驗(yàn)

首先，在僅裝載框架載物臺(tái)的情況下測(cè)量扭擺運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)周期，將此周期作為空載周期 ；然后，將圓柱形轉(zhuǎn)動(dòng)慣量標(biāo)準(zhǔn)砝碼放置在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，將此周期作為標(biāo)準(zhǔn)件周期 T₁ 。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)定過(guò)程測(cè)量系統(tǒng)的狀態(tài)如圖6所示。

圖6轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定

Fig.6Calibrationofthemomentof inertiameasurementsystem

圖7 400mm 回轉(zhuǎn)半徑夾角為 90^° 狀態(tài)下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量 Fig.7Moment of inertiatesting in 90^° orientationwith 400mm gyrationradius

驗(yàn)證試驗(yàn)中，被測(cè)樣件的布置如圖7所示，在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量系統(tǒng)上安裝了兩個(gè)板狀被測(cè)樣件，此類(lèi)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力較大。利用SolidWorks軟件的質(zhì)量評(píng)估功能，精確計(jì)算了被測(cè)樣件相對(duì)于自身中心線(xiàn)的三軸理論轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

被測(cè)樣件是密度均勻的矩形板。夾持件用于防止阻尼板在扭擺過(guò)程中晃動(dòng)，通過(guò)螺栓連接到夾持件底座上，由單邊螺母鎖緊。底座通過(guò)螺栓連接到框架載物臺(tái)上，表面畫(huà)有角度參考線(xiàn)。

a 為被測(cè)樣件與載物臺(tái)的夾角，當(dāng)被測(cè)樣件平行于載物臺(tái)時(shí)，角度 a 為 0^° ，通過(guò)調(diào)整夾持件與夾持件底座之間的位置關(guān)系，將被測(cè)樣件對(duì)準(zhǔn)角度參考線(xiàn)并鎖緊定位螺母，即可實(shí)現(xiàn)特定角度下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量。

測(cè)量試驗(yàn)測(cè)量了回轉(zhuǎn)半徑為 400，800，1200mm 情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J_x 數(shù)據(jù)，記錄夾角 a 為 0^°，45^°，90^° 共9個(gè)狀態(tài)下的測(cè)量數(shù)據(jù)。具體試驗(yàn)結(jié)果如表3所示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量試驗(yàn)的周期按照式（4）進(jìn)行處理，計(jì)算出阻尼板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，具體結(jié)果如表4所示。

表3阻尼板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量周期

Tab.3Measurement period of the moment of inertia of the damping

為消除因加工過(guò)程產(chǎn)生的誤差，分析阻尼板在各測(cè)量角度之間的誤差，研究阻尼板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量過(guò)程中空氣阻尼的作用。計(jì)算 0^°，45^° 時(shí)的實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與 90^° 時(shí)的實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的誤差，并將結(jié)果填人表5。

表4阻尼板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析Tab.4Testdataanalysisof themomentof inertia measurementof thedampingplate

表5阻尼板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正

表5中可見(jiàn)迎風(fēng)角度對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量值的影響，0^° 時(shí)阻尼板垂直于來(lái)流方向，此時(shí)產(chǎn)生的測(cè)量誤差大于 45^° 時(shí)的測(cè)量誤差， 0^° 時(shí)風(fēng)阻產(chǎn)生的效應(yīng)大于 45^° 時(shí)的效應(yīng)。

3.2 等效阻尼比驗(yàn)證

在現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，可借助同一組阻尼板在不同試驗(yàn)條件下總阻尼的變化間接計(jì)算氣動(dòng)阻尼的變化。首先求解系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度，通過(guò)式（4）可得

計(jì)算系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度并填寫(xiě)在表6中，計(jì)算出系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的平均值 ，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。測(cè)量系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度 。

計(jì)算3種回轉(zhuǎn)半徑下 0^° 狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí)的縮減頻率，分別為 0. 029?0. 014?0. 009 5 。根據(jù)文獻(xiàn)[22]，在對(duì)非定常氣動(dòng)力的升力分量進(jìn)行準(zhǔn)定常近似時(shí)，縮減頻率的閾值在0～1，當(dāng)縮減頻率小于0.01時(shí)，流動(dòng)可以認(rèn)為處于準(zhǔn)穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)縮減頻率處于 0.001～0.1 時(shí)，流動(dòng)可認(rèn)為處于弱非定常狀態(tài)，此時(shí)可以通過(guò)動(dòng)態(tài)系數(shù)進(jìn)行修正；當(dāng)縮減頻率大于0.1時(shí)，流動(dòng)的非定常特性不可被忽略。

表6系統(tǒng)剛度計(jì)算

以此準(zhǔn)則作為參考，取縮減頻率接近0.01時(shí)的狀態(tài)進(jìn)行近似處理。即選擇 800，1200mm 回轉(zhuǎn)半徑下的實(shí)測(cè)空氣阻尼 ，如表7所示。

表7近似定常狀態(tài)空氣阻尼

Tab.7Airdampingof theapproximate steady-state

根據(jù)仿真結(jié)果計(jì)算阻尼板在振動(dòng)過(guò)程中的平均阻力系數(shù)，計(jì)算出等效阻尼比。

以阻尼板替換第1類(lèi)計(jì)算模型中的平板，同時(shí)等效替換彈簧剛度，計(jì)算出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大雷諾數(shù)為16000。進(jìn)而對(duì)阻尼板進(jìn)行繞流仿真，取雷諾數(shù) 200～ 16000 內(nèi)5個(gè)工況的雷諾數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)工況的阻力系數(shù)，其結(jié)果如表8所示。

表8不同雷諾數(shù)下的阻力系數(shù)

Tab.8DragcoefficientatdifferentReynoldsnumbers

計(jì)算出平均阻力系數(shù) ，代人式（25）得到該計(jì)算模型的等效阻尼系數(shù)為 ζ_eq=0.017 和 ζ_eq= 0.044，ζ_eq 與 間的誤差分別為0.014與 0.003 。

縮減頻率大于0.01時(shí)使用準(zhǔn)定常假設(shè)存在較大誤差，二者之間的誤差可歸因?yàn)閷⒎嵌ǔ鈩?dòng)力近似為準(zhǔn)定常氣動(dòng)力導(dǎo)致了非定常損耗，這一規(guī)律與縮減頻率表征非定常性的規(guī)律一致。

使用計(jì)算出的等效空氣阻尼比和分離出的軸承阻尼比對(duì)回轉(zhuǎn)半徑為 1200mm 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。以 90^° 狀態(tài)為只有軸承阻尼的狀態(tài)，計(jì)算出軸承阻尼比為 ζ_be=0.143 ，在式（24）中代人 ζ_be= 0. 143?ζ_eq=0.044 ，得到補(bǔ)償后的周期為2.005s，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對(duì)誤差為 0.2% 。證明了在縮減頻率較小時(shí)使用氣動(dòng)力仿真結(jié)果進(jìn)行等效補(bǔ)償?shù)姆椒苡行У靥岣咿D(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量精度。

4結(jié)論

建立了基于準(zhǔn)定常氣動(dòng)力的空氣阻尼補(bǔ)償模型，研究了平板型被測(cè)樣件的阻力特征，設(shè)計(jì)了驗(yàn)證試驗(yàn)，證明了分析結(jié)果的有效性。得出以下結(jié)論：

1）使用氣動(dòng)力仿真對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，該修正模型補(bǔ)償了空氣阻尼對(duì)扭擺法測(cè)量結(jié)果的影響，補(bǔ)償后的周期更接近理論振動(dòng)周期，誤差約為0.1% 。

2）使用準(zhǔn)定常近似的方法簡(jiǎn)化了修正模型，這一方法只能應(yīng)用于準(zhǔn)定常狀態(tài)。準(zhǔn)定常性可由縮減頻率判斷，在縮減頻率小于0.01時(shí)，使用等效線(xiàn)性化的方法近似計(jì)算空氣阻力的阻尼效應(yīng)可達(dá)到較好的結(jié)果，其與從測(cè)量結(jié)果中分離出的空氣阻尼比間的誤差約為 7% 。

3）非定常性較強(qiáng)的氣動(dòng)阻力的準(zhǔn)定常化會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的空氣阻力小于真實(shí)阻力，這一誤差還需要進(jìn)一步分析。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] WANGYH，HANW，NIUWD，et al.Dynamic modeling，motion analysisand fault diagnosis ofunderwater gliderswith the lossof onewing[J].AppliedMathematicalModelling，2023，123：546-565.

[2] SABATINI M，GASBARRIP，PALMERINIGB. Design，realizationandcharacterizationofa free-floatingplatformfor flexible satellitecontrol experiments[J].ActaAstronautica，2023，210：576-588.

[3] FIELDL，BOURABAHD，BOTTAE M.Online controland momentofinertiaestimationoftethereddebris[C]//Proceedingof theAIAASCITECH2024Forum.Florida：AmericanInstituteof AeronauticsandAstronautics，2024：1286.

[4] MELNIKOVVG.A new method for inertia tensor and center of gravityidentification[J].NonlinearAnalysis：Theory，Methodsamp; Applications，2005，63（5/6/7）：e1377-e1382.

[5] 穆繼亮.基于阻尼分析的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量研究[J].中國(guó)儀器儀表， 2009（5）：69-71. MU Jiliang.Measurement of rotational inertia based on damping 129 analysis[J].China Instrumentation，2009（5）：69-71.（In Chinese）

[6]戚作濤.復(fù)擺的非線(xiàn)性振動(dòng)[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué) 版），2000，18（增刊2）：46-48. QI Zuotao.Nonlinear vibration of complex pendulum[J]. Journal of Guangxi Normal University（Natural Science Edition），2000，18 （Suppl.2）：46-48.（In Chinese）

[7]BUTSUEN T，OOKUMA M，NAGAMATSU A. Application of direct system identification method for engine rigid body mount system [C]//SAE Transactions.New York：SAE International， 1986，95：525-533.

[8]唐松.大尺寸復(fù)雜形狀物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量技術(shù)研究[D].哈爾 濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011：1-55. TANG Song.Research on measurement technology of rotational inertia of large-scale complex objects[D].Harbin： Harbin Institute of Technology，2011：1-55.（In Chinese）

[9]CHEN Y Q，ZENG Y，LI H R，et al. Research on the measurement technology of rotationalinertiaofrigidbodybased on the principles of monocular vision and torsion pendulum[J]. Sensors， 2023，23（10）：4787.

[10］盧志輝，孫浩智，王和，等.三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的直立振復(fù)擺與圓周扭 擺協(xié)同測(cè)量方法[J].兵工學(xué)報(bào)，2022，43（7）：1628-1635. LU Zhihui，SUN Haozhi， WANG He，et al. Acollaborative method for measuring the triaxial moment of inertia using the vertical vibration compound pendulum and circular torsion pendulum[J]. Acta Armamentarii，2022，43（7）：1628-1635.（In Chinese）

[11］楊洪濤，盧志輝，孫浩智，等.三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的振復(fù)擺與扭擺法協(xié) 同測(cè)量比例法[J].兵工學(xué)報(bào)，2023，44（5）：1513-1520. YANG Hongtao，LU Zhihui，SUN Haozhi，etal.Collaborative proportional method for measuring triaxial moment of inertia based on vibration compound pendulum and torsion pendulum[J]. Acta Armamentarii，2023，44（5）：1513-1520.（In Chinese）

[12]徐向輝，陳平，唐一科，等.彈箭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的振復(fù)擺法測(cè)量及誤差 分析[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2016，36（1）：149-153. XU Xianghui，CHEN Ping，TANG Yike，etal.The inertia moment ofprojectile measured by vibration pendulum method and error analysis[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missilesand Guidance，2016，36（1）：149-153.（In Chinese）

[13]MENEGHINI JR，SALTARA F，SIQUEIRA C L R，et al. Numerical simulation of flow interference between two circular cylinders in tandem and side-by-side arrangements[J]. Journal of Fluids and Structures，2001，15（2）：327-350.

[14]BEARMAN PW，WADCOCK AJ. The interaction between a pair of circular cylinders normal to a stream[J]. Journal of Fluid Mechanics，1973，61：499-511.

[15］宋斌，莫德強(qiáng)，劉永付，等．小質(zhì)量彈丸極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試設(shè)備設(shè)計(jì) 及其標(biāo)定方法[J].長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，44 （6）：90-95. SONG Bin，MO Deqiang，LIU Yongfu，et al. Design of measuring equipment for small mass projectile pole moment of inertia and analysisof calibrationmethod[J].Journal of Changchun University of Science and Technology（Natural ScienceEdition）， 2021，44（6）：90-95.（In Chinese）

[16]朱安源，方聰聰，周偉，等.熱彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下線(xiàn)接觸摩擦副動(dòng)力 學(xué)特性研究[J].機(jī)械強(qiáng)度，2023，45（6）：1409-1418. ZHUAnyuan，F(xiàn)ANGCongcong，ZHOUWei，etal. Research on dynamiccharactersiticsoflinecontactfriction pairsunderthermal ehl state[J]. JournalofMechanical Strength，2023，45（6）：1409- 1418.（In Chinese）

[17]吳志剛，萬(wàn)志強(qiáng)，陳桂彬．飛行器氣動(dòng)彈性原理[M].北京：北京 航空航天大學(xué)出版社，2011：59-61. WUZhigang，WAN Zhiqiang，CHENGuibin.Principlesofaeroelasticity inaircraft[M].Beijing：Beijing University ofAeronautics amp;AstronauticsPress，2011：59-61.（InChinese）

[18］朱海波，繆維跑，王海生，等.基于仿生學(xué)的風(fēng)力機(jī)葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 及性能分析[J].機(jī)械強(qiáng)度，2025，47（4）：112-121. ZHUHaibo，MIAO Weipao，WANGHaisheng，et al.Structural design andperformanceanalysisofwindturbine blade basedon bionics[J].JournalofMechanicalStrength，2025，47（4）：112-121. （In Chinese）

[19]蔚杰，武建軍.剛性薄平板繞流特性的數(shù)值模擬[J].哈爾濱工程 大學(xué)學(xué)報(bào)，2024，45（4）：699-708. WEIJie，WU Jianjun.Numerical analysis offlow characteristics arounda rigid thin plate[J].Journal of Harbin Engineering University，2024，45（4）：699-708.（InChinese）

[20]TIANX，ONG MC，YANGJ，etal.Large-eddy simulationof the flownormal to a flat plate including corner effects at a high Reynoldsnumber[J].Journal ofFluidsand Structures，2o14，49： 149-169.

[21]AGHAEI-JOUYBARI M，SEOJH，YUANJ，etal.Contributions to pressure drag in rough-wall turbulent flows：Insights from force partitioning[J].PhysicalReviewFluids，2022，7（8）：084602.

[22]劉永平，張朋，曾開(kāi)春，等．基于Theodorsen理論的跨聲速顫振非 定常氣動(dòng)力建模[J].航空學(xué)報(bào)，2025，46（12）：212-230. LIUYongping，ZHANG Peng，ZENGKaichun，etal.Unsteady aerodynamicmodelingfor transonic flutterbased on Theodorsen’s theory[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2025，46（12）： 212-230.（In Chinese）

Abstract：To address the isue of accuracy degradation caused by aerodynamic damping when measuring the moment of inertia of irregularspecimens with large airfoilsurfaces usingthe torsionalpndulum method，acompensationapproachbased ondragsimulationresults wasproposed.Initialy，themechanismof aerodynamicdampingintorsional oscilltions was analyzed，andameasurement modelincoporating compensation throughcalculationofaerodynamicdamping torque was established.Subsequently，thereducedfrequencyparameterwas introduced tocharacterizetheunsteadyaerodynamicnatureof the aerodynamic damping torque.By employing aquasi-steady assumption combined with equivalent linearization techniques， theunsteadytime-varying aerodynamic damping torque Was equivalently represented as viscous damping.Furthermore， computational fluid dynamics （CFD）simulations were conducted toobtain drag coefcients during specimen motion，from whichacompensation formulabasedondragcoeficients was derived.Finallvalidationtest weredesignedandperformedto verifythe proposedmethod.The findings indicatethatunderlowreduced frequencyconditions （reduced frequencylessthan 0.01），therelativeeror betweentheequivalentaerodynamicdampingratiocalculatedviaquasi-steadyasumptionandtest separationvaluesisapproximately 7% .Aftercompensating using the proposed equivalent aerodynamic damping ratio，the error between measured and theoretical moments of inertia is approximately 0.2% ，demonstrating that the proposed method effectively enhancesmeasurementaccuracy formoments ofinertiaof iregularspecimens withlarge airfoil surfaces.

Keywords： Moment of inertia measruement; Aerodynamic damping; Irregular specimen; Unsteady aerodynamic force; Drag coefficient

Correspondingauthor：MAWeiping，E-mail： jxsmwp@163.com Received：2025-05-06