相較于“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”領(lǐng)域，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的知識體系成熟較晚。隨著信息時代的新發(fā)展、新要求，它也引起了數(shù)學(xué)教育研究者的廣泛關(guān)注。2024年7月，第15屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-15）在澳大利亞悉尼召開，“統(tǒng)計的教與學(xué)”作為其中一個專題，為國際數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究者交流統(tǒng)計教學(xué)研究的最新成果提供了討論平臺。

“統(tǒng)計的教與學(xué)”專題中涉及統(tǒng)計素養(yǎng)（Sta-tisticalLiteracy）、統(tǒng)計思維（StatisticalThinking）和統(tǒng)計推理（StatisticalReasoning）三個核心概念（圖1），每個核心概念之間均有重疊部分，也都具有與其他兩個核心概念不一樣的內(nèi)容。其中，統(tǒng)計素養(yǎng)是基礎(chǔ)，指向理解各類情境中的統(tǒng)計信息并做出反應(yīng)的能力。AmyRenelle團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)通過學(xué)生分析和評估科學(xué)類文章中的圖形與表格來考查其掌握的統(tǒng)計素養(yǎng)；Gal等人對生活中隨機(jī)現(xiàn)象的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化的呈現(xiàn)，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生統(tǒng)計素養(yǎng)的提升。統(tǒng)計思維是核心，Lisa與Daniel指出，統(tǒng)計思維體現(xiàn)為學(xué)生在數(shù)據(jù)處理過程中呈現(xiàn)的認(rèn)知表現(xiàn)。

圖1三個核心概念的關(guān)聯(lián)圖

統(tǒng)計推理則是基于統(tǒng)計素養(yǎng)與統(tǒng)計思維的高階認(rèn)知目標(biāo)，指向?qū)y(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理、分析與推斷，是當(dāng)下信息時代背景下的基本知識與技能。Watson提出，統(tǒng)計推理屬于統(tǒng)計素養(yǎng)的較高水平，同時Wild和Pfannkuch指出，統(tǒng)計推理在統(tǒng)計思維的部分維度和發(fā)展階段中有著重要地位與作用，學(xué)生在進(jìn)行統(tǒng)計推理的過程中，不斷促進(jìn)統(tǒng)計素養(yǎng)的提升與統(tǒng)計思維的優(yōu)化。因此，本文基于ICME-15中有關(guān)“統(tǒng)計推理”主題的文獻(xiàn)，梳理會議中有關(guān)“統(tǒng)計推理教學(xué)”的研究報告，并從“統(tǒng)計推理的概念內(nèi)涵、統(tǒng)計推理的水平劃分、統(tǒng)計推理的教學(xué)實(shí)施”三個維度進(jìn)行研討交流，以期了解國際教學(xué)發(fā)展動態(tài)，為我國統(tǒng)計推理教學(xué)提供借鑒。

一、統(tǒng)計推理的概念內(nèi)涵

厘清概念內(nèi)涵是開展統(tǒng)計推理教學(xué)研究的基礎(chǔ)，是落實(shí)課堂教學(xué)的關(guān)鍵所在。梳理三場專題會議中各報告對統(tǒng)計推理內(nèi)涵的闡述，主要將其分為三類：（1）基于統(tǒng)計學(xué)概念，側(cè)重于對核心知識概念的闡述，認(rèn)為統(tǒng)計推理是對事件發(fā)生可能性的解釋以及結(jié)果的多樣化呈現(xiàn)；（2）基于過程性理念，將統(tǒng)計推理定義為進(jìn)行推斷的思維過程，并強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計推理是一種認(rèn)知過程；（3）基于結(jié)論性模式，面向?qū)嶋H情境或問題，以統(tǒng)計結(jié)論的不確定性為立足點(diǎn)，將其視為一種合情推理，需要通過歸納總結(jié)的方式得到結(jié)論。

統(tǒng)計推理的概念內(nèi)涵在表述上雖存在差異，但其本質(zhì)均強(qiáng)調(diào)學(xué)生能在實(shí)際問題的解決過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行合理推理，理解并解釋統(tǒng)計過程與結(jié)果，從而逐步發(fā)展數(shù)據(jù)描述、整理、表征、分析和解釋能力。

二、統(tǒng)計推理的水平劃分

在統(tǒng)計推理水平劃分的基礎(chǔ)上開展統(tǒng)計教學(xué)是克服統(tǒng)計教學(xué)片面化、形式化的重要舉措，但統(tǒng)計推理的水平劃分一直是困擾數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究者的一大難題，不同學(xué)者對統(tǒng)計推理水平劃分的依據(jù)各不相同，目前比較常見的水平劃分主要分為三類。

一類是基于教育教學(xué)理論的水平劃分。以Makar和Rubin的統(tǒng)計推理三維理論為例，包括概括數(shù)據(jù)之外信息，通過樣本對總體進(jìn)行推斷；將數(shù)據(jù)作為定量依據(jù)，利用數(shù)據(jù)解釋闡述結(jié)論；運(yùn)用統(tǒng)計概率語言表達(dá)，闡述推理的不確定性。也有部分研究以SOLO分類理論（前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)水平）為評價等級，開發(fā)統(tǒng)計推理能力評價量規(guī)。

一類是基于內(nèi)涵與過程的水平劃分。統(tǒng)計推理指向?qū)y(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理、分析與推斷，在概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上對統(tǒng)計推理進(jìn)行水平劃分，其中較為典型的是Mooney團(tuán)隊(duì)開發(fā)的統(tǒng)計推理的水平框架，以數(shù)據(jù)收集、整理與分析過程以及統(tǒng)計問題的解決過程為主線，描述在過程中呈現(xiàn)出的不同認(rèn)知特征與水平，其中涵蓋了數(shù)據(jù)描述、數(shù)據(jù)簡化、數(shù)據(jù)表征、數(shù)據(jù)分析與解釋四個層面，并對四個層面進(jìn)行四個水平的劃分 一不基于數(shù)據(jù)的推理；基于部分?jǐn)?shù)據(jù)的推理；基于原始數(shù)據(jù)的推理；基于整體數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)的推理。

還有一類是基于教學(xué)實(shí)踐的水平劃分。通過設(shè)計統(tǒng)計推理的測評任務(wù)，展開教學(xué)研究并采集數(shù)據(jù)，再針對數(shù)據(jù)進(jìn)行“定量 + 定性”分析，進(jìn)而確定不同的統(tǒng)計推理水平。例如，Watson團(tuán)隊(duì)從“大概念（BigIdeas）”層面切入，設(shè)計相應(yīng)的測評任務(wù)，通過測評1500名中小學(xué)生統(tǒng)計推理水平，基于參與學(xué)生的作答數(shù)據(jù)，利用Rasch分析確定了學(xué)生統(tǒng)計推理的八個水平。HongyunLi團(tuán)隊(duì)報告了其圍繞學(xué)生統(tǒng)計推理水平開展深度探究的具體過程，進(jìn)行了基于測評任務(wù)（“身高平均值”）的研究，對535名七、八、十一年級的學(xué)生進(jìn)行預(yù)測評（表1）以及對287名七、八、十、十一年級的學(xué)生進(jìn)行正式測評（表2）?；跍y評結(jié)果，HongyunLi團(tuán)隊(duì)嘗試對推理水平進(jìn)行具體劃分，將其劃分為了單一推理、復(fù)合推理、過渡推理、綜合分析、定量論證5個水平（表2）。各研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著學(xué)生年齡、學(xué)段的遞增，其統(tǒng)計推理水平會隨之呈現(xiàn)差異，這就要求教師在統(tǒng)計推理的教學(xué)設(shè)計與課堂實(shí)施過程中需要充分考慮學(xué)生的統(tǒng)計推理水平。

三、統(tǒng)計推理的教學(xué)實(shí)施

基于學(xué)生在測評任務(wù)中的具體行為表現(xiàn)，教師可有效定位學(xué)生統(tǒng)計推理的水平，進(jìn)而有針對性地設(shè)計與實(shí)施課堂教學(xué)，在教學(xué)實(shí)施過程中逐步讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計推理水平的螺旋上升。然而，各團(tuán)隊(duì)關(guān)于統(tǒng)計推理教學(xué)設(shè)計與實(shí)施的研究探索的側(cè)重點(diǎn)并不相同，主要從三個方面展開。

表1統(tǒng)計推理水平預(yù)測評試題與具體編碼

表2統(tǒng)計推理水平正式測評試題及水平劃分

（一）基于課程標(biāo)準(zhǔn)確定教學(xué)內(nèi)容

課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的重要依據(jù)，明確規(guī)定了教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容框架等，基于課程標(biāo)準(zhǔn)確定教學(xué)內(nèi)容時，需要緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)要求。報告中，Byungjoo與Kyeong-Hwa結(jié)合團(tuán)隊(duì)對統(tǒng)計推理教學(xué)的探索過程展開詳細(xì)介紹。相較于韓國2009年出版的國家課程中提出的“統(tǒng)計與概率領(lǐng)域中的基本概念和統(tǒng)計問題解決的過程，包括數(shù)據(jù)收集、整理、分析、探索性方法和非正式統(tǒng)計推理等各個方面”，2022年新修訂的韓國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中針對統(tǒng)計領(lǐng)域呈現(xiàn)了詳細(xì)的內(nèi)容框架：數(shù)據(jù)的收集、整理和解釋表達(dá)一隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性以及隨機(jī)事件的概率一利用數(shù)據(jù)解決統(tǒng)計問題。其核心思想指向了解決統(tǒng)計問題，同時提出統(tǒng)計推理的課堂教學(xué)需要促進(jìn)學(xué)生能夠深入理解統(tǒng)計相關(guān)概念的本質(zhì)，學(xué)習(xí)統(tǒng)計分析、推理、建模以及解決統(tǒng)計問題的相關(guān)步驟，進(jìn)而能掌握解決統(tǒng)計問題的方法，凸顯了統(tǒng)計推理的重要性與必要性。同時，新修訂的韓國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)化了“應(yīng)用統(tǒng)計推理、建模方式解決實(shí)際問題”的重要性，指出在統(tǒng)計教學(xué)中要以解決統(tǒng)計問題為中心，強(qiáng)調(diào)以過程為導(dǎo)向的評估。

（二）基于問題情境設(shè)計教學(xué)活動

問題情境的創(chuàng)設(shè)在教學(xué)過程中具有極其重要的作用，能激發(fā)學(xué)生興趣、促進(jìn)知識理解等。如何創(chuàng)設(shè)合適的情境則是開展統(tǒng)計推理教學(xué)的首要步驟，問題情境的選擇大多是有趣的學(xué)科問題，但也可以是生活中的實(shí)際問題，還可以是項(xiàng)目式問題。

Maritza團(tuán)隊(duì)以一所公立學(xué)校幼兒園中的15名5～6歲兒童和一年級中的14名6～7歲兒童為參與者，創(chuàng)設(shè)“選瓶子”這一數(shù)學(xué)學(xué)科問題情境一共有三個瓶子，每個瓶子裝有共計100顆金色和紫色的珍珠（瓶子1-B1裝有25顆金色和75顆紫色的珍珠，瓶子2-B2裝有15顆金色和85顆紫色的珍珠，瓶子3-B3裝有35顆金色和65顆紫色的珍珠），學(xué)生需要在不知道具體數(shù)量的情況下利用不同的策略與方法選中有最多金色珍珠的瓶子。如此，學(xué)生經(jīng)歷“猜測一基于數(shù)據(jù)論證一關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)與結(jié)論并進(jìn)行正確闡述”的過程，并利用推理語言對分析結(jié)果進(jìn)行正確的表達(dá)。

HajimeSato團(tuán)隊(duì)以“全球變暖的背后”為現(xiàn)實(shí)情境，借助數(shù)學(xué)軟件可視化地呈現(xiàn)近幾年全球平均氣溫的變化趨勢，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察圖表、分析數(shù)據(jù)等過程，對全球變暖的趨勢進(jìn)行原因剖析與預(yù)測。該團(tuán)隊(duì)強(qiáng)調(diào)，基于現(xiàn)實(shí)情境提出真實(shí)問題，是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題能力的關(guān)鍵所在。

Walsh指出設(shè)定“調(diào)查工具包”的重要性。調(diào)查前期，學(xué)生可以根據(jù)一個感興趣的主題選擇一個研究問題開展實(shí)地調(diào)查與問卷收集，在此過程中，“調(diào)查工具包”能有效指導(dǎo)學(xué)生選擇研究問題，分析調(diào)查數(shù)據(jù)，撰寫研究報告，并分享調(diào)查結(jié)果?！罢{(diào)查工具包”類似于項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，能有效幫助學(xué)生提升學(xué)習(xí)主動性。學(xué)生通過探究活動等方式解決挑戰(zhàn)性問題，并在項(xiàng)目化課程實(shí)施后期階段將其以成果展示的形式進(jìn)行呈現(xiàn)與總結(jié)。如何將統(tǒng)計推理教學(xué)與項(xiàng)目化學(xué)習(xí)有效融合是關(guān)鍵問題，也是相關(guān)研究的未來指向。

（三）基于數(shù)據(jù)分析確定教學(xué)流程

數(shù)據(jù)分析是開展統(tǒng)計推理教學(xué)的支撐點(diǎn)，是將理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題的重要方法與途徑。通過數(shù)據(jù)分析，學(xué)生可以將抽象的統(tǒng)計概念轉(zhuǎn)化為具體的操作流程，從而加深對統(tǒng)計推理的本質(zhì)理解。Malia與Maxine提出了基于數(shù)據(jù)分析的教學(xué)流程（圖2）。

圖2統(tǒng)計推理的教學(xué)實(shí)施流程

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，統(tǒng)計推理的教學(xué)實(shí)施流程從提出統(tǒng)計問題開始，學(xué)生基于好奇心，圍繞真實(shí)情境，設(shè)計問卷試題，采集真實(shí)的原始數(shù)據(jù)，基于原始數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，建立數(shù)據(jù)集，最后利用圖表等多樣化的載體進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。也就是說，需要讓學(xué)生經(jīng)歷“提出統(tǒng)計問題一采集真實(shí)數(shù)據(jù)一分類整理數(shù)據(jù)一解釋分析數(shù)據(jù)”的過程，同時需要凸顯數(shù)據(jù)集構(gòu)建的重要性，這對統(tǒng)計推理教學(xué)效果起決定性作用。

Malia在報告最后提出，統(tǒng)計推理教學(xué)并不能將學(xué)生的思維禁錮在課堂中，而是要在真實(shí)情境的推進(jìn)下，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，同時要讓學(xué)生通過網(wǎng)頁查詢、圖書閱讀等多元化途徑，了解并掌握收集、分析與解釋數(shù)據(jù)的具體方式，在解釋分析數(shù)據(jù)時也需要考慮到經(jīng)驗(yàn)因素，進(jìn)行層級化分析。

四、結(jié)論與啟示

本文基于對“統(tǒng)計推理的概念內(nèi)涵、水平劃分、教學(xué)實(shí)施”的相關(guān)報告梳理，提煉出在統(tǒng)計推理教學(xué)過程中涵蓋的三個關(guān)鍵要素一一真實(shí)的數(shù)據(jù)和實(shí)際問題情境、以學(xué)生為中心的問題解決活動、統(tǒng)計推理語言的正確表達(dá)。本文圍繞這三個關(guān)鍵要素，針對統(tǒng)計推理教學(xué)實(shí)施，提出以下三個方面的建議。

（一）注重情境選擇，創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題

學(xué)生的動機(jī)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著決定性的作用，其中一個重要的動機(jī)變量就是學(xué)生對學(xué)習(xí)情境與材料的興趣。情境的選擇可以面向?qū)W生生活經(jīng)驗(yàn)，通過學(xué)科融合溝通現(xiàn)實(shí)情境，也可以依據(jù)自然需求，結(jié)合教育技術(shù)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，例如，“共享單車上的數(shù)學(xué)”，可利用虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)手段直觀呈現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化與趨勢，進(jìn)而幫助學(xué)生理解統(tǒng)計意義。另外，情境的選擇也可以關(guān)聯(lián)學(xué)科本質(zhì)，通過設(shè)計反饋任務(wù)，觀察推理過程，將情境設(shè)置與學(xué)科元素相融合，深挖情境背景中包含的學(xué)科邏輯，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)問題并利用統(tǒng)計推理進(jìn)行全面分析。

（二）融入問題活動，確定實(shí)施流程

學(xué)科知識內(nèi)容情境化、項(xiàng)目化是革新教與學(xué)方式的重要手段，在學(xué)科教學(xué)中合理融入項(xiàng)目式問題與活動能使課堂更加靈活。將統(tǒng)計推理教學(xué)融入項(xiàng)目式問題，可以讓學(xué)生經(jīng)歷“選擇研究問題一開發(fā)推進(jìn)調(diào)查一分析調(diào)查數(shù)據(jù)一共享展示成果”這一過程。在選擇研究問題上，學(xué)生可以根據(jù)一個感興趣的主題來確定研究問題，且研究問題的關(guān)鍵點(diǎn)是與統(tǒng)計推理相關(guān)或整合的核心主題或關(guān)鍵概念；在開發(fā)推進(jìn)調(diào)查上，學(xué)生需要充分利用學(xué)習(xí)資源，展開引導(dǎo)性的調(diào)查問題設(shè)計，調(diào)查問題涵蓋開放性問題，利用適合的抽樣方法采集相關(guān)數(shù)據(jù)；在分析調(diào)查數(shù)據(jù)上，學(xué)生需要掌握圖表分析的方法，參數(shù)分析輔之，最后，以成果展演的方式進(jìn)行小組匯報，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計推理學(xué)習(xí)的總結(jié)。

（三）強(qiáng)化語言表征，促進(jìn)深層理解

學(xué)生在分析數(shù)據(jù)時需要利用多元化的方式表征推理過程，表征包括了五種類型一符號、圖形、情境、實(shí)物操作以及語言表征，其中語言表征在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中會被忽視，如何在統(tǒng)計推理教學(xué)過程中增加語言表征的占比是提升推理課堂教學(xué)質(zhì)量的核心要點(diǎn)。品

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注：本文系浙江省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究”（課題編號：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計劃項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升路徑研究”（項(xiàng)目編號：2023GH005）的研究成果。鞏子坤為本文的通訊作者。