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        基于Poisson分布的Z值Taylor-Schwert GARCH 模型

        2025-08-18 00:00:00劉思博楊凱董小剛徐悅
        關(guān)鍵詞:條件文獻(xiàn)模型

        中圖分類號(hào):O212.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1671-5489(2025)04-1039-12

        Z -Valued Taylor-Schwert GARCH Model Based on Poisson Distribution

        LIU Sibo,YANG Kai,DONG Xiaogang,XU Yue (Schoolof Mathematics and Statistics,Changchun University of Technology,Changchun 130ol2,China)

        Abstract: Aiming at the modeling problem of Z -valued time series data with volatility,we proposed a Z -valued Taylor-Schwert generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model based on Poisson distribution. Firstly,some statistical properties of the model were derived. Secondly,the unknown parameters in the model were estimated by using the condition maximum likelihood estimation method,and the asymptotic properties of estimators were proved. Thirdly, numerical simulations were conducted to demonstrate the performance of the estimation method. Finally,a real daily stock return data was considered,and the superiority of the proposed model over existing models was proved through analysis of the fitting results of the data.

        Keywords: Z -valued time series; GARCH model; condition maximum likelihood estimation; heteroscedasticity

        0引言

        時(shí)間序列是指將同一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值按其發(fā)生的時(shí)間先后順序排列而成的數(shù)列,時(shí)間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè).時(shí)間序列在氣象學(xué)、股票市場(chǎng)和交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域應(yīng)用廣泛.但在金融市場(chǎng)的時(shí)間序列應(yīng)用中,存在無(wú)法直接觀測(cè)到的波動(dòng)率,即金融時(shí)間序列呈現(xiàn)出異方差性,這種現(xiàn)象在外匯匯率、股票收益率及期貨價(jià)格等數(shù)據(jù)中尤其顯著.為利用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理對(duì)具有異方差性的時(shí)間序列進(jìn)行描述、分析和預(yù)測(cè),目前已提出了多種時(shí)間序列模型.Engle[1]通過(guò)引入自回歸條件異方差(ARCH)模型解釋了收益與波動(dòng)率之間的關(guān)系.Bollerslev[2在此基礎(chǔ)上提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型,并對(duì)ARCH模型的條件進(jìn)行了進(jìn)一步拓展.Ferland等[3提出了整數(shù)值廣義自回歸條件異方差(INGARCH)模型,定義為

        其中: α0gt;0 , αi?0 , βj?0 ,i=1,2,…,p, j=1,2,…,q , p?1 , q?0 ; Ft-1 是由 {Xt-1,Xt-2,…} 生成的σ 域.當(dāng)INGARCH模型中 q=0 時(shí),即為整數(shù)值自回歸條件異方差(INARCH)模型.Neumann[4驗(yàn)證了INGARCH模型的遍歷性質(zhì).在上述研究的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[5-1O]對(duì) INGARCH模型進(jìn)行了拓展.

        在針對(duì)金融時(shí)間序列的基礎(chǔ)研究中,除序列的異方差性,Black[11]研究表明,金融時(shí)間序列存在著杠桿效應(yīng),即股票的條件波動(dòng)率對(duì)正負(fù)沖擊的反應(yīng)是不對(duì)稱的,即波動(dòng)率更傾向于在負(fù)沖擊下上升.Ding 等[12]研究了股票市場(chǎng)收益的長(zhǎng)記憶性,并構(gòu)造了一類通用的一般模型,即非對(duì)稱冪次自回歸條件異方差(APARCH)模型,定義為

        其中: α0gt;0 , αi?0 , βj?0 , |γi|?1 ,i=1,2,…,p, j=1,2,…,q : δ?0 .這類模型表明絕對(duì)收益之間的相關(guān)性遠(yuǎn)大于收益本身,且絕對(duì)收益的冪變換對(duì)長(zhǎng)期滯后也具有很高的自相關(guān)性.Ding 等[13]討論了絕對(duì)收益的一些性質(zhì).He等[14]對(duì) APARCH模型的性質(zhì)進(jìn)行了全面分析.在上述研究的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[15-16]對(duì)APARCH模型進(jìn)行了拓展.

        上述整數(shù)值時(shí)間序列模型都是針對(duì)非負(fù)數(shù)據(jù)提出的,但在實(shí)際應(yīng)用中,還存在同時(shí)包含正負(fù)值的整數(shù)值時(shí)間序列,這類整數(shù)值時(shí)間序列稱為 Z 值時(shí)間序列.文獻(xiàn)[17-18]提出了多種形式的SkellamGARCH模型建模這類數(shù)據(jù),SkellamGARCH模型是通過(guò)將兩個(gè)隨機(jī)變量序列相減構(gòu)造Z值時(shí)間序列模型.考慮到在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中,許多Z值時(shí)間序列的正負(fù)概率出現(xiàn)比例接近0.5,即在這些序列中,正值和負(fù)值的出現(xiàn)頻率大致相等.為更好地捕捉這種特性, Hu[19] 提出了Poisson Z 值GJR(Glosten-Jagannathan-Runkle)-GARCH(PZG)模型,定義為

        其中: ωgt;0 ; |γ|?1 : αi?0 , βj?0 , i=1,2,…,P,j=1,2,…,q , p?1 , q?0 .該模型在 Z 值時(shí)間序列的構(gòu)造上與 SkellamGARCH模型不同,在PZG模型中,通過(guò)將一個(gè)等概率0.5取值在1和-1上的獨(dú)立同分布的二項(xiàng)隨機(jī)變量序列 Zt 與一個(gè)以Poisson分布作為條件分布的隨機(jī)變量序列 ?Yt 相乘,進(jìn)而構(gòu)造出 Z 值時(shí)間序列模型.在此基礎(chǔ)上, Xu 等[2°將PZG模型的條件分布推廣至幾何分布,提出了幾何Z值GJR-GARCH(GZG)模型,由于幾何分布比 Poisson 分布更靈活,因此該模型在實(shí)際應(yīng)用中比 PZG 模型性能更好.注意到GZG 模型中用到的GJR-GARCH 模型實(shí)際上是 APARCH 模型[12]當(dāng)δ=2 時(shí)的情形.

        本文考慮APARCH模型當(dāng) δ=1 且 γi=0 時(shí)的情形,即Taylor-Schwert廣義自回歸條件異方差(TS-GARCH)模型[21-22],定義為

        其中 α0gt;0 , αi?0 , βj?0 , i=1,2,…,P ,j=1,2,…,q, p?1 , q?0 .首先,以等概率0.5在1和—1上取值,采用通過(guò)乘積構(gòu)造 Z 值時(shí)間序列的方法,將Poisson分布作為條件分布,提出基于Poisson分布的 Z 值TS-GARCH模型,并且給出一些基本概率性質(zhì).其次,利用條件極大似然估計(jì)(CMLE)方法估計(jì)參數(shù),討論其漸近正態(tài)性,并進(jìn)一步給出相應(yīng)的數(shù)值模擬以說(shuō)明CMLE的優(yōu)良性能.最后,應(yīng)用新模型擬合一組實(shí)際數(shù)據(jù),并將其與已有模型進(jìn)行對(duì)比,以說(shuō)明新模型的優(yōu)越性.

        1Poisson Z值 Taylor-Schwert GARCH 模型

        1. 1 模型建立

        定義1若Z值時(shí)間序列 {Xt , t∈Z} 滿足以下方程:

        則 {Xt , t∈Z} 稱為Poisson Z 值Taylor-Schwert廣義自回歸條件異方差模型,記為PZTSG 模型,其中: {Zt , t∈Z} 是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,分布函數(shù)為 {Yt , t∈Z} 是一列服從Poisson分布的隨機(jī)變量,取值為 0,1,2,…;P(λt) 是參數(shù)為 λt 的Poisson分布; {Xt , t∈Z} 是一列 Z 值時(shí)間序列,且 Ft-1 為 {Xt-1,Xt-2,…} 生成的 σ 域; ωgt;0 , α?0 , β?0 ;{Zt} 獨(dú)立于 {Yt}

        1. 2 模型的概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

        對(duì)于 Yt|Ft-1~P(λt) , {Yt} 的概率分布列為

        則可得 {Xt} 的條件概率分布列為

        由于 是獨(dú)立同分布序列且 {Zt} 獨(dú)立于 Ft-1 ,因此可得 {X,} 的條件均值和條件方差分別為

        Var(Xι∣Ft-1)=E(Xι2∣Ft-1)=E(Zι2)E(Yι2∣Ft-1)=E(Yι2∣Ft-1)=λι2ι.

        顯然

        注意到PZTSG 模型可以描述一個(gè)取值關(guān)于O對(duì)稱的 Z 值時(shí)間序列,因此 {Xt} 的協(xié)方差函數(shù)為

        根據(jù)式(1)可知過(guò)程 {Xt} 是一階平穩(wěn)的.

        定理1過(guò)程 {Xt} 二階平穩(wěn)的充分必要條件為 0?α+β?1

        證明:由

        E(Xt2∣Ft-1)=E(Zt2Yt2∣Ft-1)=E(Zt2)E(Yt2∣Ft-1)=E(Yt2∣Ft-1),

        根據(jù)重期望公式,有

        故該證明等價(jià)于找到 {Yt , t∈Z} 的二階平穩(wěn)條件.此時(shí),

        Yι∣Ft-1~P(λι),λι=ω+α∣Xt-1∣+βλt-1=ω+αYt-1+βλt-1,

        從而由文獻(xiàn)[3]中命題1可知,當(dāng) 0?α+βlt;1 時(shí),有 E(Yt2)lt;∞ ,即 E(Xt2)lt;∞ ,證畢

        2參數(shù)估計(jì)

        首先,討論P(yáng)ZTSG模型參數(shù)的CMLE.令參數(shù)向量 θ=(ω,α,β)T .定義 Θ 為參數(shù)空間, ΘCM= [M1,M2]×[0,1)2 ,這里 M1 和 M2 是兩個(gè)正的常數(shù).參數(shù)真值未知,記作 θ0=(ω0,α0,β0?T .假設(shè)有一列樣本量為 n 的觀測(cè)值 X1,X2,…,Xn ,根據(jù)文獻(xiàn)[23]中注1.1,初始值的選擇不會(huì)影響CMLE的漸近性質(zhì),所以可以預(yù)設(shè)初始值

        對(duì) θ∈Θ 且 t=1,2,…,n ,可將 定義為

        其條件對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

        這里忽略了常數(shù)項(xiàng) ?。?參數(shù) θ 的條件極大似然估計(jì) 可通過(guò)極大化式(2)得到,即

        為建立參數(shù)估計(jì)量的大樣本性質(zhì),用 λt(θ) 近似 ,所以 的近似為

        條件對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為

        二階導(dǎo)數(shù)為

        對(duì)于 θ=(ω,α,β)T ,由定義 λt=ω+α∣Xt-1∣+βλt-1 ,對(duì) t∈Z ,有

        對(duì)式(3)兩端取條件均值,則有

        同理有

        所以

        下面給出估計(jì)量 的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性.

        假設(shè)1 PZTSG 模型的解是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷的

        假設(shè)2 Θ 是緊的,且 ,其中 表示 Θ 的內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合.

        假設(shè)3令 Aθ(z)=αz , Bθ(z)=1-βz : Aθ0(z) 和 Bθ0(z) 沒(méi)有公共根,此外,對(duì)所有在 Θ 中的 θ ,Bθ(z) 的根在單位圓外,即 βlt;1 :

        假設(shè)4 存在某個(gè) εgt;0 ,使得 Eθ0[∣Xt4+ε]lt;∞

        定理2在假設(shè) 1~ 假設(shè)4下,當(dāng) n∞ 時(shí), 幾乎處處收斂于 θ0 ·

        證明:證明方法主要基于文獻(xiàn)[23],同時(shí)參照文獻(xiàn)[20]中定理3的證明過(guò)程和思路.將 λt(θ) 重新寫成向量的形式:

        其中

        令 ξ 和 K 是常數(shù)且在不同之處取不同值, 0lt;ξlt;1 , Kgt;0

        下面逐一驗(yàn)證以下結(jié)果:

        (i) =Oa.s.;(ii) E(lt(θ)) 在 θ 上是連續(xù)的;(iii)存在 t∈Z ,使得 λt(θ)=λt(θ0) a. ∴?θ=θ0 ;(iv)對(duì)任何 均有一個(gè)鄰域 V(θ) ,使得

        首先,證明(i).通過(guò) λt(θ) 的向量形式,有

        是一個(gè)通過(guò)用 代替 λι-i(θ) 中的 λt-i(θ) 得到的向量, 是用初始值代替 Xo 得到的向量,則有

        從而對(duì)所有的 Ψt ,可得幾乎處處有

        所以

        ,當(dāng) n∞ 時(shí),有

        由Cesaro引理可知極限幾乎處處成立,此外觀測(cè)值 a.s.[23].

        其次,證明(ii).對(duì)任意的 θ∈Θ ,令 Vη(θ)=B(θ,η) 是一個(gè)中心在 θ 、半徑為 η 的開(kāi)球

        則當(dāng) η-0 時(shí),有

        再次,證明(ii).利用Jensen不等式,有

        當(dāng)在 σ 域 Ft-1 中有 (0)e2=1a.s.時(shí),上述不等式成立,即0=00。

        最后,(iv)的證明與文獻(xiàn)[23]類似,故略.證畢.

        定理3 在假設(shè) 1~ 假設(shè)4下,當(dāng) n∞ 時(shí),有

        其中

        且 H 和 是正定的.

        定理3的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[20]的附錄A.6和A.7.

        3 數(shù)值模擬

        下面考察CMLE在有限樣本下的性能.選取如下3組不同的參數(shù)真值進(jìn)行數(shù)值模擬,在R軟件環(huán)境下進(jìn)行1000次重復(fù)實(shí)驗(yàn),分別取樣本量 n 為200,500,800.

        第一組參數(shù): (ω0,α0,β0T=(0,2,0.5,0.4)T

        第二組參數(shù): (ω0,α0,β0T=(1,0,2,0.6)T

        第三組參數(shù): (ω0,α0,β0T=(4,0,3,0,15)T

        模型在上述3組參數(shù)下的樣本路徑和自相關(guān)函數(shù)(ACF)分別如圖 1~ 圖3所示,其中樣本量(204 n=200

        圖1第一組參數(shù)下的樣本路徑圖和ACF圖

        Fig.1Sample path diagram and ACF diagram under the first set of parameters

        圖2第二組參數(shù)下的樣本路徑圖和ACF圖

        Fig.2Sample path diagram and ACF diagram under the second set of parameters

        圖3第三組參數(shù)下的樣本路徑圖和ACF圖Fig.3Sample path diagram and ACF diagram under the third set of parameters

        由圖1~圖3可見(jiàn),3個(gè)序列均為平穩(wěn)序列.對(duì)于每個(gè)參數(shù)組合,分別計(jì)算其偏差 和均方誤差(MSE) ,其中 Ψm 是重復(fù)次數(shù).模擬結(jié)果列于表1.由表1可見(jiàn),隨著樣本量的增大,估計(jì)值的偏差和均方誤差均逐漸減小,且估計(jì)值逐漸收斂于真實(shí)值,表明估計(jì)的效果越來(lái)越好,同時(shí)驗(yàn)證了條件極大似然估計(jì)的相合性.

        表1不同樣本量下3組參數(shù)的估計(jì)結(jié)果Table1Estimated results of three sets of parameters under different sample sizes
        續(xù)表1 Continuedtotable1

        4實(shí)例分析

        下面用模型擬合實(shí)際數(shù)據(jù).考慮中證500ETF從2022年3月15日到2023年6月7日的每日股票收益率,共有310個(gè)觀測(cè)值,其中正負(fù)值各有150個(gè),零值有10個(gè).正負(fù)值出現(xiàn)的概率約為0.48,接近于0.5,且該數(shù)據(jù)均值為-0.3290接近于零,大致符合PZTSG 模型所刻畫的正負(fù)值出現(xiàn)概率接近0.5這一數(shù)據(jù)特征.為保證數(shù)據(jù)是一系列整數(shù)值數(shù)據(jù),本文未對(duì)收益取對(duì)數(shù),而是將這些收益除以10美分.圖4給出了該數(shù)據(jù)集的整數(shù)值收益序列圖和ACF圖.由圖4(A)可見(jiàn),收益率的整數(shù)值序列是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列;由圖4(B)可知收益率是相關(guān)的,如圖4(C)和(D)所示.由于絕對(duì)收益和平方收益在小滯后階數(shù)時(shí)具有顯著的樣本相關(guān)性,因此這些收益序列以波動(dòng)率聚類的形式存在依賴關(guān)系.

        圖4中證500ETF每日股票收益率數(shù)據(jù)集的樣本路徑圖和ACF圖Fig. 4Sample path diagram and ACF diagrams of dataset of CSI500ETF daily stock returns

        本文將 PZTSG 模型與 PZG(1,1)模型[19]和 Skellam GARCH類模型中的一階對(duì)稱 Skellam 整數(shù)值廣義自回歸條件異方差(SS-INGARCH(1,1))模型[17-18]進(jìn)行比較,分別用這3個(gè)模型擬合數(shù)據(jù).表2列出了上述3個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果以及赤池信息量準(zhǔn)則(AIC)和 Bayes信息量準(zhǔn)則(BIC)的值.由表2可見(jiàn), α 的估計(jì)值明顯小于 β :在PZTSG模型中,過(guò)去收益的影響取決于參數(shù) α ,過(guò)去波動(dòng)率的影響取決于參數(shù) β. ,參數(shù)估計(jì)結(jié)果表明,目前的波動(dòng)率更多取決于過(guò)去的波動(dòng)率而非過(guò)去的收益.根據(jù)

        3個(gè)模型的AIC 值和BIC值可見(jiàn),PZTSG 模型的AIC 和BIC均較小,因此PZTSG模型擬合效果相對(duì)較好.

        表2不同模型對(duì)中證500ETF每日股票收益率的擬合結(jié)果比較Table 2 Fitting results comparison of different models on daily stock returns of CSI 500 ETF

        下面對(duì)3個(gè)模型進(jìn)行診斷,即考慮Pearson殘差:

        圖5為3個(gè)擬合模型下Pearson殘差的路徑圖、ACF圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖.其中, {et} 是根據(jù)

        圖5基于3個(gè)擬合模型的Pearson殘差路徑圖、ACF圖和PACF圖

        Fig.5Path diagrams, ACF diagrams and PACF diagrams of Pearson residuals based on three fiting mo條件極大似然估計(jì)結(jié)果按照式(3)計(jì)算得出的.根據(jù)文獻(xiàn)「24-26]可知,殘差序列 et 無(wú)顯著的自相關(guān)性,是一個(gè)充分模型的重要指標(biāo).由圖5的時(shí)序圖可見(jiàn),殘差序列都沒(méi)有顯著的趨勢(shì),說(shuō)明殘差序列是平穩(wěn)的,并且ACF和PACF圖也均無(wú)顯著的自相關(guān),說(shuō)明3個(gè)擬合模型的殘差序列均為白噪聲.對(duì)于PZTSG模型,將LB(Ljung-Box)檢驗(yàn)應(yīng)用于時(shí)間滯后 1~12 階的殘差序列,對(duì)每個(gè)滯后階數(shù),計(jì)算LB統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的 p 值,結(jié)果列于表3.由表3可見(jiàn),所有的 p 值都大于0.O5,證實(shí)PZTSG 模型擬合后的殘差序列為白噪聲.

        表3擬合PZTSG模型后Pearson殘差的LB檢驗(yàn)結(jié)果Table3LBtestresultsforPearsonresidualsafterfittingPZTSGmode

        圖6為基于3個(gè)擬合模型的Pearson殘差直方圖、核密度圖和正態(tài)Q-Q圖.由圖6可見(jiàn),PZTSG模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合后殘差序列的分布情況更接近正態(tài)分布,說(shuō)明 PZTSG 模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的效果更好.進(jìn)一步,計(jì)算3個(gè)殘差序列的均值和方差,結(jié)果列于表4.由表4可見(jiàn),PZTSG模型殘差序列的均值

        圖6基于3個(gè)擬合模型的Pearson殘差直方圖、核密度圖和正態(tài)Q-Q圖Fig.6Histograms, kernel density plots,and normal Q-Q plots of Pearson residuals based on thre fitting

        ).0339更接近0,方差1.1730更接近1,表明相較于其他兩個(gè)模型,PZTSG模型擬合效果更女

        表4基于3個(gè)擬合模型的Pearson殘差的均值和方差比較Table 4 Comparison of mean and variance of Pearson residuals based on three fiting models

        綜上所述,本文提出了一個(gè)基于Poisson 分布的Z值Taylor-Schwert廣義自回歸條件異方差模型,用于分析Z值時(shí)間序列數(shù)據(jù),給出了該模型的一些統(tǒng)計(jì)性質(zhì),并利用CMLE估計(jì)參數(shù)給出了其漸近性質(zhì).通過(guò)數(shù)值模擬研究,驗(yàn)證了CMLE在參數(shù)估計(jì)中的優(yōu)越性能.此外,還通過(guò)一個(gè)真實(shí)案例展示了PZTSG 模型在描述收益序列中所反映的波動(dòng)性聚集方面的能力,比較了PZTSG 模型、PZG(1,1)模型和 SS-INGARCH(1,1)模型的擬合效果,AIC和BIC值的比較以及殘差序列的分析結(jié)果表明,PZTSG 模型擬合效果更好.本文使用了ACF、PACF、LB檢驗(yàn)、直方圖、核密度圖和正態(tài)Q-Q圖等統(tǒng)計(jì)方法評(píng)估模型的擬合度和殘差序列的正態(tài)性,結(jié)果表明,PZTSG 模型的殘差序列均值更接近O,方差更接近1,說(shuō)明其擬合效果優(yōu)于PZG(1,1)模型和SS-INGARCH(1,1)模型.

        對(duì)于PZTSG模型,本文使用Poisson分布作為條件分布,也可以嘗試將幾何分布或二項(xiàng)分布作為條件分布,可能會(huì)比PZTSG模型性能更好.此外,本文在構(gòu)造Z值時(shí)間序列時(shí),等概率取正負(fù)值.但考慮到存在其他類型的數(shù)據(jù),其正負(fù)值的比例并不一定為0.5,因此在后續(xù)研究中,可嘗試引入一般化的正負(fù)值比例,將使模型能更好地適應(yīng)多種數(shù)據(jù)類型,從而增強(qiáng)其普遍性和適用性.

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        (責(zé)任編輯:趙立芹)

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