中圖分類號：TN249；TN247文獻標志碼：A

Research on localization algorithm of elliptical spot in four quadrant detector

HAOLinjie，MA Junshan，JINTao （School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

Abstract： In order to improve the measurement accuracy of the elliptical Gaussian spot position in the four quadrant detector and the position detection accuracy of the elliptical spot and the center coordinate of the four quadrant detector with an offset rotation angle， a localization algorithm for the elliptical Gaussian spot is proposed. An eliptical light spot with Gaussian distribution was used as the incident light spot model， and infinite integral fiting algorithm and the least squares method were used to fit the optimal analytical expression. In order to establish all models of elliptical spot in the four quadrant detector， polynomial fiting was performed on the offset angle to simplify the calculation of the algorithm for locating the offset angle between the elliptical spot and the center coordinate of the four quadrant detector. Finally，based on simulation，the fiting relationship between the offset angle and the localization algorithm was determined. The positioning accuracy of the algorithm can reach sub-micron level， providing a theoretical basis for the localization algorithm of elliptical spots.

Keywords： four quadrant detector; elliptical spot; offset angle; localization algorithm; Gaussian spot

引言

1四象限探測器光斑定位原理和算法

四象限探測器（four quadrant detector，F(xiàn)QD）是由4個基本相同的光電二極管組成，用來定位外部投射光斑相對四象限探測器中心的位置]。它具有靈敏度高、光譜范圍廣、位置分辨率高、抗干擾能力強2等優(yōu)點，因此常被應(yīng)用于軍事制導(dǎo)、精密檢測、航空等領(lǐng)域，并可用于關(guān)鍵部件的力學(xué)參數(shù)測量，如船用實心軸形變監(jiān)測、飛機螺旋槳推力測試以及風(fēng)力發(fā)電機轉(zhuǎn)動軸扭矩測量。在利用光學(xué)方法測量船用實心軸因海水阻力產(chǎn)生的微小形變時，位移、速度或角度參數(shù)的測量精度均受多種因素影響，而光斑中心定位算法的誤差是主要誤差來源之一。近年來，研究者針對四象限探測器光斑定位精度的影響因素開展了大量研究：文獻[3]分析了經(jīng)典和差算法、對角線算法、對數(shù)算法等，但這些算法的測試精度不足；文獻[4]提出了高精度的數(shù)據(jù)庫查詢法，其仿真誤差相對于經(jīng)典算法的誤差顯著減小，達到10^-5mm 數(shù)量級，但由于計算量大，無法滿足實時性需求；文獻[5]使用Composite擬合算法進行光斑定位，仿真實驗表明，其測量誤差為10^-4 mm數(shù)量級。該算法是目前應(yīng)用最廣泛的定位算法。以上定位算法都基于標準圓形光斑，這也是目前研究最為廣泛的一種模型。文獻[6]詳細分析了光斑的形狀，并建立了橢圓光斑模型。當光束與探測器光敏面法線存在微小夾角時，橢圓光斑模型能夠減小由此所產(chǎn)生的誤差。但該模型計算光斑中心位置的精度不高，且只討論了橢圓光斑長短軸與四象限探測器中心坐標系的坐標軸重合這一種情況，并沒有分析橢圓光斑長短軸與坐標軸存在偏移角時的情況。

為了解決橢圓光斑長短軸與坐標軸存在偏移角時的定位問題，本研究提出了基于橢圓模型的無窮積分（infiniteintegral）擬合算法，采用最小二乘法擬合最佳解析表達式。首先進行了仿真計算，該定位算法的測試精度為微來量級，并設(shè)計系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行分析處理。同時，對該算法進行補償修正，補償后的精度能夠達到亞微米量級，驗證了所提方法的有效性。

四象限探測器由4個理論上性能一致的光電二極管組成[6-7]。如圖1所示，4個探測器均勻地排布在直角坐標系的A、 B 、 C ！ D 這4個象限上。當半導(dǎo)體激光器發(fā)出的光束照射在四象限探測器光敏面上時，光電二極管會因受激吸收產(chǎn)生電子，從而形成電流。該電流大小和探測器所接收的光能量成正比[8]。

當光斑中心 （x₀ ， y₀ ）相對于四象限探測器光敏面發(fā)生偏移時，各象限接收的光能量也會發(fā)生變化，從而導(dǎo)致每個光電二極管產(chǎn)生的電流大小發(fā)生改變。根據(jù)經(jīng)典的加減法，可以得到光斑中心的解算值（，）[6-8]

式中： ）為光斑中心在四象限探測器上的解算值； I_A I_C 、 I_D 為四象限探測器每個象限產(chǎn)生的光電流； P_A 、 P_B 、 P_C 、 P_D 為每個象限接收的光能量。

2 基于橢圓高斯光斑四象限探測器定位算法

2.1橢圓高斯光斑模型

當激光在真空或大氣中近距離傳輸時，照射于四象限探測器光敏面上的光束能量分布可近似為高斯分布[]，具有中心強度最高，徑向強度逐漸衰減的特征，如圖2所示。激光照射光斑的位置情況可以分為兩種：一種如圖3（a）所示，橢圓光斑長短軸與四象限探測器坐標軸重合；另一種如圖3（b）所示，橢圓光斑長短軸與四象限探測器坐標軸存在偏移角。

橢圓高斯光斑的能量分布函數(shù)[1]為

其中

式中： （x，y） 為光斑任意點坐標； I₀ 為高斯光斑總能量； r_x 、 r_y 為橢圓高斯光斑的長軸和短軸；（x₀，y₀） 為光斑中心坐標； θ 為橢圓光斑長短軸相對四象限探測器坐標系 軸的偏移角。圓形高斯光斑能量分布也可以用該函數(shù)來表示。

2.2基于橢圓高斯光斑的無窮積分定位算法

根據(jù)以上橢圓形光斑能量分布模型，再結(jié)合四象限探測器的象限寬度半徑 R ，同時將探測器光敏面的盲區(qū)半寬度 d 考慮在內(nèi)，通過式（4）可以更加精確地推導(dǎo)出橢圓光斑在四象限探測器各象限的光能量[11]

將式（4）代人式（1），可得到光斑中心位置相對于四象限探測器中心的解算表達式

式（5）屬于超越方程，無法求解。高斯光斑在光敏面外的光強很弱，可以忽略不計，將積分的上下限轉(zhuǎn)化成無窮，可以對方程進行求解，得到的表達式為[12]

式中， ，為誤差函數(shù)，其中t 為積分運算的中間變量。對式（6）兩邊取反函數(shù)，可得到關(guān)于 和 的近似解。

同理， x₀ 和 y₀ 的表達式為

可將式（7）中的光斑中心位置近似表達式改寫為

式中， ，是僅關(guān)于 的函數(shù)，可通過查表得到。但它未考慮四象限探測器光敏面外環(huán)境的影響，所以其誤差較大。為了提高四象限探測器檢測精度和線性檢測范圍，引入補償因子 ^[13]η 對行函數(shù)進行擬合。光斑中心位置的解析表達式為

在 η 中引入影響因素 r_x，r_y ，可將式（9）后兩項合并，得

為了得到補償因子 的函數(shù)，假設(shè)橢圓高斯光斑照射在半徑為 R ，盲區(qū)寬度為 2d 的四象限探測器光敏面上。將光斑中心 （X_i ， Y_i ）從 （ε-μ，ε0） 移動到 （μ，0） ，步長為 σ_s ，記錄每一步中四象限輸出電流值，將真實值 （X_i，Y_i） 和解算值 一一映射。采用最小二乘法，建立位置檢測誤差的數(shù)學(xué)模型

對等式兩邊求導(dǎo)，得到

=0，計算出最優(yōu)ηx、ny

本文以 R=3.8mm ， d=0.021mm 的四象限探測器為例進行仿真分析，該定位算法也適用于其他四象限探測器。在實際應(yīng)用中，選定好合適的四象限探測器和光源后，保持探測器和光源的距離不變，就可將測量系統(tǒng)中四象限探測器的R 、 d 和光斑的 r_x 、 r_y 視為固定值。當入射光斑的長短軸分別為 3mm 和 2mm 時，設(shè)定不同偏移角 θ ，則補償因子 η_x 、 η_y 是僅關(guān)于 θ 的函數(shù)。由圖4可知，長軸與四象限探測器坐標系中 x 軸重合，短軸與 y 軸重合的橢圓光斑繞中心點逆時針旋轉(zhuǎn)時，長短軸與四象限探測器坐標軸的偏移角將越來越大， x 軸的補償因子會隨之減小，而y 軸的補償因子會隨之增大。

由圖4可知，補償因子 η_x 、 η_y 是關(guān)于 θ 的函數(shù)，通過五次多項式進行擬合，計算式為

η_x=1.470 2-1.268 53×10^-4×θ-1.043 73×10^-4×

η_y=0.97053-2.33188×10^-4×θ+2.2438×10^-4×

在其他因素都確定的情況下，根據(jù)四象限探測器輸出的 ，及式（14）求出的補償因子就可求出光斑中心位置 ，其擬合表達式為

1.04373×10^-4×θ²-7.73896×10^-7×θ³+

1.8017×10^-8×θ⁴-4.33646×10^-11×θ⁵）

2.2438×10^-4×θ²-1.59869×10^-6×θ³-

8.84177×10^-9×θ⁴+7.59771×10^-11×θ⁵）

由式（15）可知，對于同一套測試系統(tǒng)，在四象限探測器和光源確定的情況下，只需做一組標定實驗就可以確定光斑中心位置與偏移角的關(guān)系。這不僅能減少計算量，還能使定位精度達到微米量級。

仿真計算了偏移角分別為 0^° 、 30^° 、 45^° 和60^° （見圖5）時，橢圓光斑沿 x 或 y 軸移動時的定位算法誤差。圖6所示為，橢圓光斑沿 x 軸移動時的定位算法誤差。由圖可知，當偏移角分別為 0^° 、 30^° 、 45^° 和 60^°| 時，4條誤差曲線均關(guān)于原點對稱，且 x 軸的定位算法誤差及最大誤差值均隨偏移角的增大而增大。在（0，0.75）mm區(qū)間內(nèi)，定位算法誤差隨偏移角增大而增大。圖7是橢圓光斑沿 y 軸移動時的定位算法誤差，曲線的變化趨勢與 x 軸的相同，但在（0，0.5）mm區(qū)間內(nèi)， y 軸的定位算法誤差隨偏移角的增大而逐漸減小。

3 實驗與結(jié)果分析

為了驗證橢圓光斑模型無窮積分擬合算法的有效性和精度，設(shè)計了基于四象限探測器的光斑位置檢測系統(tǒng)。它包括波長為 620nm 的激光器，直徑為 7.8mm 的光敏面，盲區(qū)為 0.042mm 的四象限探測器（Thorlabs，QPD80A）以及二維精密位移臺。系統(tǒng)還包括信號采集和數(shù)據(jù)處理模塊，其中采集卡（VKINGING，VK702N）的本底噪聲為 0.12mV 。圖8為檢測系統(tǒng)示意圖，激光器發(fā)出的光束經(jīng)光學(xué)透鏡和孔徑光闌后，形成長軸為 3mm ，短軸為 2mm 的橢圓光斑測試光束。將四象限探測器固定安裝于微米級二維位移臺上，可實現(xiàn) x ！ y 軸方向的精密移動。

仿真驗證了基于橢圓高斯光斑的定位算法。采用圖8所示實驗平臺，通過手動旋轉(zhuǎn)平臺（最小刻度為 10^′ ）調(diào)整角度，當橢圓光斑長軸與四象限探測器光敏面坐標系 x 軸呈 0^° 、 30^° 、 45^° 和60^° 夾角時，進行了光斑長軸和短軸的標定實驗。將光斑中心從（ -1mm ，0）移動到（ 1mm 0），步長為 10μm ，在每個位移點采集四象限探測器的輸出電流值。通過式（1）的解算位移值和真實位移值建立映射關(guān)系，標定光斑 x 軸補償因子。 y 軸補償因子則通過二維位移臺將光斑中心從（0， -0.8mm ）移動到（0， 0.8mm ，步長為10μm ，進行算法標定。接著，將光斑中心從0 （-1mm） ，0）移動到（ 1mm ，0），從（0， -0.8mm， 移動到（0， 0.8mm ），步長為 20μm ，在每個位移點采集四象限探測器的輸出電流值。利用輸出電流值及標定實驗獲得的補償因子定位光斑位置。將定位算法的計算結(jié)果與光斑真實位置進行比對，以驗證算法的定位精度。

圖9所示為靜態(tài)遮光條件下，測試系統(tǒng)的四象限探測器輸出功率譜密度，采集卡的采集頻率為 1Hz 。在采集范圍內(nèi)，測得系統(tǒng)最大噪聲為3.79×10^-5mm 。

圖10所示為偏移角為 45^° 時 x 軸定位算法補償前后的誤差曲線，圖中小三角形標識曲線為定位算法計算值與真實值之間的誤差。由圖6和圖7所示仿真結(jié)果可知，定位誤差曲線在負半軸和正半軸呈對稱，所以本文主要分析正半軸區(qū)間（0，1）mm內(nèi)定位算法的誤差，并采用均方根誤差（root mean squared error， RMSE）E_rms 來描述定位精度。Ems= ， N 為定位次數(shù)， X_i 為光斑定位算法計算值， X 為光斑移動真實值。在 （ 0， 1）mm 區(qū)間內(nèi)，補償前定位算法x 軸的 E_rms 為 8.1595μm 。由圖6可知，偏移角為 45^° 時，仿真計算 x 軸的 E_rms 為 2.375μm 定位算法誤差曲線的變化趨勢和仿真結(jié)果大體相同，驗證了本文算法的可行性。補償前算法的固定誤差為微米量級，為提高光斑定位精度，需對標定實驗得出的誤差值進行補償。圖10中小圓點標識的為補償后 x 軸誤差曲線，其 E_rms 為0.219 3μm ，相對于補償前算法精度提高了97.3% 。同理，圖11為 y 軸定位算法補償前后的誤差曲線，圖中小三角形標識曲線為定位算法計算值與真實值之間的誤差。在（0，0.75）mm區(qū)間內(nèi)，定位算法誤差曲線趨勢與圖7所示仿真結(jié)果相似，驗證了橢圓無窮積分算法的可行性。補償前定位算法 y 軸的 E_rms 為 7.0192μm 。由圖7可知，偏移角為 45^° 時，仿真計算 y 軸的 E_rms 為0.964μm 。圖11中小圓點標識的為補償后 y 軸誤差曲線，其 E_rms 為 0.2676μm ，相對于補償前的算法精度提高了 96.2% 。理論上，修正后的E_rms 應(yīng)該為0，但由于系統(tǒng)處于光照不穩(wěn)定環(huán)境，雜光進人等原因會使得系統(tǒng)噪聲誤差增大。在靜態(tài)遮光條件下，系統(tǒng)最大噪聲誤差為 3.79× 10^-5mm ，所以補償后的誤差精度為亞微米量級， x 軸和 y 軸的測量精度已經(jīng)達到了船用軸承形變量測量標準[14]

表1所示為不同偏移角時，補償前后定位算法的均方根誤差。由結(jié)果可知，在 x 軸方向偏移角越大，均方根誤差越大；在 y 軸方向，偏移角越大，均方根誤差越小。這與圖6和圖7所示仿真結(jié)果相同。本文提出的橢圓無窮積分算法在補償后， x 軸和 y 軸方向的 E_rms 相對于補償前降低了 94.83%～97.80% 。

4結(jié)論

本文提出基于橢圓高斯模型的無窮積分擬合定位算法，通過仿真計算橢圓光斑長短軸與探測器坐標系坐標軸間的偏移角，驗證了算法對任意偏移角度的適應(yīng)性；在固定光源與四象限探測器的條件下，通過標定實驗建立了光斑中心坐標關(guān)于偏移角的函數(shù)模型；進一步通過補償修正將檢測精度提升至 10^-4mm ，滿足船用軸承形變測試精度。未來在橢圓光斑定位精度的研究中需對信號放大處理電路[15]進行重點討論，因為在小信號的處理過程中電磁干擾會顯著降低定位精度，優(yōu)化算法和抗干擾設(shè)計是后續(xù)的核心研究方向。

參考文獻：

[1]林志琦，李會杰，郎永輝，等.用四象限光電探測器獲得光斑參數(shù)[J].光學(xué)精密工程，2009，17（4）：764-770.

[2]秦立存，賀偉.基于四象限探測器的激光光斑中心定位算法[J].應(yīng)用激光，2021，41（3）：561-568.

［3］胡賢龍，周世椿.幾種四象限探測器測角算法的分析研究[J].激光與紅外，2007，37（6）：546-547，551.

[4]高紫俊，董麗麗，孟麗艷，等.四象限探測器高精度定位算法研究[J].光電子·激光，2013，24（12）：2314-2321.

[5]吳佳彬，陳云善，高世杰，等.高精度近紅外光斑位置檢測模型研究[J].紅外與激光工程，2016，45（7）：0717001.

[6]周子云，高云國，邵帥，等.采用四象限探測器的光斑中心定位算法[J].計算機測量與控制，2014，22（7）：2154-2156.

[7]刁寬，劉曉軍，徐龍，等.四象限探測器光斑定位精度影響因素研究[J].華中科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2022，50（4）：14-18.

[8]YUJW，LIQ，LIHW， et al.High-precision light spotposition detection in low SNR condition based on

quadrant detector[J]. Applied Sciences，2019，9（7）：

1299.

[9]茍曄鵬，劉星，劉強，等.基于Infinite integral的四象限探測器光斑位置檢測算法[J].激光與紅外，2021，51（9）： 1249-1256.

[10]：蔡貴霞.四象限激光定位測量技術(shù)研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2018.

[11]張輝，陳云善，耿天文，等.四象限探測器位置檢測精度的主要影響因素研究[J].中國激光，2015，42（12）：298 -306.

[12]西安電子科技大學(xué).一種橢圓高斯分布光斑質(zhì)心的高精度定位方法：202210612824.9[P].2022-09-09.

[13]WANGX，SUXQ，LIUG Z，etal.Investigationof

high-precision algorithm for the spot position detection forfour-quadrant detector[J].Optik，2020，203： 163941.

[14]劉祺霖，歐陽武，閆琦隆.艦船推進軸系軸承載荷識 別與標定方法[J].船舶力學(xué)，2023，27（7）：1075- 1083.

[15]WANG X， SU X Q， LIU G Z，et al. Research on photoelectric signal preprocessing of four-quadrant detectorinfreespaceopticalcommunication system[C]//Proceedingsof2020IEEE5th International Conference on Signal and Image Processing （ICSIP）. Nanjing：IEEE，2020：628-632.

（編輯：李曉莉）