中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0042-05引用格式：，等．高考概率與統(tǒng)計(jì)試題命制特點(diǎn)探析：以2021—2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：42-46.

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將概率與統(tǒng)計(jì)作為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)在高中數(shù)學(xué)教育中的重要地位和教學(xué)價(jià)值.

作為數(shù)學(xué)學(xué)科考試的關(guān)鍵組成部分，概率與統(tǒng)計(jì)在高考實(shí)行文理科融合的改革背景下，其考試形式、考查內(nèi)容和育人要求等也隨之發(fā)生變化.這一系列變化使得對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、內(nèi)容分析和育人內(nèi)涵的深入研究顯得尤為重要．下面，筆者從題型分值和綜合難度、知識(shí)點(diǎn)分布和試題情境、核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)等方面對(duì)2021一2024年高考數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)文理不分卷稱為“新高考”，數(shù)學(xué)文理分卷稱為“舊高考”）中的概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行對(duì)比分析，探析新高考背景下該主線的命題趨勢(shì)，以期為一線教師的教學(xué)實(shí)踐提供參考.

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

選取2021—2024年共16份高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題作為研究對(duì)象．新高考選取Ⅰ卷、Ⅱ卷；為保證研究結(jié)果兼具代表性與時(shí)效性，舊高考選取2021一2023年全國(guó)廣泛使用的全國(guó)乙卷（理科、文科），同時(shí)鑒于2024年高考進(jìn)行重大調(diào)整，原全國(guó)甲卷與全國(guó)乙卷實(shí)施合并，形成新的全國(guó)甲卷.作為舊高考收官階段的典型試卷，2024年全國(guó)甲卷理科、文科同樣納入舊高考樣本范疇.

2.研究框架

（1）試題結(jié)構(gòu)：題型分值和綜合難度.

作為試卷設(shè)計(jì)的表層結(jié)構(gòu)，題型分值和難度水平直接體現(xiàn)了考試的基本框架和要求，為師生提供了明確的指導(dǎo)和預(yù)期．下面，筆者對(duì)試題題型分值進(jìn)行量化統(tǒng)計(jì)，利用高考數(shù)學(xué)試題綜合難度模型來(lái)評(píng)估概率與統(tǒng)計(jì)試題的難度.

（2）試題內(nèi)容：知識(shí)點(diǎn)分布和試題情境.

對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的梳理有利于把握核心知識(shí)，明確考查方向.基于《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)主線的內(nèi)容要求，將其劃分為3個(gè)一級(jí)知識(shí)和24個(gè)二級(jí)知識(shí)，具體內(nèi)容與編碼如表1所示．其他知識(shí)將在后續(xù)編碼過(guò)程中單獨(dú)列出.

表1概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)編碼

與其他主線的試題相比，概率與統(tǒng)計(jì)試題具有比較豐富的情境.通過(guò)應(yīng)用文獻(xiàn)[5]構(gòu)建的比較科學(xué)、完善的情境類型分析框架，對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的試題情境進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析.

（3）試題價(jià)值：核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).

測(cè)評(píng)高考對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)的考查情況，有助于全面評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上的表現(xiàn)和發(fā)展?jié)摿Γ旅?，基于?shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)評(píng)價(jià)框架分別對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析.

三、命題變化情況分析

1．試題結(jié)構(gòu)

高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題的題型與分值統(tǒng)計(jì)如表2所示.

表2試題題型與分值統(tǒng)計(jì)

從考查題型與分值來(lái)看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題保持“兩小一大”的題型分布，考查總分為21～27 分，占試卷總分的 14%～18% 新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題年均考查題量為3道，年均考查分值為22.5分，略高于舊高考的題量（年均考查題量不足3道）與分值（年均考查分值為20.75分）.

從考查難度來(lái)看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的難度高于舊高考．依據(jù)數(shù)學(xué)高考綜合難度模型對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行逐一編碼賦值，統(tǒng)計(jì)各難度因素不同水平的題量與占比，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果代入 （∑n=n， i=1 ，2，…，7； j=1 ，2，…）計(jì)算每個(gè)因素的難度系數(shù) d_i （ i=1 ，2，…，7），其中 n_ij 表示第 i 因素、第 j 難度水平的試題數(shù)量， d_ij 表示第 i 指標(biāo)、第 j 難度水平的權(quán)重， n 表示該組試題的總數(shù)量，進(jìn)一步根據(jù)公式 計(jì)算試卷綜合難度系數(shù) D_- 經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到表3.新高考和舊高考試卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題的難度分別為： D_#F=13.00 ， D_⊥=11.87 ，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的順序發(fā)生后移、難度提升，表現(xiàn)在：重視對(duì)推理能力的考查，試題的高度綜合性和解題步驟的繁復(fù)性對(duì)學(xué)生的推理能力提出了更高的要求；提高了運(yùn)算水平的難度，部分試題技巧性強(qiáng)且計(jì)算量大；增加逆向思維題量，學(xué)生若按常規(guī)思路列舉滿足題設(shè)的各種情況，容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的問(wèn)題，故運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題變得尤為關(guān)鍵.

表3試題難度統(tǒng)計(jì)

2.試題內(nèi)容

如表4，從知識(shí)點(diǎn)分布來(lái)看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的知識(shí)點(diǎn)分布更廣，且出現(xiàn)了與其他知識(shí)的融合考查.新高考試卷中的概率知識(shí)占比（ 43.75% ）遠(yuǎn)高于舊高考試卷中概率知識(shí)占比（ 28.95% ），而新高考試卷中統(tǒng)計(jì)知識(shí)占比（ 22.92% ）則略低于舊高考試卷中統(tǒng)計(jì)知識(shí)占比（ 31.58% ）.與函數(shù)主題知識(shí)的交會(huì)考查，是新高考概率與統(tǒng)計(jì)試題編排的特點(diǎn)之一，這增加了概率與統(tǒng)計(jì)試題的復(fù)雜性和創(chuàng)新性.

表4試題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

如圖1，從試題情境來(lái)看，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題主要圍繞科學(xué)情境展開(kāi)，占比高達(dá) 62.50% ，試題融人了微生物繁衍、物理量分析等跨學(xué)科情境和流行病傳染等國(guó)際公共衛(wèi)生問(wèn)題.舊高考試卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題在情境設(shè)計(jì)上展現(xiàn)出了多樣化的特點(diǎn)，其中個(gè)人情境、職業(yè)情境、科學(xué)情境占比相對(duì)均衡，社會(huì)情境占比相對(duì)較少.

圖1試題情境各類型占比折線圖

3.試題價(jià)值

如圖2，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查水平更高，且在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面表現(xiàn)得尤為突出．新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題在評(píng)估學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)時(shí)，均達(dá)到了水平三的考查深度，在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面，試題的考查涵蓋了水平一、水平二、水平三多個(gè)層次，而舊高考試卷中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查則局限于水平一這一基礎(chǔ)層次.

隨著新高考改革的持續(xù)推進(jìn)與新教材的全面落地，概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)建模的融合趨勢(shì)愈發(fā)顯著，新的教育形勢(shì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提出了更高要求，這一變化在高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的編制中也有所體現(xiàn)．以2023年新課標(biāo)I卷第21題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查為例，模型素材選自學(xué)生熟悉的“投籃命中”這一具有隨機(jī)現(xiàn)象特征的真實(shí)情境，將概率模型（全概率公式）與統(tǒng)計(jì)模型（兩點(diǎn)分布）進(jìn)行融合考查.該題第（2）小題通過(guò)追問(wèn)“求第i次投籃的人是甲的概率”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過(guò)程，對(duì)全概率公式進(jìn)行創(chuàng)造性應(yīng)用與拓展，構(gòu)建并求解概率遞推模型，符合數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平三的要求.

如表5，在思維品質(zhì)方面，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題覆蓋多個(gè)思維品質(zhì)，展現(xiàn)了較為均衡的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．其中， 29.17% 的概率與統(tǒng)計(jì)試題的知識(shí)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)要求相對(duì)較低； 25% 的概率與統(tǒng)計(jì)試題要求學(xué)生將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行線性串聯(lián)，考查學(xué)生思維的廣闊性； 29.17% 的概率與統(tǒng)計(jì)試題則呈現(xiàn)出由點(diǎn)到面的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷第12題，學(xué)生需按要求將事件拆分為互斥事件、相互獨(dú)立事件，并利用概率加法和乘法公式進(jìn)行求解，對(duì)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性提出了較高要求.新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題多次作為壓軸題出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜多變的情形下準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系，突出考查了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性．舊高考試卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的廣闊性、靈活性、敏捷性，其中廣闊性考查尤為顯著，占比超五成，而思維的深刻性并未涉及．舊高考試卷對(duì)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性考查要求較低，題目條件直接明了，解題過(guò)程技巧性不高，所需思維量較小.

表5概率與統(tǒng)計(jì)試題思維品質(zhì)各類型占比

四、結(jié)論與啟發(fā)

1.試題考查內(nèi)容綜合化，教學(xué)需強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián)性

相較于舊高考試卷，新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的設(shè)計(jì)具有綜合化特征．試題的題量和分值占比有所增加，難度水平也得到了提升，考查知識(shí)的范圍更加廣泛.更重要的是，該領(lǐng)域試題呈現(xiàn)出與其他領(lǐng)域深度融合、創(chuàng)新考查的趨勢(shì)．因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該深入理解課程知識(shí)的整體邏輯結(jié)構(gòu)，細(xì)致梳理概率與統(tǒng)計(jì)主線中各概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，并注重概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交叉融合，如引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)列求解概率問(wèn)題、運(yùn)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)等工具分析數(shù)據(jù)的分布特征等.

2.試題設(shè)計(jì)情境科學(xué)化，教學(xué)需布局問(wèn)題科學(xué)化

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的情境創(chuàng)設(shè)呈現(xiàn)出鮮明的科學(xué)化特征，高度重視學(xué)科間的交叉與融合.科學(xué)化的情境試題既能助力學(xué)生深化知識(shí)的理解與掌握，又能直觀展現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)試題的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)，跨學(xué)科的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)進(jìn)一步考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要著重圍繞科學(xué)的問(wèn)題進(jìn)行精心設(shè)計(jì)確保試題既貼近實(shí)際又符合科學(xué)原理．為此，教師應(yīng)該密切關(guān)注科技、經(jīng)濟(jì)等科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展動(dòng)態(tài)，將相關(guān)熱點(diǎn)話題巧妙融入教學(xué)．通過(guò)創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科的問(wèn)題情境，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，從而有效提高學(xué)生跨學(xué)科解決問(wèn)題的能力．

3.試題凸顯數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教學(xué)需精選建模素材

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題的模型精確、真實(shí)，設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn)，凸顯了高考對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)考查的重要性．這要求教師積極整合數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典案例與資源，并將其有效融入日常教學(xué).教師應(yīng)該深入研讀教材，靈活運(yùn)用其中的建模實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)建模思想，規(guī)范建模過(guò)程．教師需要在教材的基礎(chǔ)上勇于創(chuàng)新，精心挑選既新穎、有趣又兼具科學(xué)性、實(shí)用性的數(shù)學(xué)建模素材，以滿足教學(xué)活動(dòng)的實(shí)際需要，確保教學(xué)內(nèi)容緊跟時(shí)代步伐，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，

4.試題考查多種思維品質(zhì)，教學(xué)需加強(qiáng)思維訓(xùn)練

新高考試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題涉及了多個(gè)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，包括廣泛性、靈活性、敏捷性、深刻性，構(gòu)成了較為均衡的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．這啟示教師在教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的全面培養(yǎng)、增加學(xué)生的思維寬度，多角度挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系、激發(fā)學(xué)生的思維靈性，鼓勵(lì)學(xué)生靈活遷移與變通知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力、挖掘?qū)W生的思維深度，利用數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯體系，為學(xué)生構(gòu)建循序漸進(jìn)的認(rèn)知階梯，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式與活動(dòng)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí).

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