《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課標(biāo)》\"）在“實(shí)施建議”部分指出：“要便于教師教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、提出合適問題、有效組織教學(xué)；要為教師自主選擇、增補(bǔ)和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容預(yù)留必要空間.”]正基于此，在日常教學(xué)中，如果能夠?qū)滩牟糠謨?nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹岸伍_發(fā)”，以便進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提升學(xué)生的知識視野，進(jìn)而潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，便成為理所當(dāng)然的目標(biāo).以下是對人教A版“總體離散程度的估計（第1課時）”新授課內(nèi)容進(jìn)行二次開發(fā)的課堂案例實(shí)錄、相關(guān)分析及若干感悟.

1教學(xué)過程設(shè)計

1. 1 實(shí)例創(chuàng)設(shè)，引入主題

師：在前面我們剛剛學(xué)習(xí)了利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來刻畫樣本的集中趨勢，而這些研究的目標(biāo)是用樣本估計總體.下面請分析以下實(shí)例，并作出相應(yīng)的判斷.

情境1《黑神話：悟空》是一款以中國神話為背景的動作角色扮演游戲.故事取材于中國古典小說“四大名著”之一的《西游記》.作為國內(nèi)首款3A大作，憑借精良的制作水準(zhǔn)，上市之后，風(fēng)靡全球.看了短視頻之后，下面的時間讓我們來扮演一位游戲主編，為《黑神話：悟空》進(jìn)行正面宣傳，這樣既可以學(xué)習(xí)有趣的數(shù)學(xué)知識，又可以弘揚(yáng)優(yōu)秀的中國傳統(tǒng)文化！

這款游戲上市后，為了讓玩家獲得更好的游戲體驗(yàn)，作為游戲主編的你決定對市面上三款熱門游戲設(shè)備進(jìn)行性能測試（即測試“游戲畫面幀率”），通過運(yùn)行專業(yè)軟件得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上測試數(shù)據(jù)，你如何評價這三臺游戲設(shè)備，進(jìn)而給玩家做出推薦？（注：游戲畫面幀率是指游戲畫面每秒刷新次數(shù)，幀率越高、越穩(wěn)定，游戲就越流暢.）

師：如何進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)分析？

生1：計算三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).而三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是67.

師：所以僅靠數(shù)據(jù)集中趨勢的信息，有時還不能做出有效的決策.本節(jié)課將學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的另一個重要特征——離散程度.如何更直觀地觀察三臺設(shè)備的差異？

生2：將表格中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計圖.

師生利用數(shù)學(xué)軟件作圖，通過折線圖發(fā)現(xiàn)：甲波動幅度比較大，而乙和丙相對穩(wěn)定.

1. 2 結(jié)合所學(xué)，探究概念師：如何度量這種差異呢？

老師發(fā)動學(xué)生進(jìn)行第一次小組活動：刻畫離散程度.

活動規(guī)則：全班分為8個小組，學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論，然后將結(jié)果通過平板上傳，教師匯總方案，進(jìn)行展示與評價.

方案1：利用極差.

設(shè)備甲的極差 =70-64=6 （幀），設(shè)備乙的極差=69-65=4 （幀），設(shè)備丙的極差 =70-64=6 （幀）.所以乙的波動范圍是最小的.

師：是否認(rèn)可這種方案？

生3：部分認(rèn)可，乙更穩(wěn)定，但甲和丙無法區(qū)分.

此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)了極差的缺點(diǎn)：只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少，并不夠全面.

方案2：利用“平均距離”.

有個別同學(xué)用了“總距離”，但同學(xué)們顯然發(fā)現(xiàn)這個數(shù)據(jù)受樣本容量的影響太大，所以不予采用.而這里的“平均距離”是指每個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)，即

先計算甲、乙的平均距離，可作出判斷： d_H= 1.6（幀）; d_ζ=0.8 （幀），由 d_HΩgt;d_Z 得乙更穩(wěn)定！

再計算乙、丙的平均距離， d_ζ=0.8 （幀）； 0.8（幀），由 d_ζ=d_?Fj 得一樣穩(wěn)定？無法作出判斷！

師：這種方案考慮到了全部數(shù)據(jù)，比利用極差刻畫更為全面，但現(xiàn)在仍舊無法判斷乙丙的離散程度，該怎么辦？

1. 3 形成概念，探索新知

思考1：如何對“平均距離”進(jìn)行改造，從而“顯化”乙丙離散程度上的差別？

生4：用“平方”替代“絕對值”，即 （204號

師：很好！平方的好處：1.拉大差距；2.避免討論.

方差定義：設(shè)一組數(shù)據(jù)是 x₁，x₁，…，x_n ，則這組數(shù)據(jù)的方差為 ，有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成以下形式： ：

老師讓學(xué)生依照上次的規(guī)則進(jìn)行第二次小組活動：證明兩式相等.稍后學(xué)生順利地解決了問題

師：方差的單位和原數(shù)據(jù)是什么關(guān)系？

生5：是原數(shù)據(jù)單位的平方.

師：為了保持單位一致，可以對方差進(jìn)行開平方，我們就得到了標(biāo)準(zhǔn)差的定義.

思考2：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

師生活動：學(xué)生自主探究并回答.教師進(jìn)一步說明，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)，但是在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.由于有時候計算較復(fù)雜，我們可以借助計算器或者計算機(jī)幫助計算.

老師順勢提出了：總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義；總體方差的加權(quán)形式；樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義.

思考3：標(biāo)準(zhǔn)差和方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的？

學(xué)生馬上得到了正確答案方案3：利用標(biāo)準(zhǔn)差

S_?H=2 （幀）： S_Z≈1.095 （幀） S_?≈1.414 （幀）所以乙最穩(wěn)定，其次是丙，甲最后

師：通過三種方案的定量計算，如何進(jìn)行評價？

生6：以方案3為主，結(jié)合方案1和2，最終給出結(jié)論，即可以推薦：如果玩家想要追求更穩(wěn)定的游戲體驗(yàn)，就選性能相對穩(wěn)定的乙，否則可考慮丙和甲，

老師讓學(xué)生練習(xí)鞏固題組1：即課本P213練習(xí)1和練習(xí)2.

1. 4 應(yīng)用所學(xué)，提升思維

師：一轉(zhuǎn)眼，《黑神話：悟空》已發(fā)售兩月有余，目前全球銷量已突破2000萬套，具備了沖擊年度最佳游戲的實(shí)力.作為游戲主編的你，想通過各個游戲平臺玩家滿意度的反饋來為《黑神話：悟空》造造勢.

情境2在對《黑神話：悟空》玩家滿意度的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道在A平臺抽取了玩家300人，其評分均值（滿分為10）和方差分別為8.9和0.48；在B平臺抽取了玩家200人，其評分均值（滿分為10）和方差分別為9.1和0.62.

你能由以上評分?jǐn)?shù)據(jù)計算出兩個平臺的總樣本方差，并對全體玩家的評分方差作出估計嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生利用方差的兩個公式探究兩組數(shù)據(jù)匯總后的方差計算公式.

學(xué)生容易得到"" ，并且發(fā)現(xiàn)有兩種思路可以進(jìn)行下一步分析：

思路1：利用方差公式 思路2：利用方差公式

老師讓學(xué)生依照規(guī)則進(jìn)行第三次小組活動：探究分層隨機(jī)抽樣的方差.在活動中發(fā)現(xiàn)有些小組思路的障礙點(diǎn)，即以下關(guān)鍵點(diǎn)未發(fā)現(xiàn)，并及時進(jìn)行了適當(dāng)?shù)胤治雠c點(diǎn)撥.

思路1的關(guān)鍵點(diǎn)： ：

思路2的關(guān)鍵點(diǎn)：

在破除障礙之后，大多數(shù)學(xué)生得到 s²=

由 ，總樣本平均數(shù) ，再根據(jù)條件即可得：

（20 [0.62+（9.1-8.98）²]}=0.5456.

師：在本例中，總樣本方差和兩個平臺的方差區(qū)別并不大，說明了什么？

生7：合并后的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性和原來各組的穩(wěn)定性差不多.

師：這說明各平臺玩家對《黑神話：悟空》評價比較一致，再結(jié)合較高的平均分，毫無疑問，這是一款非常出色的游戲.不過這里需要特別指出的是：在更多的例子中，總樣本方差會比各層方差大許多，比如課本213頁例6（男女生身高分層問題），這說明數(shù)據(jù)合并后的穩(wěn)定性有時會變得很差，從而體現(xiàn)了分層抽樣的必要性！

追問1：一般地，如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個數(shù)、平均數(shù)和方差，如何計算合并后全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢？

學(xué)生歸納得到

老師讓學(xué)生練習(xí)鞏固題組2：即課本214頁練習(xí)5和一道變式題.（注：前者數(shù)據(jù)較復(fù)雜，要求用平板求解；后者數(shù)據(jù)較簡單，要求筆算）

追問2：如果你在C平臺也進(jìn)行了玩家游戲評分的抽樣調(diào)查（人數(shù)100人，評分均值8.8，方差0.52），那么該如何計算三個游戲平臺的平均數(shù)和方差，并對全體玩家游戲評分的平均數(shù)和方差作出估計呢？

生8：這就是三組數(shù)據(jù)合并問題

師：是的，課本218頁拓廣探索第11題，就是三組數(shù)據(jù)合并的問題.請大家進(jìn)行推導(dǎo).

學(xué)生利用整體與類比思想較順利地得到了答案.

1. 5 課堂小結(jié)，反思提升

老師讓學(xué)生先對這節(jié)課進(jìn)行了總結(jié)，然后師生從情境1：“測試設(shè)備性能”的角度，回顧了如何刻畫數(shù)據(jù)的離散程度；方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及特征.從情境2：“評估玩家反饋”的角度，回顧了關(guān)于兩層乃至三層分層抽樣的方差.然后老師用《黑神話：悟空》經(jīng)典語錄，與大家共勉：“每一滴汗水，都是通往圣境的階梯.”

最后老師布置了回家作業(yè)（作業(yè)本上本節(jié)作業(yè)）與探究作業(yè)：請大家把課本218頁拓廣探索第11題，三組數(shù)據(jù)合并的問題推廣至 n（n?4） 組數(shù)據(jù).

2對以上教學(xué)過程設(shè)計的若干說明

數(shù)學(xué)教材的“二次開發(fā)”指的是教師基于素養(yǎng)導(dǎo)向和學(xué)情實(shí)際，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對既定的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行適度增刪、調(diào)整和加工，合理選用和開發(fā)其它教學(xué)材料，從而讓教材更有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和思維的發(fā)展.圖1是對教材內(nèi)容二次開發(fā)的流程圖[2].

圖1

2.1本節(jié)課在教學(xué)內(nèi)容上的重組

首先，在“例題改編”上，教材通過解決一個選擇射擊運(yùn)動員的實(shí)際問題，讓學(xué)生系統(tǒng)經(jīng)歷獲取數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，最后形成結(jié)論的過程.后續(xù)通過有關(guān)樹人中學(xué)高一男女身高的分層抽樣的例子來說明總樣本方差和兩層分層抽樣的方差之間的關(guān)系.在實(shí)際教學(xué)中，教師引入了風(fēng)靡全球的游戲《黑神話：悟空》的兩個情境：“測試設(shè)備性能”和“評估玩家反饋”，并通過游戲主編的身份將這節(jié)課所涉及的知識完美地融入這兩個情境之中.一方面，這樣把教材中的情境素材改編或替換成學(xué)生熟悉的、社會熱點(diǎn)的內(nèi)容，既符合高中生的心理特征與愛好，也更加吸引他們的注意力、興趣與參與度，能讓學(xué)生在新知識面前“欲罷不能”；另一方面，通過這些材料弘揚(yáng)了優(yōu)秀的中國傳統(tǒng)文化，激發(fā)他們的民族自豪感.顯然，在實(shí)際教學(xué)中，通過這兩個情境問題的解決，絕大多數(shù)學(xué)生自然而然地掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識.

其次，在“活動素材再造”上，由于高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有時也需要經(jīng)歷操作、驗(yàn)證等學(xué)習(xí)活動，教師選擇合適的活動素材一情境1的三組數(shù)據(jù)提供給學(xué)生，在課堂上分別討論和比較了極差、總距離、平均距離與標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)學(xué)形式在刻畫離散程度中所起的作用，從而保障活動目標(biāo)的達(dá)成.情境2的問題解決要求學(xué)生通過兩種方法進(jìn)行分析探索，然后進(jìn)一步將結(jié)論一般化，從而在對學(xué)習(xí)活動素材進(jìn)行整合式再造的同時，拓寬了知識視野，幫助學(xué)生經(jīng)歷知識融會貫通的建構(gòu)過程，實(shí)現(xiàn)思維的拾級發(fā)展.另外通過學(xué)生的三次小組活動，結(jié)合平板的利用等教學(xué)手段幫助學(xué)生更容易地建立通暢的認(rèn)知通道和思維遞進(jìn)通道.

另外，在“練習(xí)創(chuàng)編”上，借助于習(xí)題，教師在順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的基礎(chǔ)上適時依次提供兩組題組，對所學(xué)知識加以鞏固；然后通過兩次追問從而把問題結(jié)論一般化并加以拓展，目的在于讓學(xué)生通過這些同質(zhì)素材或異質(zhì)素材的習(xí)題，形成有梯度、有精準(zhǔn)度、有挑戰(zhàn)性的任務(wù)促使學(xué)生進(jìn)一步對比和辨析，從而促進(jìn)思維的深刻化.后續(xù)通過探究作業(yè)：“ n（n? 4）組數(shù)據(jù)合并問題”的布置，助推學(xué)生順利完成“形成概念一理解概念一應(yīng)用概念”的過程.

2.2本節(jié)課在需求分析與認(rèn)知順序上的設(shè)計

從某種角度上看，教材的“二次開發(fā)”是在學(xué)習(xí)需求引導(dǎo)下的一種教學(xué)過程.就這節(jié)課而言，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過方差的概念，了解方差可以刻畫數(shù)據(jù)波動程度，但是對于概念形成過程和統(tǒng)計意義認(rèn)識不夠深刻.高中需要在此基礎(chǔ)上理解方差的統(tǒng)計含義，對方差定義的合理性有所體會，需要根據(jù)具體問題選擇恰當(dāng)?shù)奶卣鲾?shù)來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，需要滲透用樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的思想[3].

在實(shí)際教學(xué)中，由于教科書上的學(xué)科知識都有其身后的生活根源，帶著生活的激情，伴隨著豐富的情感體驗(yàn).因此“具體問題”由書本中的“射擊運(yùn)動員”相關(guān)問題改成“游戲《黑神話：悟空》\"問題，這種背景可能更激起高中學(xué)生的“情感共鳴”，從而激發(fā)學(xué)生對所涉及的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)渴求，也就是我們執(zhí)教者在分析教材時要善于發(fā)現(xiàn)、挖掘被壓縮化的知識背后所隱藏的情感因素.此時再讓學(xué)生自身去探究構(gòu)造一個刻畫離散程度的統(tǒng)計量，從而形成“方差”概念的基本雛形；然后通過題組訓(xùn)練，學(xué)生進(jìn)一步理解“方差”概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義；在此期間，學(xué)生不僅能夠計算方差比較離散程度，還能夠在數(shù)據(jù)發(fā)生變化時感知統(tǒng)計量取值的變化，在數(shù)據(jù)以統(tǒng)計圖表形式呈現(xiàn)時能夠?qū)?shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息做出正確判斷，加強(qiáng)對數(shù)據(jù)本身的意識與感悟；應(yīng)用概念階段，在情境2及其配套教學(xué)中，通過讓學(xué)生借助數(shù)據(jù)信息發(fā)現(xiàn)規(guī)律，做出推理、決策和推斷，從而達(dá)成用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.

3本節(jié)課在教材的“二次開發(fā)”上的若干感悟

3.1教材的二次開發(fā)應(yīng)注意基于單元整體教學(xué)

由上可知，教材的”二次開發(fā)”強(qiáng)調(diào)的是根據(jù)課標(biāo)要求與具體學(xué)情等因素，對教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)卦鰟h、整合、拓展、優(yōu)化等設(shè)計與操作.而每個主題的”二次開發(fā)”，首先要基于單元整體內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計，尋找本單元內(nèi)各教學(xué)要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化本單元各板塊內(nèi)容，創(chuàng)造性地確定單元教學(xué)目標(biāo)；其次再確定本主題”二次開發(fā)”的具體內(nèi)容與教學(xué)策略.從邏輯角度上講其過程可以分為三部分，分別是“從何而來”“現(xiàn)在在哪兒”“將去哪兒”“從何而來”體現(xiàn)知識的邏輯起點(diǎn)，在舊有的知識體系中探尋引入的事例.于是抽樣方法，統(tǒng)計圖表，用平均數(shù)、極差等統(tǒng)計量刻畫集中趨勢就成為本節(jié)課分析問題的依據(jù)，即依托這些上位知識進(jìn)行問題的開展；“現(xiàn)在在哪兒\"解決了知識的生成與內(nèi)化.本節(jié)課通過“極差”“平均距離”以及“標(biāo)準(zhǔn)差”三種數(shù)學(xué)形式對三個樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，體驗(yàn)方差概念的形成過程，以及用樣本的數(shù)字特征去估計總體的統(tǒng)計思想；“將去哪兒”讓知識的深度發(fā)展成為可能.于是借助具體情境求離散型隨機(jī)變量的期望與方差就成為下期教學(xué)的目標(biāo)，即開展下位知識的教學(xué).

3.2 教材的二次開發(fā)應(yīng)注意提升學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力

深度學(xué)習(xí)的核心特征是高階思維，發(fā)展高階思維能力有助于實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，同時深度學(xué)習(xí)又有助于促進(jìn)學(xué)習(xí)者高階思維能力的發(fā)展.而教科書上呈現(xiàn)的并不是課堂教學(xué)的全部內(nèi)容，只是為師生提供的基本素材和范例.受教材篇幅的限制，不可能把知識的來龍去脈全部呈現(xiàn)，而是凸顯某些重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).所以在本節(jié)課中，教師先通過情境1引導(dǎo)學(xué)生利用平板等現(xiàn)代工具，采用統(tǒng)計圖表及數(shù)據(jù)分析的形式對“極差”“平均距離”以及“標(biāo)準(zhǔn)差”這三種數(shù)學(xué)形式去刻畫離散程度的特點(diǎn)進(jìn)行深入比較，使學(xué)生真實(shí)地感受到“標(biāo)準(zhǔn)差”的作用及其意義.后續(xù)通過情境2的設(shè)置，不僅要求用兩種方法去探求兩個平臺的總樣本方差，進(jìn)而得到其一般化的結(jié)論，然后再探求三個平臺的總樣本方差，直至 n（n?4） 組數(shù)據(jù)的總樣本方差，這樣通過階梯式的問題設(shè)置從而提升了學(xué)生探究問題的能力.

通過這節(jié)課的二次開發(fā)設(shè)計的教學(xué)活動，遵循了從簡單到復(fù)雜、從實(shí)踐到理論、從基本思維到高階思維的原則，達(dá)到進(jìn)階的終點(diǎn)，力圖實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

3.3教材的二次開發(fā)應(yīng)注意著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《課標(biāo)》指出：“要結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點(diǎn)、生長點(diǎn)；要注意數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)”[1].在本節(jié)課的教學(xué)中，首先以統(tǒng)計概念為抓手，通過解決“游戲《黑神話：悟空》”的相關(guān)問題鏈，讓學(xué)生系統(tǒng)經(jīng)歷獲取數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，最后形成結(jié)論的過程，這正是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的具體體現(xiàn).另外，教學(xué)中情境2通過從特殊到一般，求出兩層、三層乃至 n（n?4） 組數(shù)據(jù)合并問題的分層抽樣的方差.這正是邏輯推理素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)活動的基本形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.教師作為溝通學(xué)生和教材的媒介，應(yīng)當(dāng)充分了解學(xué)生需要與教材的關(guān)系，只有在理解教材和學(xué)生需要的前提下，才能立足差異、彈性教學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)教材的二次開發(fā).

參考文獻(xiàn)

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作者簡介黃加衛(wèi)（1971—），男，浙江湖州人，中學(xué)高級教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)；發(fā)表論文200余篇.