中圖分類號(hào)：TH161 DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.004

Instantaneous Milling Force Modeling and Coefficient Calibration Method of Variable Helical Circular-arc End Mills with Unequal Rake Angle

QI Shutao LI Jiaqi ZHENG Shucai XU Jinting SUN Yuwen* School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，

Abstract：Variable helical end mills with unequal rake angle maight effectively suppress milling chatters，which significantly improved the machined surface quality and simultaneously reduced the risk of tool breakages，however，due to the unequal geometric parameters of each cuttng edge，the existing models had dificulty to accurately predict the cuting forces，hence，a new instantaneous milling force modeling and coefficient calibration method were proposed. Firstly，the geometry and position relational expression of the cuting edges for variable helical circular-arc end mills were given， then considering the tool runout and variation of geometrical parameters of cutting edges，an instantaneous uncut chip thickness calculation and element cuting force prediction model was established; Subsequently，a nonlinear optimization method to simultaneously calibrate the cutting force coefficients and tool runout parameters was proposed，and an efcient algorithm for solving the model parameter initial values was also given based on linear least squares and oblique cutting theory. The experimental results show that the amplitude and waveform of predicted cutting forces are consistent with the measured ones with errors of less than 15% ，verifying the effectiveness of the proposed model.

Key words： unequal rake angle; variable helix end mill; flank milling； milling force;cutting force coefficient identification

0 引言

變螺旋銑刀因其優(yōu)異的抑振性能而在航空航天等領(lǐng)域結(jié)構(gòu)件的加工中得到廣泛應(yīng)用[1]。然而，因變螺旋銑刀各齒螺旋角不同，導(dǎo)致各刀刃強(qiáng)度也不相同，從而顯著增加了崩刃風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)各刀齒采用不等前角設(shè)計(jì)可有效解決上述問(wèn)題2，但與常規(guī)銑刀相比，不等前角變螺旋銑刀各刀齒的前角和螺旋角均不相同，理論上各齒切削力系數(shù)也存在較大差異，因此，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)該類刀具切削力的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，需針對(duì)上述問(wèn)題開展相關(guān)的建模分析。

當(dāng)前，對(duì)切削力的建模主要包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚3]、有限元仿真模型[4]、基于切削機(jī)理的解析模型[5]、機(jī)械力學(xué)模型[6-7]等，其中機(jī)械力學(xué)模型由于可實(shí)現(xiàn)對(duì)瞬時(shí)切削力的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)而在銑削加工中廣泛應(yīng)用。以機(jī)械力學(xué)模型為基礎(chǔ)，目前針對(duì)變螺旋銑刀切削力系數(shù)的標(biāo)定主要有兩種處理方式。一是對(duì)于等法向前角的刀具，通常忽略螺旋角差異引起的影響，假定各齒切削力系數(shù)是一致的。如NIU等8假定各齒切削力系數(shù)相同，以此建模并通過(guò)非線性優(yōu)化實(shí)現(xiàn)切削力系數(shù)與跳動(dòng)參數(shù)的并行標(biāo)定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證實(shí)了其假設(shè)的可行性。目前該假設(shè)在等前角變螺旋銑刀的動(dòng)力學(xué)建模中廣泛應(yīng)用[9-10]。二是基于正交斜變換計(jì)算各個(gè)刀齒的切削力系數(shù)，該方法的關(guān)鍵在于獲取與工件-刀具相關(guān)的材料剪切屈服強(qiáng)度、剪切角、摩擦角等參數(shù)。如CHEN等[11]基于斜角切削理論，引入材料J-C本構(gòu)來(lái)計(jì)算上述參數(shù)，該方法無(wú)需開展加工實(shí)驗(yàn)，但需提前明確材料的本構(gòu)參數(shù)，同時(shí)由于模型存在較多假設(shè)，辨識(shí)精度較難保證。施壯等[12]提出了一種基于線性回歸與正交斜變換相結(jié)合的切削力系數(shù)標(biāo)定方法，通過(guò)線性回歸獲得常規(guī)銑刀的平均切削力系數(shù)，并將其作為輸入反求上述參數(shù)，然后進(jìn)一步地將各齒的幾何參數(shù)代入計(jì)算切削力系數(shù)。該方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)變螺旋銑刀各個(gè)刀齒切削力系數(shù)的辨識(shí)，但需要采用與變螺旋銑刀材質(zhì)一致的常規(guī)銑刀開展銑削加工實(shí)驗(yàn)，且無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)刀具跳動(dòng)參數(shù)的標(biāo)定。

對(duì)于不等前角變螺旋圓弧立銑刀，因其各齒螺旋角和前角均不相同，采用各齒切削力系數(shù)一致的假設(shè)極有可能帶來(lái)大的預(yù)測(cè)誤差，同時(shí)其側(cè)銑加工過(guò)程中圓弧刃與側(cè)刃均參與切削，而由于結(jié)構(gòu)差異，其圓弧刃與側(cè)刃切削力系數(shù)不相同[13]，此外，刀具制造誤差或裝夾偏差帶來(lái)的刀具跳動(dòng)也不可忽略[14]，因此，在此情況下，現(xiàn)有的切削力建模與系數(shù)標(biāo)定方法已不能實(shí)現(xiàn)其瞬時(shí)切削力的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)?；诖耍疚奶岢隽瞬坏惹敖亲兟菪龍A弧立銑刀瞬時(shí)切削力的準(zhǔn)確建模及切削力系數(shù)標(biāo)定方法。

1不等前角變螺旋立銑刀瞬時(shí)切削力模型

1.1 變螺旋圓弧立銑刀幾何描述

變螺旋圓弧立銑刀的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示，其同一切削刃上的螺旋角保持一致，但各切削刃采用的螺旋角不同。與常規(guī)平底立銑刀相比，主要表現(xiàn)出兩大差異。

一是其切削刃由兩部分組成，分別位于圓弧面和圓柱面上，并在圓弧部分的頂點(diǎn)處相交，如圖1b所示。其中，圓弧部分的切削刃可視作由等直徑平頭銑刀的螺旋切削刃投影到圓弧部分的圓弧面上得到。一般情況下圓弧部分為等導(dǎo)程刃形曲線，圓柱部分為等螺旋角刃形曲線[15-16]，因此其第 j 個(gè)刀齒軸向高度 z 處的螺旋滯后角滿足

θ_j（z）=ztanβ_j/R

式中： β_j 為第 j 個(gè)刀齒的螺旋角； R 為刀具半徑。

定義刀具圓弧半徑為 r ，則軸向高度 z 處切削刃的有效切削半徑 R_z 和軸向浸入角 κ_z 可表示為

式中： R_r 為底部半徑，滿足 R_r=R-r 。

二是其各齒齒間角不同，且沿刀具軸向發(fā)生變化。如圖1c所示，將切削刃沿軸向離散為一系列切削微元，定義 （j，l） 表示第 j 個(gè)齒的第 l 個(gè)微元切削刃， z_l 為微元切削刃的軸向高度， ?_j，l 為第ξ_l 個(gè)微元切削刃處第 j 個(gè)刀齒與 j-1 個(gè)刀齒間的齒間角，則任意微元切削刃的齒間角及對(duì)應(yīng)的單齒進(jìn)給量分別表示為

z_l=lΔz

式中： N_Ωt 為刀具齒數(shù)； ?_j，0 為第 j 個(gè)刀齒刀具自由端的齒間角； Δz 為相鄰兩個(gè)軸向?qū)游⒃g的距離，滿足 Δz= 為總的離散微元數(shù)， 為軸向切深； f 為進(jìn)給速度； 為主軸轉(zhuǎn)速。

如圖2所示，定義刀具坐標(biāo)系為 oxyz ，以 y 軸正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，沿刀具旋轉(zhuǎn)方向計(jì)算微元切削刃的徑向位置角，則任意 為正整數(shù)）時(shí)刻微元切削刃 （j，l） 的位置角 φ_j，l（t_i） 可以表示為

其中， Ψ_j，0 為第 j 個(gè)齒的自由端與第1個(gè)齒自由端之間的滯后角，滿足

1.2 考慮跳動(dòng)的瞬時(shí)未變形切屑厚度模型

在多齒銑削加工過(guò)程中，由于刀具本身的制造誤差或者刀具裝夾產(chǎn)生的位置偏差，刀具實(shí)際旋轉(zhuǎn)中心會(huì)偏離其幾何中心，導(dǎo)致微元切削刃的實(shí)際旋轉(zhuǎn)半徑發(fā)生改變，進(jìn)而引起瞬時(shí)未變形切屑厚度的變化。

刀具跳動(dòng)主要包括軸向傾斜和徑向跳動(dòng)兩部分，采用刀具傾斜角度 τ 、刀具傾斜定位角 ψ ，偏移距離 ρ 和偏移定位角 λ 來(lái)進(jìn)行表征。WAN等[14]通過(guò)對(duì)比三種不同類型的刀具跳動(dòng)模型發(fā)現(xiàn)，徑向跳動(dòng)模型相對(duì)簡(jiǎn)單且具有良好的預(yù)測(cè)精度。由于本文主要針對(duì)常規(guī)刀具懸深銑削加工過(guò)程，刀具軸向偏擺相對(duì)較小，因此僅考慮徑向跳動(dòng)的情形。如圖3所示，徑向跳動(dòng)主要由 ρ 和 λ 兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行表征，其中 ρ 為偏置軸 O_TO_T^′ 與機(jī)床主軸中心軸 O_MO_M^′ 之間的距離，入為偏置軸 O_TO_T^′ 與刀齒1之間的夾角，則各個(gè)微元切削刃的實(shí)際有效切削半徑 R_j，ι 可以表示為

R_j，l=

式中： R_l 為沿軸向第 l 個(gè)微元切削刃處的理論有效切削半徑，可代人式（2）計(jì)算獲得。

如圖3b所示，受刀具跳動(dòng)的影響，當(dāng)前微元切削刃并不總是切削與其相鄰的前一個(gè)刀齒對(duì)應(yīng)微元切削刃留下的表面，從而導(dǎo)致其瞬時(shí)未變形切屑厚度也發(fā)生變化。對(duì)于該情形，假定微元切削刃 （j，l） 的多重再生因子為 m（m=1，2，…， （204N_t^? ，即第 j 個(gè)刀齒軸向高度 z_l 處的微元切削刃在 t_i 時(shí)刻將切削 m 個(gè)刀齒之前對(duì)應(yīng)微元切削刃留下的表面（如對(duì)于圖中刀齒1，當(dāng) m 為2時(shí)，其切削的區(qū)域?yàn)榈洱X3（綠色軌跡）與刀齒1（右側(cè)紅色軌跡）所夾的區(qū)域），則實(shí)際的靜態(tài)瞬時(shí)未變形切屑厚度 h_j，l（t_i，m） 可以表示為[17]

h_j，l（t_i，m）=（R_j，l-R_jm，l+

f_j，l（m）sinφ_j，l（t_i））sinκ_l

其中， κ_l 為沿軸向第 ξ_l 個(gè)微元切削刃的軸向浸入角，可代人式（3）進(jìn)行計(jì)算；多重再生因子 Ψ_m 以及對(duì)應(yīng)的實(shí)際靜態(tài)瞬時(shí)未變形切屑厚度 h_j，l（t_i，m） 可以根據(jù)下式計(jì)算7」：

h_j，l（t_i，m）=max（min（（R_j，l-R_jm，l+

f_j，l（m）sinφ_j，l（t_i））sinκ_l），0）

1.3 瞬時(shí)切削力計(jì)算模型

對(duì)于不等前角變螺旋圓弧立銑刀，由于其各刀齒前角及螺旋角不同，理論上各刀齒對(duì)應(yīng)的切削力系數(shù)也不相同，因此需在切削力模型中分別引人相應(yīng)參數(shù)。然而，參數(shù)增多也將導(dǎo)致模型過(guò)于復(fù)雜，增加參數(shù)標(biāo)定的難度。為此，本文作出如下假設(shè)： ① 由于各個(gè)刀齒通常采用相同的刃口鈍化方式，因此假定各刀齒犁耕力系數(shù)是一致的； ② 由于主要針對(duì)側(cè)銑加工過(guò)程，因此圓弧刃部分沿軸向高度各處的剪切力系數(shù)也假定是一致的。由此，在前述瞬時(shí)未變形切屑厚度建模的基礎(chǔ)上，基于線性機(jī)械切削力模型，刀具切向、徑向和軸向微元切削力可以表示為

式中： 分別為第 j 個(gè)刀齒圓弧刃部分的切向、徑向和軸向剪切力系數(shù);Ktc，L.j、Krc，L，j、Kac，L，j分別為第 j 個(gè)刀齒側(cè)刃部分的切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)； K_te?K_re?K_ae 分別為刀具的切向、徑向和軸向犁耕力系數(shù)； db 為微元切削刃的寬度， dS_j，l 為第j 個(gè)刀齒上第 ξ_l 個(gè)微元切削刃的長(zhǎng)度； g（φ_j，l（t_i）） 為單位階躍函數(shù)，用于判斷當(dāng)前時(shí)刻微元切削刃是否處于切削狀態(tài)； φ_{st，j，l}?φ_{ex，j，l} 分別為切入角和切出角，可根據(jù)文獻(xiàn)[8]分別計(jì)算。

如圖2所示，通過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，可以得到在刀具坐標(biāo)系 oxyz 下的切削力分量：

其中， T_j，l（t_i） 為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，表示為

進(jìn)一步地，將當(dāng)前時(shí)刻銑刀所有參與切削的微元切削刃受到的切削力疊加，即可得到該時(shí)刻的瞬時(shí)整體切削力，如下式所示：

2 銑削力系數(shù)與跳動(dòng)參數(shù)的并行標(biāo)定

根據(jù)前一節(jié)分析，所建切削力模型中存在刀具跳動(dòng)、各齒圓弧刃和側(cè)刃剪切力系數(shù)以及犁耕力系數(shù)等多個(gè)參數(shù)，因此，本文采用非線性優(yōu)化方法對(duì)切削力系數(shù)與跳動(dòng)參數(shù)進(jìn)行并行標(biāo)定。

2.1基于線性最小二乘法與正交斜變換的切削力系數(shù)初值估算

對(duì)于非線性優(yōu)化問(wèn)題，參數(shù)初值和搜索區(qū)間的設(shè)定會(huì)直接影響優(yōu)化的效率和精度。

根據(jù)線性機(jī)械力學(xué)模型[6-7]，當(dāng)同一時(shí)刻僅有一個(gè)刀齒切削且不考慮刀具跳動(dòng)時(shí)，切削力與切削力系數(shù)成線性關(guān)系。在此情況下，基于線性最小二乘法可實(shí)現(xiàn)對(duì)切削力系數(shù)的快速求解[14]。對(duì)于本文所建切削力模型，由于同時(shí)考慮了刀具跳動(dòng)以及各刀齒切削力系數(shù)的差異，理論上線性最小二乘法已不適用于其切削力系數(shù)的標(biāo)定，然而由于切削力系數(shù)的初值主要是用于確定非線性優(yōu)化的初始搜索區(qū)間，同時(shí)線性最小二乘法求解效率高且具有一定的計(jì)算精度，因此本文采用線性最小二乘法對(duì)模型參數(shù)的初值進(jìn)行快速估算。具體地，假定各個(gè)刀齒剪切力系數(shù)相同并忽略刀具跳動(dòng)的影響，然后截取穩(wěn)定切削狀態(tài)下一個(gè)切削周期的實(shí)測(cè)切削力數(shù)據(jù)作為輸入，通過(guò)線性最小二乘法分別估算圓弧刃和側(cè)刃的切削力系數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，針對(duì)不同刀齒刃口參數(shù)的差異，進(jìn)一步根據(jù)斜角切削理論估算不同刀齒間剪切力系數(shù)的比值，以此來(lái)保證優(yōu)化結(jié)果中各參數(shù)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。對(duì)于斜角切削，其切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)可以表示為如下形式[18]：

式中： τ_s 為材料剪切強(qiáng)度； η 為刃傾角（對(duì)于立銑刀即為螺旋角）； γ_n 為刀具法向前角； β_a 為摩擦角，其值可以依據(jù)tan β_a≈K_rc/K_tc 進(jìn)行估算，公式右側(cè)的參數(shù)來(lái)自于線性最小二乘法獲得的參數(shù)值； φ_n 為法向剪切角，其值滿足φ_n=0.25π-0.5（β_a-γ_n） 。

根據(jù)式（19），以刀齒1為基準(zhǔn)，則刀齒 j 與其剪切力系數(shù)的比值可以表示為

綜合上述分析，所建切削力模型的系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為犁耕力系數(shù) K_Δte?K_Δre?K_ae ，刀齒1圓弧刃部分的剪切力系數(shù) ，側(cè)刃部分剪切力系數(shù) ，以及其余各刀齒剪切力系數(shù)與刀齒1剪切力系數(shù)的比值 等參數(shù)的標(biāo)定問(wèn)題。

2.2基于非線性優(yōu)化的切削力系數(shù)與跳動(dòng)參數(shù)并行標(biāo)定方法

由前文切削力模型可知，若跳動(dòng)參數(shù)和切削力系數(shù)為已知量，則任意時(shí)刻 iΔt 的切削力可通過(guò)式 （13）～ 式（18）計(jì)算，其中 Δt 為切削力采樣周期。由理論切削力與其實(shí)測(cè)值的等量關(guān)系，可得到如下方程組：

其中，等式左側(cè)為理論計(jì)算的切削力，右側(cè)為穩(wěn)態(tài)切削下測(cè)量的切削力。假設(shè)一個(gè)采樣周期采集到的切削力數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為 n_sam ，則滿足式（21）的非線性方程組可轉(zhuǎn)化為如下式所示的極值選優(yōu)問(wèn)題：

本文采用遺傳算法求解問(wèn)題 P 。需要指出的是，盡管通過(guò)線性最小二乘法和正交斜變換估算了各個(gè)未知參數(shù)的初值，但在進(jìn)行遺傳算法求解時(shí)，為保證優(yōu)化結(jié)果的可靠性，仍需要在估算的初值基礎(chǔ)上設(shè)定各個(gè)參數(shù)的上下區(qū)間。如對(duì)于參數(shù)K_Δte ，其估算初值為 A ，則其參數(shù)的上下區(qū)間可以表示為 [uA，vA] 。為了減小搜索范圍，提高計(jì)算效率， u 和 v 可分別在區(qū)間 01 內(nèi)依據(jù)線性最小二乘法擬合的切削力與實(shí)測(cè)切削力的對(duì)比結(jié)果中進(jìn)行選擇。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步根據(jù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行修正，以保證參數(shù)的辨識(shí)精度。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖4所示，為了驗(yàn)證所提模型的有效性，采用五軸加工中心開展銑削加工實(shí)驗(yàn)，同時(shí)采用Kistler9257B測(cè)力儀采集切削力數(shù)據(jù)，設(shè)定采樣頻率為 10kHz 。實(shí)驗(yàn)工件為 100mm×50mm× 80mm 的 1Cr15Ni4Mo3N 不銹鋼塊，通過(guò)螺栓連接固定在測(cè)力儀上。刀具采用直徑 20mm 、圓弧半徑 3mm 的四齒不等齒距不等螺旋涂層硬質(zhì)合金立銑刀，其各齒刀刃幾何參數(shù)如表1所示。根據(jù)合作航空制造企業(yè)提供的工藝數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)銑削實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表2所示，其中第1組實(shí)驗(yàn)用于切削力系數(shù)的標(biāo)定，第 2～6 組用于進(jìn)一步驗(yàn)證所提模型和標(biāo)定結(jié)果，所有實(shí)驗(yàn)均采用逆銑并采用乳化液進(jìn)行冷卻潤(rùn)滑。

基于本文所提優(yōu)化方法擬合的切削力結(jié)果如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)仿真曲線與實(shí)測(cè)曲線具有良好的一致性，盡管由于模型簡(jiǎn)化或?qū)嶒?yàn)誤差帶來(lái)一定的差異，但切削力峰值誤差均在 5% 以內(nèi)。擬合的切削力系數(shù)以及刀具跳動(dòng)參數(shù)如表3和表4所示。可以發(fā)現(xiàn)盡管在實(shí)驗(yàn)軸向切深內(nèi)刀齒2與刀齒4對(duì)應(yīng)的每齒進(jìn)給量小于刀齒1和刀齒3的每齒進(jìn)給量，但由于采用負(fù)前角設(shè)計(jì)，因此具有更大的剪切力系數(shù)，導(dǎo)致其切削力峰值明顯大于刀齒1和刀齒3的切削力峰值。上述結(jié)果表明：對(duì)于不等前角變螺旋銑刀，刀齒幾何參數(shù)差異帶來(lái)的影響不可忽略，已不能采用各齒切削力系數(shù)相同的假設(shè)開展相關(guān)的建模分析。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，基于標(biāo)定的系數(shù)分別對(duì)另外5組參數(shù)的切削力進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中考慮到軸向切削力對(duì)側(cè)銑加工影響較小，主要對(duì) x 向和 y 向的切削力進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見圖6。

可以發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)切削力波形與實(shí)測(cè)結(jié)果具有良好的一致性，切削力峰值誤差均在 15% 以內(nèi)，驗(yàn)證了所提模型及系數(shù)標(biāo)定方法的可靠性。

4結(jié)論

1）本文針對(duì)不等前角變螺旋圓弧立銑刀側(cè)銑加工過(guò)程，綜合考慮不同刀齒以及各刀齒圓弧刃與側(cè)刃之間刃形參數(shù)的差異，同時(shí)慮及刀具跳動(dòng)等因素，實(shí)現(xiàn)了對(duì)刀具瞬態(tài)切削力的準(zhǔn)確建模。

2）針對(duì)非線性優(yōu)化過(guò)程難收斂，優(yōu)化結(jié)果不合理的問(wèn)題，提出了基于線性最小二乘法與正交斜變換相結(jié)合的模型參數(shù)初值高效求解算法，有效保證了切削力系數(shù)的辨識(shí)精度。

3）不同切削參數(shù)下的切削力預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)結(jié)果表明，預(yù)測(cè)切削力波形與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性，切削力峰值誤差均在 15% 以內(nèi)，驗(yàn)證了所提模型及系數(shù)標(biāo)定方法的有效性。

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（編輯 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：齊書韜，男，1996年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡y加工材料航空構(gòu)件高質(zhì)高效加工技術(shù)。E-mail：qstl012@163.com.孫玉文\"（通信作者），男，1971年生，教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閿?shù)字化制造與數(shù)控加工技術(shù)。E-mail：yusun@dlut. edu.cn，

本文引用格式：

齊書韜，李佳奇，鄭書材，等.不等前角變螺旋圓弧立銑刀瞬時(shí)銑削力建模與系數(shù)標(biāo)定方法[J]，中國(guó)機(jī)械工程，2025，36（4），681-687.

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