幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界\"的主要表現(xiàn)之一，其主要是指利用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。幾何直觀有助于學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下通稱“新課標(biāo)\"）對(duì)幾何直觀內(nèi)涵和作用功能的描述中可以看出，幾何直觀不僅可以把復(fù)雜和抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象、生動(dòng)，還可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題。

一、借助幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系的價(jià)值

在學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系時(shí)，幾何直觀有五個(gè)方面的價(jià)值：一是便于可視化。能將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形、圖像等可視形式。例如，把復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用坐標(biāo)圖呈現(xiàn)，或者用圖形表示工程進(jìn)度與時(shí)間的關(guān)系，讓人一眼就能“看\"到數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，降低理解難度。二是便于增強(qiáng)記憶?？梢暬某尸F(xiàn)方式更利于大腦記憶。相較于單純記憶公式、數(shù)字等抽象內(nèi)容，通過(guò)觀察幾何直觀所展現(xiàn)的具體圖形、實(shí)例，學(xué)生更容易記住數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)及變化規(guī)律，回憶起來(lái)也更便捷。三是便于快速理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。幾何直觀能幫助學(xué)生快速理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。以“購(gòu)物時(shí)折扣與總價(jià)的關(guān)系”為例，用圖形劃分表示原價(jià)和折扣價(jià)，學(xué)生能迅速明白折扣高低對(duì)總價(jià)的影響，無(wú)需復(fù)雜的計(jì)算推導(dǎo)，可在短時(shí)間內(nèi)理解數(shù)量關(guān)系的核心要點(diǎn)。四是便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系中的潛在規(guī)律。例如，在觀察數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在坐標(biāo)圖上的分布時(shí)，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)呈現(xiàn)出某種線性或非線性規(guī)律，進(jìn)而深入探究數(shù)量關(guān)系背后的邏輯，并進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。五是便于溝通交流。在教學(xué)、團(tuán)隊(duì)合作等場(chǎng)景中，幾何直觀是一種很好的溝通工具。用圖形解釋數(shù)量關(guān)系，不同知識(shí)水平的學(xué)生都能更輕松理解，能有效避免因?qū)Τ橄蟊硎隼斫獠灰恢露a(chǎn)生的溝通障

礙，確保信息準(zhǔn)確傳達(dá)。

二、打造理解數(shù)量關(guān)系的幾何直觀載體

一是利用實(shí)物教具(小棒、積木、珠子等實(shí)物)理解數(shù)量關(guān)系。例如，用小棒演示加法，讓學(xué)生直觀看到幾根小棒和另外幾根小棒合在一起的數(shù)量變化，理解加法就是把兩部分?jǐn)?shù)量合并的運(yùn)算，從而明白數(shù)量增加的關(guān)系。用積木搭建不同的造型，如搭建長(zhǎng)方體時(shí)，讓學(xué)生數(shù)出每層積木的塊數(shù)以及層數(shù)，理解乘法是幾個(gè)相同加數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，像每層3塊積木，搭了4層，就是4個(gè)3相加，用乘法 3×4 表示，建立起乘法與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系。

二是繪制簡(jiǎn)單圖形理解數(shù)量關(guān)系。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖形來(lái)表示數(shù)量。例如，畫圓形表示蘋果，畫幾個(gè)圓形就代表有幾個(gè)蘋果。如果要表示吃掉了一部分蘋果，就可以把相應(yīng)數(shù)量的圓形涂掉，讓學(xué)生通過(guò)觀察剩余圓形的數(shù)量，理解減法中數(shù)量減少的關(guān)系。畫線段圖表示路程、速度和時(shí)間的關(guān)系，用一條線段表示一段路程，在線段上按一定比例劃分出不同時(shí)間段走過(guò)的路程，幫助學(xué)生理解隨著時(shí)間變化，路程也會(huì)相應(yīng)改變的數(shù)量關(guān)系。

三是借助生活場(chǎng)景理解數(shù)量關(guān)系。在日常生活場(chǎng)景中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系。例如，在購(gòu)物時(shí)，教師可讓學(xué)生觀察商品的標(biāo)價(jià)簽，用長(zhǎng)方形表示商品的總價(jià)，把長(zhǎng)方形按照單價(jià)劃分成若干等份，每一份代表一件商品的價(jià)格，明白總價(jià)和單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系（總價(jià) Σ=Σ 單價(jià) ?× 數(shù)量)。在分水果時(shí)，把水果擺放成幾行幾列，用行數(shù)和列數(shù)來(lái)表示數(shù)量，讓學(xué)生理解平均分與除法的關(guān)系，如一共有12個(gè)水果，擺成3行4列，那么 12÷3=4 ，即每行有4個(gè)水果，通過(guò)這樣的生活場(chǎng)景讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受數(shù)量關(guān)系。

四是開展游戲活動(dòng)理解數(shù)量關(guān)系。教師可設(shè)計(jì)一些有趣的游戲來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。例如，玩“數(shù)字拼圖\"游戲，把一幅完整的圖片按照一定的數(shù)量關(guān)系分成若干小塊，分成幾行幾列，每小塊上標(biāo)有數(shù)字，學(xué)生需要根據(jù)數(shù)字的排列順序和數(shù)量關(guān)系把圖片拼好，在游戲過(guò)程中感受數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)量的組合關(guān)系。還可以玩“搭房子\"游戲，規(guī)定用一定數(shù)量的積木搭建房子，讓學(xué)生根據(jù)自已的理解分配積木的使用，如用多少塊做墻、多少塊做屋頂?shù)?，在這個(gè)過(guò)程中理解數(shù)量的分配和整體與部分的數(shù)量關(guān)系。

五是運(yùn)用多媒體資源理解數(shù)量關(guān)系。教師可利用動(dòng)畫片、教育軟件等多媒體資源輔助教學(xué)。有些動(dòng)畫片會(huì)巧妙地把數(shù)量關(guān)系融入故事情節(jié)中，通過(guò)動(dòng)畫角色的活動(dòng)展示數(shù)量的變化，學(xué)生可以直觀地看到這些變化并理解其中的數(shù)量關(guān)系。教育軟件則可以提供互動(dòng)式的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，如讓學(xué)生通過(guò)觸摸屏幕操作圖形來(lái)理解數(shù)量關(guān)系，在玩的過(guò)程中提升對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解能力。

三、利用幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的策略

（一）借助幾何直觀的可視化，化抽象為形象

數(shù)學(xué)的抽象性與小學(xué)生以具體形象思維為主的矛盾是客觀存在的，幾何直觀因其特有的直觀形象性，與小學(xué)生的思維規(guī)律合拍，正是化解這一矛盾的有力抓手。在教學(xué)中，教師可借助幾何直觀的形象性，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)的抽象性提供可視化的思維支撐，有效破解學(xué)生的思維難點(diǎn)。分析數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的核心，當(dāng)數(shù)量關(guān)系抽象時(shí)，幾何直觀的形象性，便于學(xué)生簡(jiǎn)潔明了地看懂題目中的各種數(shù)學(xué)信息，并找出各種信息之間的數(shù)量關(guān)系，化抽象為形象。

例如，在教學(xué)一年級(jí)“做操排隊(duì)成一行，笑笑的左邊有5個(gè)小朋友，右邊有6個(gè)小朋友，這一行共有多少個(gè)小朋友？”問(wèn)題解決時(shí)，這道題隱藏著一個(gè)條件，對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)量關(guān)系抽象。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維“卡殼\"時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生把笑笑排隊(duì)的隊(duì)伍畫出來(lái)。此時(shí)的畫圖，正是基于學(xué)生的需求，因此，學(xué)生不難畫出如下示意圖：

5人 笑笑 6人0000o?○0000o？人

抽象的數(shù)量關(guān)系因?yàn)閹缀沃庇^變得直觀、形象、可感，原來(lái)隱藏的數(shù)量關(guān)系也清楚地展示在學(xué)生的眼前，學(xué)生從中能感受到幾何直觀的作用。

(二)借助幾何直觀的可視化，化錯(cuò)誤為資源

學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷試錯(cuò)、出錯(cuò)、糾錯(cuò)的過(guò)程。學(xué)生在問(wèn)題解決中出現(xiàn)錯(cuò)誤是很正常的，關(guān)鍵是教師要善于預(yù)設(shè)學(xué)生的錯(cuò)誤，并借助幾何直觀，幫助學(xué)生厘清錯(cuò)誤的根源。

例如，在教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“問(wèn)題解決”一“人才小學(xué)原來(lái)有一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)50米，寬40米。擴(kuò)建花圃時(shí)，花圃的長(zhǎng)和寬都增加了10米?；ㄆ缘拿娣e增加了多少平方米？\"時(shí)，多數(shù)學(xué)生僅憑字面上的理解很容易列出了 10×10=100 （平方米）”的算式。此時(shí)，教師不急于評(píng)價(jià)學(xué)生的對(duì)錯(cuò)，而是借機(jī)設(shè)問(wèn)：這樣列式對(duì)嗎？請(qǐng)你想辦法證明。為了證明自已的解法是正確的，學(xué)生自然會(huì)想到畫圖，把題目的意思畫出來(lái)。學(xué)生借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)解法錯(cuò)了，面積增加的部分不是邊長(zhǎng)為10的小正方形，而是一個(gè)不規(guī)則的圖形，應(yīng)該用“大面積減去小面積等于增加部分的面積”的數(shù)量關(guān)系列式。學(xué)生利用幾何直觀，不僅發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤所在，還用常規(guī)解法得出正確的結(jié)果，初步感受幾何直觀的作用。教師乘機(jī)追問(wèn)：“如果不用大面積減小面積的方法，還有其他方法嗎？”思考片刻后，學(xué)生又把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或三個(gè)規(guī)則圖形，獲得多種解法，又一次感受幾何直觀的作用。

（三)借助幾何直觀的可視化，化復(fù)雜為簡(jiǎn)潔

數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美不僅表現(xiàn)在公式美上，也體現(xiàn)在幾何直觀給解題帶來(lái)的解法簡(jiǎn)潔美上。為此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，借助幾何直觀引領(lǐng)學(xué)生感悟解題方法的簡(jiǎn)潔之美，感受幾何直觀化復(fù)雜為簡(jiǎn)潔的作用。

例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)問(wèn)題“巧巧是個(gè)愛讀書的同學(xué)，計(jì)劃分三次讀完一本科技書。按計(jì)劃巧巧第一次讀了這本科技書總頁(yè)數(shù)的 ，第二次讀了余下的 了12頁(yè)，這本書共有多少頁(yè)？\"時(shí)，這道題有多種思路一順向思維、逆向思維、直觀思維。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷順向思維和逆向思維兩種方法分析數(shù)量關(guān)系。

方法一：以科技書的總頁(yè)數(shù)為單位“1”，把第二次讀了余下的 轉(zhuǎn)化總頁(yè)數(shù)的 則第三次讀了總頁(yè)數(shù)的 ， ，12頁(yè)相當(dāng)于總頁(yè)數(shù)的 故得，這本書共有 12÷ （頁(yè)）。

方法二：把這本書余下的頁(yè)數(shù)看作單位“1”，則第三次讀了余下的 第三次比第二次多讀了余下頁(yè)數(shù)的 12頁(yè)相當(dāng)于余下頁(yè)數(shù)的 ，求得余下的頁(yè)數(shù)是 （頁(yè)），60頁(yè)相當(dāng)于總頁(yè)數(shù)的 故得，這本書有 180(頁(yè))(如圖1)。

當(dāng)學(xué)生體驗(yàn)到兩種解法分析數(shù)量關(guān)系的繁難后，教師提出問(wèn)題：“數(shù)學(xué)是數(shù)形結(jié)合的，你們從數(shù)的角度用順向、逆向兩種思維分析了這道題的結(jié)果。轉(zhuǎn)一個(gè)角度，能不能從形的角度來(lái)分析這道題呢？”在問(wèn)題的激勵(lì)和方法一的啟發(fā)下，學(xué)生以直觀思維分析：把這本書的總頁(yè)數(shù)看成一個(gè)長(zhǎng)方形，平均分成15份，第一次讀了10份，第二次讀了2份，第三次讀了3份，從圖上直觀看出1份是12頁(yè)，全書15份，即12×15=180 （頁(yè)）。

總之，幾何直觀因其可視化，能較好地處理學(xué)生思維形象與數(shù)學(xué)抽象之間的矛盾，有助于學(xué)生明晰思維的路徑，是分析數(shù)量關(guān)系的有效抓手。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）