在一個古老的印度寓言中，六個盲人各自摸到了大象的不同部分。他們對大象的樣子意見不一：它是光滑的還是粗糙的？它像蛇（摸到象鼻的人認為）還是扇子（摸到象耳的人認為）？如果盲人能綜合他們的見解，他們可能就能正確描述大象的特征。然而，他們最終卻陷入了爭吵。

幾十年來，拓撲學家一直希望避免陷入類似的陷阱。他們認為可以通過綜合大量的局部測量來表征數(shù)學形狀。但新發(fā)現(xiàn)的、看似矛盾的彎曲空間表明，情況并非總是如此?！笆虑榭赡鼙任覀兿胂蟮囊獜碗s得多?！币獯罄┛颇岽髮W的埃利亞·布魯埃說，他與另外兩位數(shù)學家合作證明了這一點。

拓撲學家對他們所研究的形狀進行拉伸和壓縮。從拓撲學的角度來看，一條無限細的橡皮筋等同于一個圓，因為你可以很容易地將它變形為圓形。拓撲學家傾向于根據(jù)形狀的整體性質(zhì)來表征它們：它們是否有孔洞，像甜甜圈？它們是否無限延伸，像無限平面？或者它們是否拓撲“緊”的，像球面的曲面？它們的“直線”是否無限延伸——使它們成為數(shù)學家所說的“完備”——還是有盡頭？

但就像寓言中的大象一樣，很難直接感知拓撲形狀的整體性質(zhì)。因此，數(shù)學家希望了解它們與局部幾何性質(zhì)的關系，比如曲率。提供一個形狀在每個點處如何彎曲的信息，你能說出它的整體拓撲結(jié)構嗎？

1968年，當時在普林斯頓大學的著名數(shù)學家約翰·米爾諾猜測，一個完備形狀的平均曲率足以告訴我們它不可能有無限多個洞。在接下來的50年里，許多結(jié)果都支持了他的說法?！澳愫苋菀紫嘈潘钦娴?，因為在很多實際情況下它都是真的?！奔~約大學柯朗研究所的杰夫·切格爾說，“而且，你究竟如何才能構造出一個反例呢？”

在這個數(shù)學領域，多倫多大學的維塔利·卡波維奇說：“米爾諾猜想可能是最大的未解決問題?！?/p>

因此，在2020年，布魯埃和兩位同事著手證明它。他們最終找到了一個反例，并在這個過程中構建了一種全新的拓撲形狀?！斑@是一項了不起的工作，”切格爾說?！耙粋€里程碑?！?/p>

拓撲學的圣杯

要理解米爾諾的猜想，首先考慮拓撲學家和幾何學家如何思考曲率會有所幫助。

兩者都研究流形（即放大后看起來是平坦的空間）。一只在球面、甜甜圈或其他二維流形曲面上的小螞蟻，會感覺到它的緊鄰區(qū)域與二維平面沒有什么不同。但是，如果螞蟻向任何方向移動一點，它可能會注意到空間開始發(fā)生變化或彎曲。局部平坦流形的概念很容易推廣到更高維度，但曲率更難定義。

以最簡單的情況為例：一個一維物體，比如一個圓。令人驚訝的是，這些一維空間在數(shù)學意義上不能被內(nèi)在地彎曲。一個沿著圓行走的一維幾何學家，無法感知到超過一維的東西，會認為她在走直線——當她發(fā)現(xiàn)自己在往回走時會感到驚訝。

但是，如果你將一個圓嵌入到二維平面中，很明顯它具有恒定的、正的外在曲率。（這里的相關區(qū)別在于內(nèi)在和外在曲率：你被困在空間內(nèi)部之所見 vs 你從外部看它時之所見。）

較小的圓在你移動它們時彎曲得更快，因此具有更高的外在曲率；較大的圓具更低的曲率。（從這個意義上說，一條直線就像一個無限大的圓。它的曲率為零，表明它是完全平坦的。）我們也可以將這個定義應用于具有變化曲率的更復雜形狀，通過考慮在任何給定點上匹配該形狀所需的圓的大小。這樣，曲率就是一個局部性質(zhì)：流形上的每一點都有一個相關聯(lián)的曲率。

對于一個曲面——一個二維流形——有許多方法可以放置圓，使它們與曲面上的曲線相匹配。在給定的點上，你可以通過在該點放置一個適當大小的圓來測量曲率，該圓的大小與曲面在該點的曲率相匹配。然而，令人驚訝的是，在該點處曲面的曲率可以用一個數(shù)字來定義。如果你找到給出最大和最小曲率值的方向，并將這些值相乘，你就得到一個叫作高斯曲率的數(shù)字。這個數(shù)字以一種有用的方式總結(jié)了關于曲面如何彎曲的信息。更令人驚訝的是，高斯曲率是一個內(nèi)在性質(zhì)：它不依賴于曲面可能被放置的任何更高維背景空間。從這個意義上說，這看起來有點荒謬，盡管球面是內(nèi)在彎曲的，但是圓柱面不是。

以一個數(shù)字表示曲率

在曲面上的每一點上，曲率可以沿不同方向變化。將最大曲率和最小曲率相乘，得到一個信息量，稱為高斯曲率。

這個數(shù)字也幫助數(shù)學家得出關于空間拓撲的結(jié)論。

例如，假設在一個二維流形上的每一點，高斯曲率都是正的。那么拓撲學家可以證明它不可能像甜甜圈那樣有洞。（它要么是球面這種標準曲面，要么是另一種具有更復雜的可能性的曲面。）如果在每一點，高斯曲率都是零，那么有兩種可能的解，一種是有洞的，一種是沒有洞的：流形可能是平的，像無限平面，但它也可能是一個圓柱面或一個莫比烏斯帶。圓柱面與無限平面的不同之處在于它中間有一個洞。而莫比烏斯帶與圓柱面的不同之處在于它包含了扭曲。

在三個或更多維度中，通常不再可能用一個數(shù)字來捕捉關于曲率的有用信息。數(shù)學家們轉(zhuǎn)而使用“張量”來跟蹤曲率，張量可以被看作是一個數(shù)字數(shù)組，它根據(jù)特定的數(shù)學規(guī)則進行變換。有幾種不同的方法可以用張量來描述流形的曲率，但最重要的一種是所謂的里奇張量（Ricci張量）。像高斯曲率一樣，它將基本信息提煉成一種（相對）更簡單的形式。

與數(shù)字不同，張量不能被整齊地排序——但與數(shù)字一樣，如果滿足某個特定的屬性，張量可以被歸類為“非負”的。1968年，米爾諾猜測，Ricci張量在每一點都非負的完備流形不可能有無限多個洞。

50多年后，布魯埃與西北大學的亞倫·納伯和蘇黎世聯(lián)邦理工學院的達尼埃萊·塞莫拉共同證明他的這一猜想錯了。

分崩離析

當米爾諾提出他的猜想時，數(shù)學家們才剛剛開始探索Ricci曲率的影響，這種曲率在整個數(shù)學和物理學中反復出現(xiàn)?！爱敃r人們對此一無所知，除了可以定義它?！奔{伯說。

“我們當時處于荒野之中，身處干旱的平原，只有幾棵樹?！鼻懈駹栒f。

在隨后的幾十年里，數(shù)學家們填補了這一空白，構建了例子并發(fā)展了更具體的理論。所有的證據(jù)似乎都指向米爾諾的猜想是正確的。

這個猜想對于一維流形來說非常容易證明。它在二維情況下自1930年代以來就被知道是正確的，并且在2013年，它被證明對于三維流形是正確的 。如果你施加一些額外的限制——例如，假設你總是在處理一個封閉且有界的流形，比如一個球面，或者體積以特定的速率增長的流形——米爾諾猜想在所有維度上都成立，并且在1978年，一位名叫米哈伊爾·格羅莫夫的數(shù)學家證明，如果流形上的一個不同的、更詳細的曲率度量總是非負的，那么此流形一定只有有限個洞。

如果流形上的一個不同的、更詳細的曲率度量總是非負的，那么此流形一定只有有限個洞。

“基本上，你假設任何事情，它都會成真?！奔{伯說。

納伯曾多次嘗試在不做任何額外假設的情況下證明這個猜想的全部——適用于所有可能的維度。他失敗了。后來，在2019年的一次會議上，他遇到了布魯埃和塞莫拉，當時他們都是比薩高等師范學校的研究生，他們?nèi)碎_始合作解決一個不同的問題。到2020年11月，他們解決了那個問題，布魯埃和塞莫拉也獲得了博士學位。于是他們?nèi)藳Q定再嘗試一次證明米爾諾的猜想。

他們堅持了兩年多?！拔覀儑L試了所有我們知道的技巧，”塞莫拉說。

“我們花了令人尷尬的大量時間試圖證明它，”納伯說。這包括寫了一篇80頁的證明，結(jié)果是錯誤的——“這是我個人曾經(jīng)在某件事情失敗之前寫的最長的一篇。”

但它的失敗讓數(shù)學家們獲得了啟示。“當我們意識到這個策略有缺陷時，我們就開始相信也許有余地可以構建一個反例?！比f。

從那里開始，事情進展得更順利了。在幾個月的時間里，三人組想出了如何構建一個奇怪的七維流形。他們通過將無限多個七維部分以微妙而復雜的方式粘在一起，逐步組裝出他們所需的整個流形。同時，他們必須確保Ricci曲率始終保持非負，并且他們必須避免意外地滿足米爾諾的猜想已經(jīng)被證明為真的許多性質(zhì)。數(shù)學家們最終得到了他們所謂的一種光滑分形雪花——一種無限而微妙的自相似結(jié)構。

它在每一點上都有非負的Ricci曲率，而且它有無限多個洞。他們已經(jīng)證明了米爾諾的猜想是錯誤的。

“這比之前所有具有非負Ricci曲率的流形的構造都要復雜?！奔又荽髮W圣巴巴拉分校的魏國芳說。

布魯埃、納伯和塞莫拉，都是幾何學家，后來與幾位拓撲學家分享了他們的工作，拓撲學家告訴他們，令其驚訝的是，他們創(chuàng)造了一個全新的拓撲空間。而且這并不是因為七維有什么特別之處。使用類似的技術，三人組能夠在更高維度的空間（他們說這很容易）以及在六維空間（這很難）中構建類似的反例。目前還沒有人知道在四維或五維空間中是否存在反例。

由于非負Ricci曲率是一個在數(shù)學和物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的條件，“人們希望對這些事情有一定的內(nèi)在控制?！奔{伯說。但事實證明，具有非負Ricci曲率的形狀比數(shù)學家們預期的更靈活，行為表現(xiàn)性質(zhì)也更不良好——這使他們對局部幾何性質(zhì)和整體拓撲結(jié)構之間的關系的理解更加復雜。

在發(fā)現(xiàn)新的反例之前，“你多少會希望對所有流形的樣子都獲得真正理解。”西北大學的本·溫克夫說。但現(xiàn)在，“可能性的潘多拉魔盒已被打開”。

◎ 來源|數(shù)學科普公眾號