中圖分類號(hào)：0153.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Biderivations of Incidence Algebras

WANG Yu-qi （Collge of Mathematics and Computer，Jilin Normal University，Siping 136ooo，Jilin，China）

Abstract ： Let （X，?） be a connected finite pre-ordered set， R a commutative ring with unity， and I（X，R） be incidence algebra of X over R . It gives the form of biderivations of incidence algebras in an algebraic combinatorial flavor，and solves the related problems of biderivations of the incidence algebra，and finally proves that a biderivation of incidence algebras is an inner biderivation.

Key words：biderivation；inner biderivation； derivation； incidence algebra；identity

0 引言

有關(guān)于雙導(dǎo)子的問(wèn)題在環(huán)和算子代數(shù)上一直以來(lái)都是研究的熱點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究討論，同時(shí)雙導(dǎo)子也有著廣泛的應(yīng)用.MASKAG^[1] 最早提出雙導(dǎo)子的概念.之后，VUKMANJ[2]研究了素環(huán)和半素環(huán)上的雙導(dǎo)子.BRESARM等[3給出了非交換素環(huán)上雙導(dǎo)子的表現(xiàn)形式，證明了非交換素環(huán)上的雙導(dǎo)子都是內(nèi)的.ZHANGTH等[4]研究了套代數(shù)上的雙導(dǎo)子，給出了復(fù)可分Hilbert空間套代數(shù)上的雙導(dǎo)子是內(nèi)雙導(dǎo)子的充要條件，并將該結(jié)果推廣到套代數(shù)上的廣義雙導(dǎo)子上，但套代數(shù)上有非內(nèi)雙導(dǎo)子的情況仍然存在.

在CHEUNG W S^[5] 開(kāi)創(chuàng)了三角代數(shù)上的映射問(wèn)題的研究后，雙導(dǎo)子在三角代數(shù)上也被進(jìn)行了一系列的研究和推廣[6-11].BENKOVID[6]證明某類三角代數(shù)上的雙導(dǎo)子是內(nèi)雙導(dǎo)子和極雙導(dǎo)子之和，并將結(jié)果應(yīng)用到上三角矩陣代數(shù)和套代數(shù)上.DUY等將該結(jié)果推廣到了廣義矩陣代數(shù)上.WANG Y^[8] 借助極大左商環(huán)的概念從新角度描述三角環(huán)上的雙導(dǎo)子，并證明了三角代環(huán)上的雙導(dǎo)子也是一個(gè)內(nèi)雙導(dǎo)子和一個(gè)極雙導(dǎo)子之和.

本文基于以上成果，通過(guò)對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)上雙導(dǎo)子的描述來(lái)豐富關(guān)聯(lián)代數(shù)在映射上的理論.

1預(yù)備知識(shí)

定義 1^[6] 設(shè) A 是交換環(huán) R 上中心為Z（A） 的代數(shù)， [x，y]=xy-yx 是李積.若對(duì)于

任意的 x，y∈A ，線性映射 d：AA 滿足

d（xy）=d（x）y+xd（y）

則稱 d 是 A 上的導(dǎo)子.

定義 2^[6] 若對(duì)于任意的 x，y，z∈A ，一個(gè)雙線性映射 對(duì)其兩個(gè)分量各為導(dǎo)子，即

則稱 φ 是 A 上的雙導(dǎo)子.

定義 3^[6] 若 A 是一個(gè)非交換的代數(shù)，則對(duì)于任意的 x，y∈A ，雙導(dǎo)子 有

φ（x，y）=λ[x，y]，

其中 λ∈Z（A） ，則稱具有以上形式的雙導(dǎo)子為內(nèi)雙導(dǎo)子.

定義 4^[12] 若集合 X 中的二元關(guān)系 ? 滿足以下兩個(gè)條件：

（i） ?x∈X ，有 x?x ：（ii） ?x，y，z∈X ，若 x?y 和 y?z ，則 x? z ，則稱 X 是一個(gè)預(yù)序集，記作 （X，?） ：

定義 5^[13] 設(shè) X 是一個(gè)預(yù)序集，若對(duì)任意 x ，y∈X ，存在序列 {x=x₀，…，x_n=y} ，滿足 x_i-1 ?x_i 或 x_i-1?x_i ， ?i∈{1，2，…，n} ，則稱預(yù)序集 X 是連通的.

定義 6^[14] 取預(yù)序集 X 中任意兩個(gè)元素 x 和 z ，區(qū)間 [x，z] 定義為 {y∈X∣x?y?z} ，若預(yù)序集 X 中的所有區(qū)間都是有限的，則稱 X 是局部有限預(yù)序集.

定義 7^[15] 設(shè) （X，?） 是局部有限預(yù)序集，R 是含有單位元的交換環(huán)，可以定義 R 上關(guān)于 X 的關(guān)聯(lián)代數(shù) I（X，R） ：

I（X，R）：=

，若 x 升 y} ，代數(shù)運(yùn)算為

（f+g）（x，y）=f（x，y）+g（x，y），

由文獻(xiàn)[15]知， ?f，g∈I（X，R），r∈R x，y，z∈X，I（X，R） 中的任意元素都可以表示為和的形式：

這里給出關(guān)聯(lián)代數(shù) I（X，R） 的兩個(gè)特例：上

三角矩陣代數(shù) T_n（R） 和全矩陣代數(shù) M_n（R） ：

定義 8^[13] 關(guān)聯(lián)代數(shù) I（X，R） 上的單位元 δ 滿足 δ（x，y）=δ_xy，x?y ，其中 δ_xy∈{0，1} 是Kronecker符號(hào).

定義9[13] 對(duì)于 X 中任意一對(duì)元素 x?y 定義 e_xy 為

由卷積定義，有 e_xye_uv=δ_yue_xv .顯然 {e_xy∣x?y} 是 I（X，R） 上的一組線性基.

定義 10^[13] （2號(hào) 設(shè) D：I（X，R）I（X，R） 是一個(gè) R^- 線性算子，且令

其中， C_xy^ij∈R .若 x?y 不成立，則 C_xy^ij=0 .若 i ?j∈X 且 i≠j ，則記為 ii

定義 11^[16] 任取 x

S_xy={ce_xy∣c∈R}.

引理 1^[17] 設(shè) D：I（X，R）I（X，R） 是一個(gè) R^- 線性算子，則 D 是一個(gè)導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng) D 滿足

其中， e_ij∈B 系數(shù)滿足

C_ij^ij+C_jk^jk=C_ik^ik ，若 i?j，j?k ：

引理 2^[6] 設(shè) 是雙導(dǎo)子，則對(duì)于任意的 x，y∈u，v∈A ，

φ（x，y）[u，v]=[x，y]φ（u，v）.

引理 3^[15] （204號(hào) 定義 I（X，R） 上的對(duì)角子代數(shù)D（X，R） 為

則 D（X，R） 中的元素 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的 ，有 c_x=c_y ，其中C（X，R） 表示 I（X，R） 的中心.

FADAEEB等在文獻(xiàn)[18］中給出了條件：

設(shè) A 是含單位元 1_A 的代數(shù)，其中對(duì)于任意的a∈A ，

則 A 中的任意元素都可以寫成兩個(gè)可逆元素之和.

同樣，含單位元 1_R 的交換環(huán) R 滿足條件，則

R 中的任意元素都可以寫成兩個(gè)可逆元素之和.

2 主要定理及證明

設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù) I（X，R） 上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則根據(jù)文獻(xiàn)[15]，關(guān)聯(lián)代數(shù)中的任意元素都可以表示為線性基 中元素線性和的形式.因此，要想得到雙導(dǎo)子 φ 對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)中任意元素的作用結(jié)果，只需討論雙導(dǎo)子 φ 在基元 e_xy 上作用的結(jié)果即可.下面證明雙導(dǎo)子的相關(guān)引理，即引理4一引理6，以方便研究定義在關(guān)聯(lián)代數(shù)上的雙導(dǎo)子作用在基元上的結(jié)果.

引理4設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則

（i）φ（e_ii，e_jj）=0，?i，j∈X; （204號(hào)（ii）φ（e_ii，e_ij）=A_ij^ije_ij∈S_xy，i ，且 k

情況1 當(dāng) i=j 時(shí)，固定 x=e_ii ，令 y=e_ii ·

設(shè) 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，固定 x ，定義 φ_x ： ，則對(duì)于任意的 I（X，R） ，有

y?φ_x（x，y）.

顯然， φ_x 是 I（X，R） 上的一個(gè)導(dǎo)子.同理固定 y ，則 φ_y 也是 I（X，R） 上的一個(gè)導(dǎo)子.

結(jié)合 φ_x 和引理1證明過(guò)程知

φ（e_ii，e_ji）=φ_x（e_ii）=

那么存在 j∈X ，使得 i

[e_ii，e_ij]φ（e_ii，e_ii）?e_ijφ（e_ii，e_ii）=0.

同理有

φ（e_ii，e_ii）[e_ii，e_ij]=

[e_ii，e_ii]φ（e_ii，e_ij）?φ（e_ii，e_ii）e_ij=0.

將式（2）代入式（3）和（4）中，可得

A_jiⁱⁱe_ii=0?A_jiⁱⁱ=0，i

將式（5）兩端同時(shí)左乘 e_xx ，右乘 e_ii ，有

A_xiⁱⁱ=0，x

因?yàn)?X 是連通的有限預(yù)序集，所以存在 ult; i∈X .同理根據(jù)（3），（4）還可得

[e_ii，e_ii]φ（e_ui，e_ii）?φ（e_ii，e_ii）e_ui=0.

將式（2）代入以上兩式中，整理可得

同理可推得

A_iyⁱⁱ=0，i

綜合式（2），（6），（7）可得

φ（e_ii，e_ii）=φ_x（e_ii）=

情況2當(dāng) i≠j 時(shí)，若 i 與 j 之間不具有定義的二元關(guān)系 ? ，則（i）顯然成立，于是只需討論i，j 之間存在二元關(guān)系的情況.不失一般性，設(shè) i ii ，令 y=e_jj ，則

根據(jù)情況1的證明過(guò)程，存在 j

φ（e_ii，e_jj）e_jk=0，e_ijφ（e_ii，e_jj）=0.

將式（8）代入以上兩式，整理得

結(jié)合式（8），（9）有

φ（e_ii，e_jj）=φ_x（e_jj）=

（ii）設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，固定 x ，令 y=e_ij，i

根據(jù)引理 1，φ_x 有如下形式：

則由式（6），（9），（10）易知

φ（e_ii，e_ij）=φ_x（e_ij）=

同理，固定第二個(gè)元素 y 為 e_ii ，令 x=e_ij ，則可得

φ（e_ij，e_ii）=D_ij^ije_ij∈S_xy，

其中 iij^ij∈R

（iii）固定 x=e_ii ，令 y=e_kl ， i≠k≠l ，且 k

x 是一個(gè)導(dǎo)子，故由導(dǎo)子定義有

φ_x（e_kl）=φ_x（e_kk）e_kl+e_kkφ_x（e_kl），

φ_x（e_kl）=φ_x（e_kl）e_ll+e_klφ_x（e_ll）.

由（i）可以得到 φ_x（e_kk）e_kl=e_klφ_x（e_ll）=0 ，于是

φ_x（e_kl）=e_kkφ_x（e_kl）=φ_x（e_kl）e_ll.

同理可固定 y=e_kl ，令 x=e_ii ，于是有φ_y（e_ii）=φ（e_ii，e_kl）=φ_x（e_kl） ，根據(jù)（i）的證明，不妨設(shè)

將上式代入式（11），進(jìn)一步得

φ_x（e_kl）=e_kkφ_x（e_kl）=G_kiⁱⁱe_ki，

以及 φ_x（e_kl）=φ_x（e_kl）e_ll=G_ilⁱⁱe_il 即

G_kiⁱⁱe_ki=G_ilⁱⁱe_il.

對(duì)上式左乘 e_kk ，右乘 e_ii ，得到 G_kiⁱⁱ=0 .再左乘 e_ii ，右乘 e_ll ，有 G_ilⁱⁱ=0 .即 G_kiⁱⁱ=G_ilⁱⁱ=0

綜上所述， φ（e_ii，e_kl）=0 ，其中 i≠k≠l ，且kkl，e_ii）=0 ，其中 i≠k≠l ，且 k

引理5設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則

（i）φ（e_jj，e_ii）=0，?i，j∈X; （204號(hào)（ii）φ（e_jj，e_ij）=B_ij^ije_ij∈S_xy，i

證明 （i）設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子.不失一般性，令 i?j ，固定 x=e_jj ，令 y=e_ii ，則φ_x 有如下形式：

同引理4（i）易知

e_ijφ（e_jj，e_ii）=0，φ（e_jj，e_ii）e_ij=0.

將式（12）代入上兩式，進(jìn)一步推得

B_jiⁱⁱ=0，B_xiⁱⁱ=0，x

類似于引理4中（i）的證明過(guò)程，得到 ，且有

B_xj^jj=0，xjy^jj=0，j

結(jié)合上式和引理1中的系數(shù)關(guān)系式知

B_ijⁱⁱ=B_ij^jj=0.

此時(shí)固定 y=e_ii ，令 x=e_jj ，于是有φ（e_jj，e_ii）=φ_s（e_jj）=φ_x（e_ii） .由導(dǎo)子的性質(zhì)有

φ（e_jj，e_ii）=φ_y（e_jj）=

φ_s（e_jj）e_jj+e_jjφ_y（e_jj）.

用 φ_x（e_ii） 替換上式中的 φ_s（e_jj） ，再根據(jù)式（12），（13）和（15）可得

φ（e_jj，e_ii）=φ_x（e_ii）e_jj+e_jjφ_x（e_ii）=

B_jiⁱⁱe_ji+B_ijⁱⁱe_ij=0.

（ii）任取 ijj ，令 y=e_ij ，則有

結(jié)合式（13）和（14），顯然有

φ（e_jj，e_ij）=B_ij^ije_ij∈S_xy，i

同理可得

φ（e_ij，e_jj）=E_ij^ije_ij∈S_xy，i

引理6設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則

X ;

（ii）φ（e_ij，e_kl）=0，（i，j）≠（k，l）.

證明 （i）固定 x=e_ij ，令 y=e_ii ，則

同樣，固定 y=e_ii ，令 x=e_ij ，根據(jù)導(dǎo)子定義有

φ_s（e_ij）=φ_s（e_ij）e_jj+e_ijφ_s（e_jj）.

由引理4（ii），

e_ijφ（e_ij，e_ii）=φ（e_ij，e_ii）e_ij=0.

于是有

φ_y（e_ij）=φ_y（e_ij）e_jj.

將式（16）代人式（17），整理得

C_jiⁱⁱ=0;C_xiⁱⁱ=0，x

用 φ_x（e_ii） 替換（18）中的 φ_s（e_ij） ，并將式（16）代人式（19），可得

φ（e_ij，e_ii）=φ_x（e_ii）e_jj=C_ijⁱⁱe_ij∈S_xy.

對(duì)于 ，同理有 e_ijφ（e_ij，e_jj）=φ（e_ij，e_jj）e_ij= 0.進(jìn)一步得

故 S_xy

結(jié)合式（19）和（20），易得

φ（e_ij，e_ij）=φ_x（e_ij）=

（ii））固定 x=e_ij ，令 y=e_kl ，其中 （i，j）≠ （k，l） ：

關(guān)于 （i，j）≠（k，l） ，其中 i

當(dāng) i=k 且 j≠l 時(shí)，固定 x=e_ij ，令 y=e_il ，于是可設(shè)

φ（e_ij，e_il）=φ_x（e_il）=

由雙導(dǎo)子的定義，有 φ_x（e_il）=e_iiφ_x（e_il）+ φ_x（e_ii）e_il=e_iiφ（e_ij，e_il）+φ（e_ij，e_ii）e_il 成立，根據(jù)引理4（ii）的證明過(guò)程知 φ（e_ij，e_ii）e_il=E_ij^ije_ije_il =0 ，于是有

φ_x（e_il）=e_iiφ_x（e_il）=

對(duì)比式（21）和（22），易得 ，對(duì)等式兩端左乘 e_xx ，右乘 e_ll ，有

C_xiⁱⁱ=0，x

同樣地，根據(jù)雙導(dǎo)子的定義，有

φ_x（e_il）=φ_x（e_il）e_ll+e_ilφ_x（e_ll）=

φ（e_ij，e_il）e_ll+e_ilφ（e_ij，e_ll）.

根據(jù)引理4（ii）知 φ（e_ij，e_ll）=0 .于是將式（21） 代入上式得

顯然有

C_ly^ll=0，l

根據(jù)式（21），（23）和（24），有 φ（e_ij，e_il）= φ_x（e_il）=C_il^ile_il .同理，固定 y=e_il ，令 x=e_ij ，有φ（e_ij，e_il）=φ_y（e_ij）=C_ij^ije_ij .于是有

φ（e_ij，e_il）=C_ij^ije_ij=C_il^ile_il.

若對(duì)以上等式兩端左乘 e_ii ，右乘 e_ll ，則可得到 C_il^il =0 ；若左乘 e_ii ，右乘 e_jj ，則可得到 C_ij^ij=0 ，即φ（e_ij，e_il）=0 ，其中 i=k 且 j≠l ：

歸納上述過(guò)程可得， ??φ（e_ij，e_kl）=0 ，其中（i，j）≠（k，l） ：

若先固定 y ，同理可得基元與系數(shù)之間的關(guān)系式，于是綜合以上結(jié)果有定理1.

定理1設(shè) （X，?） 是一個(gè)連通的有限預(yù)序集， R 是有單位元的交換環(huán)且滿足條件 （1），I（X. R ）是定義在 R 上關(guān)于 X 的關(guān)聯(lián)代數(shù)，若 φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則對(duì)于任意的 i

（k，l） ：

定理2設(shè) （X，?） 是一個(gè)連通的有限預(yù)序集， R 是有單位元的交換環(huán)且滿足條件 （1），I（X R ）是定義在 R 上關(guān)于 X 的關(guān)聯(lián)代數(shù)，若 {e_xy∣x?y} 是關(guān)聯(lián)代數(shù) I（X，R） 上的一組線性基，則對(duì)于任意的 f，g∈I（X，R） ，有

其中 r_xy∈R

證明 由文獻(xiàn)[15]，任取 f，g∈I（X，R） 設(shè) ，則

其中， ，e_uv，e_st∈B，f（u，v）g（s，t）∈R

由卷積的定義知

[e_uv，e_st]=e_uve_st-e_ste_uv=δ_vse_ut-δ_tue_sv.

若 v≠s ，且 t≠u ，則 [e_uv，e_st]=0 ：

若 v≠s ，且 t=u ，則 [e_uv，e_su]=-e_sv ，其中 s

若 _v=s ，且 t≠u ，則 [e_uv，e_vt]=e_ut ，其中 ult; t ：

若 v=s ，且 t=u ，則 [e_uv，e_st]=[e_uv，e_vu] .此 時(shí)若 u=v ，則 [e_uu，e_uu]=0 ；若 uvu f B ，即該情況不存在.

即 [e_uv，e_st]=e_xy ， ，令

f（u，v）g（s，t）=r_xy ，則

[f，g]=

定理3設(shè) （X，?） 是一個(gè)連通的有限預(yù)序集， R 是有單位元的交換環(huán)且滿足條件（1），I（X，R） 是定義在 R 上關(guān)于 X 的關(guān)聯(lián)代數(shù)，若映射 是雙導(dǎo)子，則 φ 是內(nèi)雙導(dǎo)子.

證明 設(shè) φ 是一個(gè)雙導(dǎo)子，任取 f，g∈ I（X，R） ，由文獻(xiàn)[15]有

φ（f，g）=

其中 f（u，v）g（s，t）∈R .由定理1歸納知，任取e_uv，e_st∈B .

φ（e_uv，e_st）=c_xy^′e_xy，

其中 c_xy^′∈R，?x

此時(shí)，令 f（u，v）g（s，t）=c_xy∈R ，因?yàn)?X 是連通的有限預(yù)序集，所以

令 C_xy=c_xyc_xy^' ，因?yàn)?R 滿足條件（1），故有

同理可得

在式（25）中，令 α_x=C_xyr_xy^-1∈R ，則 .同理可令（26）中的 顯然有 ，由引理3知

根據(jù)定理2，式（25）進(jìn)一步有

其中

定理得證.

由定理1和引理1中系數(shù)的關(guān)系式，顯然有如下推論.

推論1設(shè) φ 是關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一個(gè)雙導(dǎo)子，則對(duì)于任意的 i?j∈X ，有

（i）φ（e_ii+e_jj，e_ij）=φ（e_ii，e_ij）+φ（e_jj，e_ij） =0 ：

（ii）φ（e_ij，e_ii+e_jj）=φ（e_ij，e_ii）+φ（e_ij，e_jj） =0

3結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)代數(shù)組合方法探究關(guān)聯(lián)代數(shù)中的雙導(dǎo)子結(jié)構(gòu)，基于雙導(dǎo)子的概念以及雙導(dǎo)子與導(dǎo)子之間的聯(lián)系，降維討論雙導(dǎo)子作用于基元的結(jié)果，進(jìn)而推導(dǎo)出雙導(dǎo)子在關(guān)聯(lián)代數(shù)中的具體表示形式，最后通過(guò)對(duì)結(jié)果的規(guī)律總結(jié)給出推論，在關(guān)聯(lián)代數(shù)既有線性映射研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)雙線性映射問(wèn)題的探討，為關(guān)聯(lián)代數(shù)上各類雙線性映射的研究奠定了一定的基礎(chǔ).

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[責(zé)任編輯：趙慧霞]