中圖分類號(hào)：TN919.8 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

分形圖像壓縮編碼算法是BARNSLEY等基于迭代函數(shù)系統(tǒng)提出的。之后，JACQUIN[2]在BARNSLEY的基礎(chǔ)上提出基本分形圖像壓縮算法（basicfractalimagecoding，BFIC）。與傳統(tǒng)圖像編碼算法相比，BFIC算法具有高壓縮比且重構(gòu)圖像質(zhì)量較好，但由于塊間最佳匹配過(guò)程費(fèi)時(shí)，導(dǎo)致編碼時(shí)間較長(zhǎng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者為了降低編碼復(fù)雜度和提高重構(gòu)圖像質(zhì)量，用計(jì)算復(fù)雜度較低的指標(biāo)代替均方誤差來(lái)描述圖像塊之間的匹配度，如TRUONG等[3]和WANG等[4]分別使用相關(guān)系數(shù)和空間紋理相關(guān)性代替均方誤差，但效果有限且編碼復(fù)雜度仍較高。 NANDI^[5] 和WANG等[利用平均像素強(qiáng)度和方差對(duì)定義域塊 D （domainblock）進(jìn)行分類。GUPTA等通過(guò)使用自適應(yīng)閾值來(lái)減少值域塊 R （rangeblock）的搜索范圍。此外，和諧搜索算法[8]和散點(diǎn)搜索算法也被用來(lái)提高分形編碼的效率。雖然這些算法提高了分形圖像壓縮算法的編碼效率，但由于搜索范圍較小，導(dǎo)致重構(gòu)圖像質(zhì)量有所下降。為了降低編碼復(fù)雜度的同時(shí)提高重構(gòu)圖像質(zhì)量，又有學(xué)者提出小波與分形相結(jié)合的算法[1]。文獻(xiàn)[11]提出用變異系數(shù)作為圖像塊特征量來(lái)降低編碼時(shí)間和冗余度。CAO等[12]提出一種基于紋理特征的圖像正交化稀疏分形編碼算法，一定程度上提高了重構(gòu)圖像質(zhì)量和編碼效率。NANDI^[13] 采用了四叉樹(shù)劃分的分形圖像壓縮算法，該算法使用較大的塊來(lái)獲得平滑的圖像區(qū)域，用較小的塊來(lái)捕捉圖像細(xì)節(jié)，然而，算法的劃分位置固定在水平線或垂直線的中間，沒(méi)有充分考慮圖像的特征信息。LIU等[14]和WANG等[15-16]將分形圖像壓縮算法與混沌系統(tǒng)相結(jié)合，保證重構(gòu)圖像質(zhì)量的同時(shí)達(dá)到了較高的壓縮比。

近些年，壓縮感知、稀疏編碼理論因其簡(jiǎn)單、儲(chǔ)存能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，成為圖像壓縮領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)?，F(xiàn)有的稀疏分形編碼算法[17-18]大多是直接通過(guò)計(jì)算值域塊 R 和定義域塊 D 的匹配誤差實(shí)現(xiàn)最優(yōu)匹配，雖然獲得了較好的重建質(zhì)量，但由于實(shí)現(xiàn)每個(gè)R 塊與 D 塊的最優(yōu)匹配過(guò)程較為緩慢，重建速度仍需進(jìn)一步提高。因此，本文利用值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關(guān)系數(shù)作為圖像塊特征量用于匹配計(jì)算，并對(duì)提取的皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征量進(jìn)行最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)，能更準(zhǔn)確地估計(jì)采樣密度，有效降低搜索復(fù)雜度的同時(shí)提高了圖像重構(gòu)效果。

本文提出一種基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)[19-21]與核密度估計(jì)[22]的低秩稀疏分形圖像壓縮算法。皮爾遜相關(guān)系數(shù)主要是用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)性程度，核密度估計(jì)是一種有效的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。首先，提取值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關(guān)系數(shù)作為圖像塊特征量用于匹配計(jì)算，并對(duì)提取的皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征量進(jìn)行最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)；其次，利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解實(shí)現(xiàn) R 塊和 D 塊的匹配，提高了重構(gòu)圖像質(zhì)量和解碼速度。經(jīng)實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，本文提出的算法既降低了編碼時(shí)間和冗余度，又能得到高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。

1 基本理論

1.1 分形圖像壓縮算法

在分形編碼算法中，首先采用固定塊分割法將大小為 M×M 的原始圖像 I 分割成 B×B 大小的非重疊的 R 塊和 2B×2B 大小的重疊的 D 塊。根據(jù)拼貼定理，每個(gè) R 塊可由仿射變換得到與之最佳匹配的 D 塊，再用與 R 塊近似的 D 塊拼貼出新的圖像。假設(shè)圖像 f（x，y） 的灰度值為 z ，那么仿射變換 L_i^[2] 可表示為

式中： a_i?b_i?c_i 和 d_i 是幾何位置變換系數(shù)， e_i 和 f_i 為空間偏移系數(shù)，它們都屬于幾何變換，稱為等距變換 γ_j（j=1，2，…，8） ； s_i 和 o_i 分別為對(duì)比度調(diào)節(jié)因子和亮度調(diào)節(jié)因子。通常， e_i 和 f_i 取 0D 塊經(jīng)空域壓縮和平移實(shí)現(xiàn)與 R 塊同尺寸，然后進(jìn)行等距變換、對(duì)比度調(diào)節(jié)和亮度調(diào)節(jié)，得到與 R 塊近似的圖像塊，實(shí)現(xiàn) R 塊與 D 塊的匹配。匹配過(guò)程主要通過(guò)對(duì)比度調(diào)節(jié)和亮度變換，其表達(dá)式為

R≈s_iD+o_iU

式中： U 塊的灰度值均為1。所謂最佳匹配，即經(jīng)過(guò)對(duì)比度和亮度調(diào)節(jié)后， R 塊和 D 塊的匹配誤差 E（R，D） 最小。利用最小二乘法來(lái)求解

通過(guò)對(duì)式（3）求偏導(dǎo)，解得最佳匹配下的對(duì)比度因子 s_i 和亮度偏移因子 o_i 分別為

式中： 和 分別表示 R 塊和 D 塊的像素均值； ?? 表示歐式內(nèi)積； 表示 L₂ 范數(shù)，若 ，則 ?；谝陨戏律渥儞Q過(guò)程，得到 R 塊的分形編碼參數(shù) {s_i，o_i，i γ_j} ， i 表示與 R 塊最佳匹配的 D 塊的位置， γ_j 表示等距變換。解碼通過(guò)迭代來(lái)完成，根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)理論[]和拼貼定理[2]，選取任意圖像為迭代初始圖像，當(dāng)完成預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)后，可獲得與待編碼圖像近似的重構(gòu)圖像。

1.2 低秩稀疏分解

人類的神經(jīng)視覺(jué)特性為圖像稀疏分解提供了依據(jù)。針對(duì)圖像壓縮，稀疏分解可從海量數(shù)據(jù)中選取一小部分重建新數(shù)據(jù)，消除數(shù)據(jù)的冗余性。低秩稀疏矩陣分解[23]是對(duì)圖像矩陣 I 進(jìn)行分解，得到與原始圖像近似的低秩矩陣和表示包含輪廓信息的稀疏矩陣，圖像可分解為

I=L+S+N，r（L）?r，c（S）?c

式中： L 為低秩矩陣， s 為稀疏矩陣， N 為噪聲矩陣； r（L） 是低秩矩陣 L 的秩， r 是秩的最大值； c（S） 為稀疏矩陣 s 的稀疏系數(shù)， c 越小矩陣越稀疏?？赏ㄟ^(guò)求解目標(biāo)函數(shù)分解誤差的最小化來(lái)求解式（5）。

subjectto r（L）?r，c（S）?c

式（6）中， ∥?∥_F 表示Frobenius范數(shù)。由于最大稀疏系數(shù) Ψ_c 無(wú)法直接估算，因此對(duì)稀疏矩陣 s 施加正則化參數(shù) λ，λ 為權(quán)衡低秩性和稀疏性的參數(shù)，式（6）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求

subject to r（L）?r

式（7）中， |?|₁ 為 L₁ 范數(shù)。為了進(jìn)一步優(yōu)化求解式（7），可將式（7）分解為以下兩部分交替求解，通過(guò)迭代求解直致收斂。

迭代結(jié)束后即可得到分解誤差最小化下的目標(biāo)稀疏矩陣 s 和低秩矩陣 L 。

2 算法實(shí)現(xiàn)

分形編碼算法中每個(gè) R 塊可由仿射變換得到與之最佳匹配的 D 塊，但過(guò)程較為耗時(shí)，本文提取R 塊和 D 塊的皮爾遜相關(guān)系數(shù)作為新特征量，并對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)進(jìn)行最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)，有效降低搜索復(fù)雜度。

2.1皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征提取

皮爾遜相關(guān)系數(shù)是一種用來(lái)度量變量間相關(guān)性的方法，變量 X 和變量 Y 的皮爾遜相關(guān)系數(shù) p 定義如下：

式中： E（X） 和 E（Y） 是 X 和 Y 的數(shù)學(xué)期望；V（X） 和 V（Y） 是方差； C（X，Y） 稱為隨機(jī)變量和的協(xié)方差。皮爾遜相關(guān)系數(shù) p 取值范圍為［-1，1]。如果值為正數(shù)，表示變量間是正相關(guān)；如果值為負(fù)數(shù)，則為負(fù)相關(guān)； |p| 越接近于1，說(shuō)明變量間相關(guān)性越強(qiáng)。

利用皮爾遜相關(guān)系數(shù)度量 R 塊和與之最匹配D 塊間的相似性。由式（2）知， D 塊經(jīng)變換后和 R 塊近似。假設(shè) R 塊和最佳匹配 D 塊只與對(duì)比度因子 s 有關(guān)，灰度偏差近似為0，即有

式中： n 表示圖像塊數(shù)目。則根據(jù)式（10）有

那么，皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征量可表示為

基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征量可以得到 R 塊的最優(yōu)匹配塊 D ，實(shí)現(xiàn)最佳匹配過(guò)程。

2.2最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)

進(jìn)一步采用最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)方法對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征向量 p（x） 進(jìn)行非參數(shù)統(tǒng)計(jì)，更加高效直觀地表示塊間的相似性，改善檢索效果。設(shè)x₁，x₂，…，x_n 取自 p（x） ，在任意點(diǎn) x 處的核密度估計(jì)[22]定義為

式中： K（?） 為核函數(shù)（Kernelfunction）； h 為窗寬。為保證 作為密度函數(shù)估計(jì)的合理性，則要求核函數(shù) K（?） 滿足

通常核函數(shù)的選擇不是核密度估計(jì)的關(guān)鍵因素，而帶寬會(huì)直接影響 的光滑程度。選擇最優(yōu)帶寬的依據(jù)是使得密度估計(jì)與真實(shí)估計(jì)之間的偏差最小。假設(shè)樣本的密度估計(jì)與真實(shí)估計(jì)分別為 和 p（x） ，那么積分均方誤差 e_?MIS （mean in-tegralsquareerror，MISE）定義如式（15）：

其中，積分偏差平方 B（x） （簡(jiǎn)稱偏差）和方差V（x） 分別為：

則式（15）可表示為

我們先估計(jì) ，令 （x-x_i）/h=t ，則 x_i= x-ht ，有

結(jié)合式（14）式（16）和式（19）結(jié)論，則偏差可表示為

利用泰勒展開(kāi)，則有

式中： p^′（x），p^′′（x） 分別為 p（x） 的一階和二階導(dǎo)數(shù)。將式（21）帶入式（20），可得到偏差的表達(dá)式為

式（22）中， 。方差為

由式（22）和式（23）可知，帶寬 h 越小，偏差越大，但方差越小，因此需要權(quán)衡偏差和方差，選擇一個(gè)最優(yōu)帶寬，使式（18）中 e_?MIS 最小。將式（22）和式（23）帶入式（18），則有

通過(guò)對(duì)式（24）求導(dǎo)，可解得 e_?MIS 最小時(shí)的帶寬為最優(yōu)帶寬 h_opt

此時(shí)，最優(yōu)帶寬下的皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征向量p（x） 的核密度估計(jì)為

通常將 p（x） 看成正態(tài)分布去求解，即

R 塊匹配的 n 個(gè) D 塊為 D_i（i=1，2，…，n） ，則 R 塊可表示為

對(duì)式（3）中 R 塊和 D 塊的匹配誤差 E（R，D） 作進(jìn)一步分析，結(jié)合式（4），則有

取核函數(shù) K（?） 為高斯函數(shù)，即

則有

將式（27）和式（29）帶入式（25），得最優(yōu)帶寬為hopt = 1.06gn-1/5 。

2.3分形圖像編碼的低秩稀疏分解過(guò)程

對(duì)于 M×M 大小的圖像 I ，將其分割成 B×B 大小的非重疊的 R 塊和 2B×2B 大小的重疊的 D 塊，假設(shè)滑動(dòng)的水平和垂直步長(zhǎng)均為 δ 。那么分割后圖像塊數(shù)目分別為 和 N_p= 0 （M-2B）/δ+1）² 。經(jīng)8種等距變換后的 D 塊虛擬碼本的數(shù)目為 8×（（M-2B）/δ+1）² ，將每個(gè)碼本重新排成列，則得到一個(gè)矩陣，維數(shù)為 δ²×δ 8（（M-2B）/δ+1）² ，低秩稀疏分解的編碼過(guò)程是求分解誤差最小化下的目標(biāo)稀疏矩陣 s 的過(guò)程，將低秩稀疏分解應(yīng)用到塊的匹配過(guò)程，通過(guò)生成目標(biāo)稀疏矩陣 s ，實(shí)現(xiàn)了一個(gè) R 塊和多個(gè) D 塊之間的匹配。降低了分形壓縮編碼復(fù)雜度。假設(shè)與一個(gè)

是碼本 D 的歸一化。由式（31）可知，當(dāng) 取得最大值時(shí)， E（R，D） 可達(dá)最小，提高了圖像重構(gòu)質(zhì)量?；谝陨?，式（2）可寫(xiě)成

由式（32）知，匹配過(guò)程只需要計(jì)算對(duì)比度調(diào)節(jié)因子 s_i ，降低了計(jì)算復(fù)雜度，提高了圖像重構(gòu)的速度。

2.4算法實(shí)現(xiàn)流程

根據(jù)以上分析，本文算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

1）圖像分割。將 M×M 的原始圖像 I 分割成4×4 大小的互不重疊的 R 塊；分割成位移步長(zhǎng)為δ=4，8×8 大小的可重疊的 D 塊。

2）分別計(jì)算 R 塊和 D 塊的皮爾遜相關(guān)系數(shù)p（x） 作為新特征量。

3）用最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)方法對(duì)皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征向量進(jìn)行非參數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到 。

4）將皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征向量的核密度估計(jì)統(tǒng)計(jì)特征量 依據(jù)相似性從高到低排序。取與R 塊最相似的前 M 個(gè) D 塊，執(zhí)行8種等距變換并歸一化，得到過(guò)完備虛擬碼本。

5）利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解算法實(shí)現(xiàn) R 塊和 D 塊的匹配：

（1）針對(duì)每一個(gè) R 塊，初始化殘差 索引集 ， χ_t 為迭代次數(shù)， c 為式（6）中的稀疏系數(shù)。

for t=1 ： c

（2）計(jì)算殘差 e_t-1 與 D 的歸一化 的 某一列 的內(nèi)積最大值，找到此時(shí)的索引

（3）更新索引集 A_t=A_t-1∪{λ_t}，D_t= 。

（4）用最小二乘法更新尺度系數(shù) （號(hào)

（5）更新殘差 。

（6）if ，迭代停止;否則，繼續(xù)執(zhí)行步驟（2）。（7）更新對(duì)比度調(diào)節(jié)因子 （8）得到 R 塊的分形編碼參數(shù) {s_t，λ_t，R_i} 。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，選取9幅512×512 大小的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別為barbara、peppers、boat、camera ? couple、goldhill、lena、man和zelda，圖1為部分圖像。實(shí)驗(yàn)硬件平臺(tái)為CPUi5-1035G1，Windows10操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)，軟件為MATLAB R2019a 。本文算法下得到的解碼重構(gòu)圖像如圖2所示。實(shí)驗(yàn)性能指標(biāo)參數(shù)為峰值信噪比 P_sNR （peak signal to noise ratio，PSNR）（單位：dB）和編碼時(shí)間（單位：s）。 P_sNR 定義為

式中： x_ij 表示 M×N 大小的原始圖像; y_ij 表示重構(gòu)圖像。

3.1實(shí)驗(yàn)參數(shù)的設(shè)置

通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，分析本文算法中的稀疏系數(shù)c 、重構(gòu)誤差閾值 e_min 對(duì)分形編碼時(shí)間和圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響，從而確定參數(shù)，得到最佳實(shí)驗(yàn)結(jié)果。稀疏系數(shù) c 也是搜索匹配塊過(guò)程中的迭代次數(shù)的終止值，由圖3和圖4所示，稀疏系數(shù) ∣c∣ 提高，圖像重構(gòu)質(zhì)量也在一定范圍內(nèi)提高，但是由于數(shù)據(jù)增加，編碼時(shí)間也隨之增加。當(dāng) ∣c∣ 超過(guò)10以后，PSNR值增加緩慢，編碼時(shí)間Time在不斷提高，為了平衡重構(gòu)質(zhì)量和編碼時(shí)間，本文算法取 c=10 。

重構(gòu)誤差閾值 e_min 是搜索匹配塊過(guò)程中的迭代終止條件。 e_min 越小，表示 R 塊和 D 塊匹配的誤差閾值要求越高，此時(shí)匹配精度越高，重構(gòu)圖像質(zhì)量越高，編碼時(shí)間也越長(zhǎng)。由圖5和圖6可以看出， e_min∈[10，20] 時(shí)，圖像重構(gòu)質(zhì)量下降較快，此時(shí)，編碼時(shí)間也下降較快，綜合考慮圖像重構(gòu)質(zhì)量和編碼時(shí)間， e_min 取值范圍為［10，20]時(shí)算法結(jié)果達(dá)到最優(yōu)，本文算法 e_min 取15。

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比與分析

將本文算法與基本分形編碼（basicfractalim-age coding，BFIC）[2]、稀疏分形圖像壓縮算法（sparse fractal image coding，SFIC）[24]、雙層非負(fù)矩陣分解算法（double-layernon-negativematrix factor-ization，DLNMF）[25]和正交稀疏分形編碼算法（or-thogonal sparse fractal coding，OSFC）[12]進(jìn)行對(duì)比分析。為保證算法的公平性和有效性，實(shí)驗(yàn)中對(duì)不同的算法設(shè)置相同的參數(shù)，即 c=10，e_min=15 。以圖像boat和camera為例，分別采用BFIC、SFIC、DL-NMF、OSFC算法和本文算法對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行壓縮編碼與重構(gòu)，重構(gòu)后的圖像如圖7所示。

從圖7可以看出，BFIC算法下的圖像重構(gòu)質(zhì)量較差，出現(xiàn)了明顯的塊效應(yīng)，SFIC、DLNMF和OSFC算法下圖像的重構(gòu)質(zhì)量有所提升，本文算法可獲得較高的重構(gòu)圖像質(zhì)量，在視覺(jué)效果上幾乎與原圖無(wú)差。不同算法下9張圖像對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

由表1可知，與BFIC、SFIC、DLNMF和OSFC算法相比，本文算法獲得較高圖像重構(gòu)質(zhì)量的同時(shí)，編碼速度也相對(duì)較快。相比于BFIC算法，9幅實(shí)驗(yàn)圖像的PSNR值平均提高了7.13dB，編碼速度大幅度提升。其中，圖像barbara、boat和goldhill的PSNR分別提高了9.07、8.92和9.73dB，編碼時(shí)間分別縮短了381.46、376.86和384.54s；與SFIC算法相比，PSNR值平均提高了2.81dB，編碼時(shí)間平均縮短了35.4s;和DLNMF算法相比，編碼時(shí)間縮短的同時(shí)PSNR值平均提高了3.29dB；相比于OSFC算法，PSNR值和編碼速度均有一定程度的提高。針對(duì)以上不同類型實(shí)驗(yàn)圖像，整體實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致，即本文算法下的PSNR與編碼速度均優(yōu)于其他算法。通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文算法在保證圖像重構(gòu)質(zhì)量的同時(shí)也提高了編碼效率。圖8和圖9更直觀地展示了不同算法下實(shí)驗(yàn)圖像的重構(gòu)質(zhì)量和編碼時(shí)間。

4結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)分形圖像壓縮算法下圖像重構(gòu)質(zhì)量和編碼效率不理想的情況，本文提出一種基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)與核密度估計(jì)的低秩稀疏分形圖像壓縮算法，提取值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關(guān)系數(shù)作為圖像塊特征量用于匹配計(jì)算，并對(duì)提取的皮爾遜相關(guān)系數(shù)特征量進(jìn)行最優(yōu)帶寬核密度估計(jì)，再利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解實(shí)現(xiàn) R 塊和 D 塊的匹配。對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，本文算法既降低了編碼時(shí)間和冗余度，又能得到高質(zhì)量的重構(gòu)圖像，減少了存儲(chǔ)空間和傳輸帶寬，使得圖像在傳輸過(guò)程中更加高效。作為人工智能時(shí)代通信技術(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，本文算法在醫(yī)療圖像、媒體數(shù)據(jù)傳輸、遙感監(jiān)測(cè)等工程領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景。

今后將研究圖像塊之間的匹配算法，并探索新的圖像特征量，進(jìn)一步提高圖像重構(gòu)質(zhì)量和編碼效率，使提出的算法能夠廣泛應(yīng)用于對(duì)壓縮重構(gòu)圖像質(zhì)量要求較高的領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn)：

[1]BARNSLEY MF，SLOAN AD.A better way to compressimages[J].BYTE，1988，13（1）：215-233.

[2]JACQUINA E. Image codingbased ona fractal theory of iterated contractive image transformations[J].IEEE Transactions on Image Processing，1992，1（1）：18-30.

[3]TRUONG T，KUNG C，JENG J，et al.Fast fractal image compression using spatial correlation[J].Chaos，Solitonsamp;Fractals，2022，22（5），1071-1076.

[4]WANGXY，WANGYX，YUNJJ.Animprovedfast fractal image compression using spatial texture correlation [J/OL].Chinese Physics B，2011，20（10）（2011-10- 15）[2024-02-23 ]. https：//doi. org/10. 1088/1674- 1056/20/10/104202.

[5]NANDI U. Fractal image compression with adaptive quadtree partitioning and non-linear affine map[J]. Multimedia ToolsandApplications，2020，79（35）： 26345-26368.

[6]WANG X Y， ZHANG D D. Discrete wavelet transformbased simple range classification strategies for fractal image coding[J].Nonlinear Dynamics，2014，75（3）： 439-448.

[7]GUPTA R，MEHROTRA D，TYAGI R. Adaptive searchless fractal image compression in DCT domain[J].The Imaging Science Journal，2016，64（7） ：374-380.

[8]NADIA MGA，SHAIMAA SA，NASEIFJA. An improved harmony search algorithm for reducing computational time of fractal image coding[J].Journal of Theoretical and Applied Information Technology，2017，95 （8）： 1669-1679.

[9] SHAIMAA S A， NADIA M G A. Time optimizing of fractal image compression using the scatter search algorithm [J]. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics， 2020，47：365-381.

[10]趙蓉，王輝，張愛(ài)華.基于小波變換的分形圖像編碼壓 縮算法［J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2019，36（11）： 262-266.

[11]龐慧慧，張愛(ài)華.基于變異系數(shù)的分形圖像壓縮稀疏 編碼算法［J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2021，38（8）： 2485-2489.

[12]CAO J， ZHANG A H， SHI L， Orthogonal sparse fractal coding algorithm based on image texture feature[J].IET Image Process，2019，13（11） ：1872-1879.

[13]NANDI U. Fractal image compression using a fast affine transform and hierarchical classification scheme[J].The Visual Computer，2022，38（11） ：3867-3880.

[14]LIU X D， TONG X J， ZHANG M， et al. Image compression and encryption algorithm based on uniform non-degeneracy chaotic system and fractal coding[J]. Nonlinear Dynamics，2023，111： 8771-8798.

[15]WANG JQ，ZHANG M，TONG XJ，et al. A chaos-based image compression and encryption scheme using fractal coding and adaptive-thresholding sparsification[J/OL].Physica Scripta，2022，97（10）（2022-08-30）[2024-02-26].https：//doi. 0rg/10.1088/1402-4896/ac8b41.

[16]王佳琪，張淼，佟曉筠，等.基于分形編碼和LIC 混沌 系統(tǒng)的圖像壓縮加密算法［J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2022，39（12） ： 3770-3775.

[17]ZHANGXB，XUWB，LINJR，etal.Blocknormalised iterative hard thresholding algorithm for compressed sensing[J].ElectronicsLetters，2019，55（17）：957-959.

[18]TAO H，XIAO L，ZHU Z H. Optimized structure sparse matrix for compressed sensing[J]. Signal Processing， 2019，159：119-129.

[19]WANGZ，WANGT，YANGY，etal.Differentialconfocal optical probes with optimized detection efficiencyand pearson correlation coefficient strategy based on the peakclusteringalgorithm[J/OL]. Micromachines，2023，14 （10）（2023-05-31）[2024-03-04]. https：//doi.org/ 10.3390/mi14061163.

[20]HELMYR，STEVENB，AUGIE W，etal. Image encoding selection based on Pearson correlation coefficient for timeseriesanomalydetection[J].Alexandria EngineeringJournal，2023，82：304-322.

[21]劉若男，辛義忠，李巖.基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)的動(dòng)態(tài)簽

名驗(yàn)證方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2022，43（7）：279-287.

[22]HUANG XQ，ZHANGQ，LIU WB.A new method forimageretrieval based on analyzing fractal coding charac-ters[J].Journal of Visual Communication and ImageRepresentation，2013，24（1） ：42-47.

[23]王冉，黃裕春，張軍武，等．基于低秩和稀疏分解的滾動(dòng)軸承故障特征提取方法對(duì)比研究［J].振動(dòng)與沖擊，2023，42（21） ：182-191.

[24]WANGJJ，CHENP，XIB，etal.Fast sparse fractalimage compression[J].PloS one，2017，12（9） ：1-18.

[25]方美東，王輝，張愛(ài)華．雙層非負(fù)矩陣分解的分形圖像壓縮算法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2022，58（8）：204-213.

（責(zé)任編輯：曾 晶）

Low Rank Sparse Fractal Image Compression Algorithm Based on Pearson Correlation Coefficient and Kernel Density Estimation

ZHANG Qin*， XIE Ying， CAO Yiqing （School of Mechatronicsand Information Engineering，Putian University，Putian 3511Oo，China）

Abstract：Fractal image compression algorithm has high compression ratio，but there are problems of long compression time and low quality of reconstructed images. In order to solve these problems，a low rank sparse fractal image compression algorithm based on Pearsoncorrelation coefficient and kernel densityestimation is proposed. The proposed algorithm extracts Pearson correlation coeficient of R block（range block）and D block （domain block）as feature quantity，and the optimal bandwidth kernel density estimation is performedon the extracted Pearson correlation coefficient features，then the low rank sparse decomposition offractal image coding is used to realize the matching of R blocks and D blocks. The proposed algorithm is compared with basic fractal image coding（BFIC），sparse fractal image coding（SFIC），double-layer non-negative matrix factorization （DLNMF）and orthogonal sparse fractal coding（OSFC）.The experimental resultsshow that the image reconstruction quality and coding speed are both improved.The storage space and transmission bandwidth of the image are reduced，and the image details can be maintained after reconstruction.It has a good application prospect in engineering fields such as medical images，media data transmision and remote sensing monitoring. Keywords： image compression;； fractal coding； Pearson correlation coefficient； kernel density estimation