不等式的發(fā)展歷程可以追溯到古代文明時期。在歐幾里得的《幾何原本》中，已經(jīng)蘊(yùn)含了類似不等式的關(guān)系，例如，三角形的兩邊之和大于第三邊。公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時，對勾股定理相關(guān)的不等式進(jìn)行了深人研究。到了17世紀(jì)，隨著函數(shù)概念的引人，數(shù)學(xué)家開始系統(tǒng)地運(yùn)用不等式來描述變量間的關(guān)系，并用其刻畫函數(shù)值域的上下界等。隨著時間的推移，不等式不僅在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，還在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。

不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，一元一次不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的重要模型。在日常生活和生產(chǎn)中，人們常常利用不等式（組）解決問題，如核定價格范圍、分析決策等。你能找到生活中的不等關(guān)系嗎？如何利用不等式解決實(shí)際問題呢？

我們能從電費(fèi)計(jì)費(fèi)規(guī)則表（表1）中讀出哪些信息呢？你能根據(jù)表中的信息寫出哪些不等式？

若某家庭在電費(fèi)上的年預(yù)算是1500元，根據(jù)電費(fèi)計(jì)費(fèi)規(guī)則，你能估算該家庭年用電量最多為多少嗎？

觀察表1，設(shè)年度總用電量為 x 度，當(dāng) 04800 的部分，每度電0.82元。若 x?2400 ，電價最多為1248元；若 x?4800 ，電價最多為2616元。因此，若某家庭在電費(fèi)上的年預(yù)算是1500元，則用電量為 2400

表2是某同學(xué)家2024年的用電情況調(diào)查表，你能從中獲得哪些信息？觀察3月和7月的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？請你解釋一下原因。

觀察表2，我們發(fā)現(xiàn)，3月用電量405度大于7月用電量394度，但是3月電費(fèi)210.6元卻小于7月電費(fèi)217.48元，這與我們的生活認(rèn)知相矛盾。3月份用電量較高但電費(fèi)較少，這是為什么呢？我們計(jì)算發(fā)現(xiàn)，2、3、4、5、6月的電費(fèi)都是0.52元度，7月以后都是0.57元/度，只有7月電費(fèi)約為0.55元/度。因此，我們猜測在7月份中遇到了電費(fèi)計(jì)費(fèi)規(guī)則的第一階段到第二階段的“拐點(diǎn)”，從而導(dǎo)致電費(fèi)較高。設(shè)第一檔用電量為 x 度，第二檔用電量為 （394-x） 度，則列出 0.52x+0.57×（394-x）=217.48 。求出方程的解之后，我們就能分析出：7月的用電量中的142度電屬于不超過2400度的部分，電價為0.52元/度；7月的用電量中的252度電屬于超過2400度但不超過4800度的部分，電價為0.57元/度。

從上述兩個表格中，我們可以清晰地認(rèn)識到不等式在表示數(shù)值范圍和進(jìn)行大小比較方面的重要作用。不僅如此，方程與不等式之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系：方程主要用于求解具體的、確定的值，而不等式則擅長描繪變量間復(fù)雜的大小關(guān)系。在應(yīng)對實(shí)際問題的過程中，我們常常需要將方程與不等式結(jié)合運(yùn)用，以便更全面、準(zhǔn)確地描述問題并找到相應(yīng)的解決方案

除了按照總用電量分段計(jì)費(fèi)，還有別的計(jì)費(fèi)方式。你能從表3中讀出什么信息？

問題1：若某家庭月用電量為600度，請你幫忙選擇一個套餐，并說明理由

問題2：套餐內(nèi)容不變，但月用電量數(shù)據(jù)未知，你能設(shè)計(jì)一個方案幫助市民選擇套餐嗎？

問題3：問題2與問題1有何不同之處？又該如何解決呢？

設(shè)峰時用電量為 x 度，則谷時用電量為（ （600-x） 度。選擇套餐一的費(fèi)用為 0.55x+ 0.35×（600-x） ，選擇套餐二的費(fèi)用為 600×0.52=312 元，通過比較大小選擇方案。

若 0.55x+0.35×（600-x）=312 ，此時 x=510 。說明峰時用電510度，谷時用電90度時，套餐一和套餐二價格相同，可任意選擇。

若 0.55x+0.35×（600-x）gt;312 ，此時 xgt;510 。說明峰時用電大于510度，谷時用電小于90度時，套餐二價格便宜，應(yīng)選套餐二。

若 0.55x+0.35×（600-x）lt;312 ，此時 xlt;510 。說明峰時用電小于510度，谷時用電大于90度時，套餐一價格便宜，應(yīng)選套餐一。

總用電量未知，峰時或谷時的用電量也未知，因此需要設(shè)兩個未知數(shù)。比如，設(shè)總用電量為 y 度，峰時用電量為 a 度，則谷時用電量為 （γ-a） 度，再使用上一個問題的方法列不等式討論即可。

表4是某同學(xué)的家庭一天所用電器的情況，結(jié)合今日所學(xué)，大家有何啟發(fā)？

相同時間內(nèi)，功率越大，耗電越多，建議將功率較大的電器集中在谷時使用，如用電水壺?zé)?；平日里我們?yīng)記得隨手關(guān)燈，可以減少用電量總之不管是哪種計(jì)價方案，咱們都應(yīng)節(jié)約用電。

不等式不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個核心概念，其影響力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了純粹的數(shù)學(xué)范疇，廣泛滲透于現(xiàn)實(shí)生活及眾多學(xué)科之中。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，不等式扮演著至關(guān)重要的角色，它不僅能夠協(xié)助我們界定方程的解的范圍，為探索方程的解提供寶貴的線索，還能夠精確地描繪圖形間的大小關(guān)系，為幾何研究提高精準(zhǔn)度。此外，在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，不等式更是成為估計(jì)概率分布和統(tǒng)計(jì)量邊界不可或缺的工具，為數(shù)據(jù)分析提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

而在數(shù)學(xué)之外的廣闊天地里，不等式的應(yīng)用同樣令人矚目。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，它成為分析收人分配公平性、成本控制有效性的有力武器，幫助我們更深刻地理解經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)邏輯。物理學(xué)中，不等式巧妙地揭示了物理量之間的制約關(guān)系，如能量守恒定律中的不等式表達(dá)，為我們把握自然界的規(guī)律提供了獨(dú)特的視角。在生物學(xué)領(lǐng)域，不等式更是被廣泛應(yīng)用于描述種群增長動態(tài)、生態(tài)平衡等復(fù)雜現(xiàn)象，為生態(tài)學(xué)研究提供了量化的分析手段。通過不等式的運(yùn)用，我們能夠更加深入地理解現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜問題，為尋求解決方案提供有力的數(shù)學(xué)支撐。

（作者單位：江蘇省南京市金陵匯文學(xué)校）