0 引言

項(xiàng)目評(píng)審技術(shù)[1]（PERT）、關(guān)鍵路徑法[2]（CPM）、圖形評(píng)審技術(shù)[3］（GERT）和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與評(píng)審技術(shù)[4]（VERT）都是網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)中的主要方法，其共同目標(biāo)是高質(zhì)量、快速地實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目管理要求。其中，關(guān)于PERT的研究成果涉及諸多方面，包括關(guān)鍵活動(dòng)、關(guān)鍵度指數(shù)、關(guān)鍵路徑、敏感性等[5]。一般來(lái)說(shuō)，研究人員通常對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析獲得項(xiàng)目中的關(guān)鍵活動(dòng)，以確定關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，從而控制和管理項(xiàng)目[6。目前，針對(duì)PERT網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵活動(dòng)、關(guān)鍵度指數(shù)的研究比較常用的方法是蒙特卡洛（MonteCarlo，MC）模擬方法，這是一種隨機(jī)模擬方法[]。隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，它已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的仿真模擬[7-10]?；诂F(xiàn)有的模型（如期望和方差），確定活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的隨機(jī)分布類型和相應(yīng)的分布參數(shù)，以獲得蒙特卡洛模擬的概率模型[11]。 Van^[12] 提出使用 MC 抽樣方法來(lái)分析PERT網(wǎng)絡(luò)。Martin[13]描述了PERT網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵路徑指數(shù)和關(guān)鍵活動(dòng)指數(shù)的概念。Sigal等[14]采用MC抽樣方法計(jì)算了PERT網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵路徑指數(shù)和關(guān)鍵活動(dòng)指數(shù)。Soroush[15]在PERT網(wǎng)絡(luò)中提出了最關(guān)鍵路徑（MostCriticalPath，MCP）的概念，并將MCP定義為持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)路徑中概率最高的路徑。Fatemi等[16]研究了PERT網(wǎng)絡(luò)中與路徑關(guān)鍵度、活動(dòng)關(guān)鍵度和路徑概率相關(guān)的問(wèn)題。Zhang等[17]討論了PERT網(wǎng)絡(luò)中非關(guān)鍵活動(dòng)的敏感性。Wang等[18]提出了一種基于MC的抽樣方法，確定了PERT網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵路徑和最關(guān)鍵活動(dòng)。根據(jù)PERT的特點(diǎn)，它通常用于分析具有多個(gè)不確定和不可預(yù)測(cè)因素的復(fù)雜項(xiàng)目[19]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，研究人員主要使用MC模擬完成PERT網(wǎng)絡(luò)的近似，并為復(fù)雜項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)隨機(jī)變量建立相應(yīng)的概率模型[20]。同時(shí)，通過(guò)對(duì)概率模型進(jìn)行抽樣，計(jì)算每個(gè)活動(dòng)所需時(shí)間和項(xiàng)目完成時(shí)間，還可以利用MC重復(fù)模擬以獲得多個(gè)樣本，進(jìn)一步確定項(xiàng)目的預(yù)期持續(xù)時(shí)間和方差，以及項(xiàng)目計(jì)劃持續(xù)時(shí)間的完成概率。然而，MC模擬可以快速地分析簡(jiǎn)單的PERT網(wǎng)絡(luò)，但針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)卻暴露出一些局限性。例如，MC模擬僅適用于分析小規(guī)模網(wǎng)絡(luò)圖。因此，隨著網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性不斷提高、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加和關(guān)鍵路徑數(shù)量指數(shù)增長(zhǎng)，MC仿真方法逐漸不再適用。

Chebyshev譜方法是一種用于工程和頻域的數(shù)學(xué)分析技術(shù)。它可以將信號(hào)或函數(shù)分解為一組基本頻率分量，以更好地理解和分析信號(hào)或函數(shù)的頻率特性。因此，本文針對(duì)大型復(fù)雜PERT網(wǎng)絡(luò)圖，提出一種基于Chebyshev譜方法的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)分析方法，并得到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)、節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度排序及網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑。本文將Chebyshev多項(xiàng)式與函數(shù)相乘，并對(duì)整個(gè)區(qū)間進(jìn)行積分，將函數(shù)分解為一系列譜分量，利用Cheby-shev多項(xiàng)式在有界區(qū)間上實(shí)現(xiàn)函數(shù)的近似。將函數(shù)分解為Chebyshev多項(xiàng)式的線性組合后，可以計(jì)算每個(gè)頻率分量的幅度和相位，以了解函數(shù)中不同頻率分量的貢獻(xiàn)及其在時(shí)域中的時(shí)間信息。與傳統(tǒng)的MC仿真相比，本文提出基于Chebyshev譜方法的PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)計(jì)算方法具有顯著的優(yōu)勢(shì)。特別是在大規(guī)模和復(fù)雜的PERT網(wǎng)絡(luò)圖領(lǐng)域，該方法的效率、收斂能力和對(duì)資源受限情況的適用性，使其成為項(xiàng)目經(jīng)理、研究人員尋求優(yōu)化項(xiàng)目規(guī)劃和執(zhí)行過(guò)程的寶貴工具。

1 PERT網(wǎng)絡(luò)圖信息構(gòu)建

1.1 符號(hào)描述

通常PERT網(wǎng)絡(luò)采用雙代號(hào)表示法，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中共有 Ω_n （ ngt;1 ）個(gè)節(jié)點(diǎn)，起始節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)1，終止節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) n ，網(wǎng)絡(luò)中的某項(xiàng)活動(dòng)用 i-j 表示，i 為活動(dòng)起始節(jié)點(diǎn)， j 為活動(dòng)終止節(jié)點(diǎn)， 1

表示一個(gè)PERT網(wǎng)絡(luò)， G 為一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖，該有序?qū)χ?V 是節(jié)點(diǎn)集合， E 為鏈接（或邊）的集合。

， v₂ ，…， 表示節(jié)點(diǎn)的集合，是一個(gè)有限元素集。

表示集合 V 上的任意子集， V?V 表示 V 中元素的有序?qū)? 。

v_j∈Pd （ ?σ_vi） ）表示 v_j 是 v_i 的前置節(jié)點(diǎn)。

∈Sc（）表示j是;的后繼節(jié)點(diǎn)。

e_i-j 表示活動(dòng) i-j 的樂(lè)觀估計(jì)時(shí)間。

l_i-j 表示活動(dòng) i-j 的悲觀估計(jì)時(shí)間。

d_i-j 表示活動(dòng) i-j 的平均持續(xù)時(shí)間。

c_i-j 表示活動(dòng) i-j 的正常持續(xù)時(shí)間。

k_i 表示節(jié)點(diǎn) i 的關(guān)鍵度指數(shù)。

1. 2 概念定義

1994年Soroush[2I]首次提出最關(guān)鍵路線（MostCriticalPath，MCP）的概念，根據(jù)Malcolm等22對(duì)關(guān)鍵活動(dòng)、關(guān)鍵路線和活動(dòng)關(guān)鍵度的定義，本文中PERT網(wǎng)絡(luò)相關(guān)概念表述如下：

（1）定義1：節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)。其表示某個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在整個(gè)PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中的重要程度，關(guān)鍵度指數(shù)越大，表示該節(jié)點(diǎn)在整個(gè)項(xiàng)目中越重要。節(jié)點(diǎn) i 的關(guān)鍵度指數(shù)用 k_i 表示，關(guān)鍵度指數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)為最關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

（2）定義2：最關(guān)鍵路徑。其表示從起始節(jié)點(diǎn)1開(kāi)始至節(jié)點(diǎn) n 結(jié)束的所有路徑中，節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)之和最大的路徑。

1.3 構(gòu)建圖信息

20世紀(jì)50年代末Malcolm等[23]提出經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)，它是關(guān)鍵路徑法（CriticalPathMeth-od，CPM）的拓展，但二者存在一些差異。CPM通常假設(shè)項(xiàng)目活動(dòng)持續(xù)時(shí)間是確定的（側(cè)重確定性問(wèn)題）；而PERT則假設(shè)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間是隨機(jī)的，通過(guò)最樂(lè)觀、最悲觀、最可能的估計(jì)時(shí)間來(lái)描述其不確定性（側(cè)重不確定問(wèn)題）。PERT方法中各活動(dòng)間的邏輯關(guān)系明確，但假定某項(xiàng)活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間為隨機(jī)變量，無(wú)法給出具體數(shù)值。對(duì)于時(shí)間估計(jì)，使用適當(dāng)?shù)母怕史植迹ㄆ┤缛欠植?，?分布等）表示活動(dòng)時(shí)間的隨機(jī)性。因此，令 、b 、 ?_m 分別表示某項(xiàng)活動(dòng)的最樂(lè)觀、最悲觀、最可能估計(jì)時(shí)間，且三者的值可視為隨機(jī)概率分布的參數(shù)，根據(jù)同分布中心極限定理，其頻率趨近于一條正態(tài)分布曲線 表示活動(dòng)持續(xù)時(shí)間期望， σ²=（ΔbΔ-a）²/36 表示活動(dòng)持續(xù)時(shí)間方差。

另外，經(jīng)典PERT方法有許多假設(shè)條件：各活動(dòng)持續(xù)時(shí)間服從 β 分布，且相互獨(dú)立；對(duì)于活動(dòng)起始節(jié)點(diǎn) i ，用 μ_i 和 σ_i² 表示其不確定性；網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中關(guān)鍵路徑上的工序數(shù)量足夠大，并能滿足中心極限定理，其他路徑成為關(guān)鍵路徑的概率可忽略；網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中某條路徑的總工期服從正態(tài)分布。在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上確定關(guān)鍵路徑，并得到某路徑上項(xiàng)目總工期期望 T_e 和方差 ，公式如下

由上式可知， T_e 越大，路徑越關(guān)鍵，當(dāng) T_e 為最大值時(shí)的路徑為關(guān)鍵路徑。若 越小，則該路徑工期期望值的可靠度越高；若 σ_e² 越大，則該路徑工期期望值的可靠度越低，工期不確定性大。根據(jù)大數(shù)定理，項(xiàng)目工期為正態(tài)分布，得到標(biāo)準(zhǔn)偏移值 z ，公式如下

因此， ，其概率密度函數(shù)f（T） 為項(xiàng)目計(jì)劃工期 T 的完工概率， f（T） 可進(jìn)一步運(yùn)用于項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃制定、資源分配等過(guò)程中，公式如下

結(jié)合本文，根據(jù)PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的平均持續(xù)時(shí)間構(gòu)建圖信息，公式如下

式中， d_i 表示活動(dòng) i 的平均持續(xù)時(shí)間， 、 c_i 分別表示活動(dòng) i 的樂(lè)觀估計(jì)時(shí)間、悲觀估計(jì)時(shí)間和正常持續(xù)時(shí)間。

2基于Chebyshev 譜方法的 PERT 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)分析

譜方法采用空間轉(zhuǎn)換的思想，先將問(wèn)題的解用正交函數(shù)進(jìn)行譜展開(kāi)，即可將原始物理空間中的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換至譜空間進(jìn)行求解，求得結(jié)果后，再將展開(kāi)系數(shù)轉(zhuǎn)換至原始物理空間。進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換的原因在于譜方法具有“無(wú)窮階”收斂性，即求解誤差呈指數(shù)收斂[25-26]。譜方法通常用來(lái)求解微分方程數(shù)值解。目前，該方法已廣泛應(yīng)用于大氣科學(xué)、聲學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域[27-30]

活動(dòng)起始節(jié)點(diǎn) i 的關(guān)鍵度指數(shù) k_i 表明若該節(jié)點(diǎn)的最早開(kāi)始時(shí)間延遲，則整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最早完成時(shí)間也隨之延遲。因此，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的 k_i 值可通過(guò)計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的所有后繼節(jié)點(diǎn)的 k 值與該節(jié)點(diǎn)到每個(gè)后繼節(jié)點(diǎn)的松弛時(shí)間之和，再除以節(jié)點(diǎn)到后繼節(jié)點(diǎn)松弛時(shí)間的最大值求得，公式如下

其中， E 是PERT網(wǎng)絡(luò)中的邊集。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù) k 的值可以通過(guò)求解線性方程求得，公式如下

求解得到 k_i 后，通過(guò) k_i 值判斷每個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度。若 k_i=1 ，則節(jié)點(diǎn) i 為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；若 k_ilt;1 ，則節(jié)點(diǎn) i 為非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。通過(guò)迭代求解上述線性方程組，可使用矩陣乘法進(jìn)行迭代。設(shè) k^（0）= （204號(hào) （1，1，…，1）^T ，則 k^（i+1）=Mk^（i） ，其中 L，D 是 L 的對(duì)角線矩陣， 是 P 的下三角部分，即 P=L+D+U 中的 。不斷迭代求解，直到k^（i+1） 與 k^（i） 之間的差距小于預(yù)設(shè)精度，即可得到最終的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

對(duì)鄰接矩陣的譜進(jìn)行分解，公式如下

式中， A 是由 A 的特征值組成的對(duì)角矩陣， 是A 的特征向量矩陣。然后采用譜半徑（鄰接矩陣的最大特征值的模）計(jì)算節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

求得節(jié)點(diǎn) i 的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

式中， λ_i 是鄰接矩陣 A 的第 i 個(gè)特征值。該式的含義是節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)與其在鄰接矩陣的特征值中位置有關(guān)，特征值離譜半徑越遠(yuǎn)，節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)就越高；當(dāng)節(jié)點(diǎn)的特征值與譜半徑非常接近時(shí)，節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)將會(huì)非常高。若某個(gè)節(jié)點(diǎn)多次出現(xiàn)在鄰接矩陣的特征值中，則在計(jì)算該節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)時(shí)，應(yīng)該將其所有特征值都考慮在內(nèi)。此外，若譜半徑為零，則所有節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)都應(yīng)設(shè)置為1。

G 的拉普拉斯矩陣為

L=D-A

式中， A 是圖的鄰接矩陣， 是圖的度矩陣，公式如下

式中， D_ij=0 ， i≠j

定義 L 的特征值為 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為 v₁ ， v₂ ，…， v_n 。由于 L 是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此其特征向量是正交的，公式如下

定義每個(gè)節(jié)點(diǎn) v_i 的關(guān)鍵度指數(shù)為 k_i ，公式如下

k_i=max_j=1ⁿ∣v_ij∣

式中， v_ij 表示 v_i 在第 j 個(gè)特征向量上的分量，得到k_i 的計(jì)算公式，公式如下

由于 k_i 的計(jì)算過(guò)程涉及 的所有特征向量，因此，需先得到 L 的所有特征向量。采用Cheby-shev譜方法計(jì)算 L 的所有特征向量。假設(shè)需計(jì)算L 的前 k 個(gè)特征向量，則需使用 k 階Chebyshev多項(xiàng)式求得 T_k（x） ，公式如下

T_?k（x）=2xT_?k-1（x）-T_?k-2（x）

式中， T₀（x）=1，T₁（x）=x 。通過(guò)迭代 L 的特征向量，計(jì)算 L 的所有特征向量。假設(shè)有一個(gè)向量 ，需計(jì)算 L 乘以 的結(jié)果，可使用Chebyshev多項(xiàng)式展開(kāi) ，公式如下

其中， 是 L 的標(biāo)準(zhǔn)化形式，公式如下

由于 的特征值在［－1，1］之間，因此可使用Chebyshev展開(kāi) ，公式如下

式中， T_i（x） 是 i 次Chebyshev多項(xiàng)式， x 是 的歸一化特征值，即 2（λ；-λ）-1，c：為系數(shù)，公式如下

式中， L_ij 是 的第 i 行第 j 列的元素。展開(kāi) 后，可以將Chebyshev系數(shù)作為特征向量，公式如下

通過(guò) u_i 中的最大值和最小值計(jì)算得到歸一化特征值 x_i ，公式如下

求得節(jié)點(diǎn) χ_i 的關(guān)鍵度指數(shù)，公式如下

k_i=1-x_i

3基于Dijkstra算法的PERT網(wǎng)絡(luò)關(guān) 鍵路徑分析

Dijkstra算法是一種基于貪心策略的路徑規(guī)劃經(jīng)典算法，基于廣度優(yōu)選搜索的思想，以起始節(jié)點(diǎn)為中心原點(diǎn)進(jìn)行層層擴(kuò)展，根據(jù)最短路徑長(zhǎng)度遞增次序反復(fù)進(jìn)行路徑迭代，直至終止節(jié)點(diǎn)停止搜索，得到可行域內(nèi)的最短路徑。Dijkstra算法在交通、導(dǎo)航、智能停車場(chǎng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，本文采用該算法對(duì)PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析。

本文以PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)1為起點(diǎn)，以節(jié)點(diǎn) n 為終點(diǎn)，計(jì)算從節(jié)點(diǎn)1至節(jié)點(diǎn) n 的最短工期時(shí)間。具體步驟如下[31-32]：

4案例分析

（1）將PERT有向網(wǎng)絡(luò)圖中所有節(jié)點(diǎn)劃分為兩個(gè)集合，集合 P 表示已訪問(wèn)的節(jié)點(diǎn)集合，集合Q 表示未訪問(wèn)的節(jié)點(diǎn)集合。 d_i 表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn) i 到起始節(jié)點(diǎn)1的距離。先將起始節(jié)點(diǎn)到任意節(jié)點(diǎn)的距離初始為無(wú)窮小。

（2）訪問(wèn)起始節(jié)點(diǎn)1，設(shè)置 d₁=0 ，并將其起始節(jié)點(diǎn)1置于集合 P 內(nèi)，將起始節(jié)點(diǎn)記為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)。

（3）在集合 Q 中對(duì)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的所有鄰節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷，尋找代價(jià)最低的節(jié)點(diǎn)，并將該節(jié)點(diǎn)置于集合 P 內(nèi)，并檢驗(yàn)最短路徑是否可松弛。

（4）重復(fù)步驟（3），至集合 Q 為空集，完成最短路徑搜索，結(jié)束計(jì)算。

以G公司運(yùn)維軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目為例，分析PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)，尋找網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑。G公司運(yùn)維軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間估值見(jiàn)表1，G公司運(yùn)維軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖如圖1所示。

（續(xù)）

4.1節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)分析

根據(jù)圖1，可得該圖的鄰接矩陣 A 和度矩陣D ，公式如下

而一步求得拉普拉斯矩陣 L ，公式如下

最后，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn) v_i 的關(guān)鍵度指數(shù) k_i ，如下所述。

K =（8.565，8.212，2.818，2.447，3.098，2.070，1.349，0.709，0.316，0.885，0.224，0.761，0.349，0.074，0.304，0.174，0.830，0.730）

4.2最關(guān)鍵路徑分析

本文目的是在PERT有向網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵度指數(shù)尋找一條關(guān)鍵度指數(shù)和最大的路徑，Dijkstra算法是尋找最短路徑的常用算法。因此，在路徑搜索過(guò)程中，將訪問(wèn)節(jié)點(diǎn)所花費(fèi)的代價(jià)設(shè)置 c_i=1/k_i 。運(yùn)行Dijkstra 算法，得到關(guān)鍵度指數(shù)和最大路徑為{1，5，8，10，13，15，18}，對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵度指數(shù)和為14.644。最關(guān)鍵路徑示意圖如圖2所示，最關(guān)鍵路徑用黑色箭頭加粗標(biāo)記。即由節(jié)點(diǎn)1開(kāi)始，通過(guò)節(jié)點(diǎn)5、8、10、13、15，最終到達(dá)節(jié)點(diǎn)18，該路徑為示例的PERT網(wǎng)絡(luò)，從起始節(jié)點(diǎn)1開(kāi)始至節(jié)點(diǎn)18結(jié)束的所有路徑中，節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)之和最大的路徑。

4.3實(shí)驗(yàn)結(jié)論

面對(duì)大規(guī)模PERT網(wǎng)絡(luò)的情況，本文所提方法能夠快速精準(zhǔn)地完成PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)和最關(guān)鍵路徑的推導(dǎo)，而MC模擬必須重復(fù)多次才能實(shí)現(xiàn)收斂。然而，在大型項(xiàng)目的總體規(guī)劃和推廣過(guò)程中，通常需要協(xié)調(diào)、實(shí)施數(shù)千項(xiàng)相互依存的活動(dòng)規(guī)劃。因此，活動(dòng)規(guī)模越大，相互依存關(guān)系就越復(fù)雜，本文所提方法的優(yōu)越性就越凸顯。

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要針對(duì)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行研究，在大規(guī)模和復(fù)雜的PERT網(wǎng)絡(luò)圖領(lǐng)域，通常涉及許多任務(wù)、依賴關(guān)系和不確定性，本文創(chuàng)新性提出一種基于Chebyshev譜方法的PERT網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度指數(shù)推導(dǎo)方法，以及基于Dijkstra算法搜索PERT網(wǎng)絡(luò)最關(guān)鍵路徑的方法。并通過(guò)G公司運(yùn)維軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目算例分析測(cè)試了程序代碼，驗(yàn)證了所提出方法的可行性和有效性，為項(xiàng)目統(tǒng)籌規(guī)劃中的進(jìn)度管理提供了新的思路。通過(guò)上述方法，項(xiàng)目管理人員可以深入了解項(xiàng)目進(jìn)度、關(guān)鍵路徑和資源分配。即使對(duì)于非常復(fù)雜的項(xiàng)目組，其方法也可以為項(xiàng)自經(jīng)理和研究人員提供輔助決策，優(yōu)化項(xiàng)目管理策略，進(jìn)一步推進(jìn)項(xiàng)目規(guī)劃和執(zhí)行過(guò)程。

然而，本文提出的方法仍有許多問(wèn)題需要進(jìn)一步研究。例如，將PERT網(wǎng)絡(luò)分析與人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)和大數(shù)據(jù)分析等其他先進(jìn)技術(shù)和工具相結(jié)合，使項(xiàng)目管理更加智能，更好地應(yīng)對(duì)復(fù)雜性和不確定性。隨著敏捷項(xiàng)自管理方法的興起，未來(lái)的PERT網(wǎng)絡(luò)分析工具可能會(huì)與敏捷方法集成，以更好地適應(yīng)頻繁變化的項(xiàng)自環(huán)境。隨著實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)和傳感器技術(shù)的發(fā)展，其能夠?qū)崟r(shí)監(jiān)控項(xiàng)自進(jìn)度和最關(guān)鍵路徑，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)管理

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收稿日期：2025-03-11

作者簡(jiǎn)介：

張玉婷（通信作者）（1991—），女，博士，工程師，研究方向：聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評(píng)估。

楊鏡宇（1971—），男，博士，正高級(jí)工程師，博士研究生導(dǎo)師，研究方向：聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評(píng)估。