基于新教材、新高考對課堂教學的要求，教師要注重學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學中的落實，創(chuàng)設(shè)獨立思考、自主探究等教學活動，使學生不但學到更多的數(shù)學知識，而且在數(shù)學能力、數(shù)學核心素養(yǎng)等方面有較大的提高。

一、教材分析

“基本不等式\"是高中數(shù)學人教A版必修1第二章第二節(jié)的重要內(nèi)容。本節(jié)課將在學生已系統(tǒng)掌握不等關(guān)系及不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，深人探討其基本特征和應用。在實際應用問題中，利用不等式求解最值問題極為常見。通過知識本身的價值來看，“基本不等式”是一個獨一無二的重要模型，是從幾何和代數(shù)問題中提煉出來的，在公式推導及應用過程中蘊含了紛繁復雜的數(shù)學思想，如\"數(shù)形結(jié)合\"“方程思想\"“分類討論\"以及“化歸與轉(zhuǎn)化\"等。從人文層面而言，學生需要進行一系列的觀察、分析等過程來探究和推導“基本不等式”。這極大地培養(yǎng)了學生的開拓意識與創(chuàng)新精神，涵養(yǎng)學生卓越的思維素養(yǎng)。

“基本不等式\"的教學安排為2個課時，在這2個課時中需要學生掌握基本不等式的推導以及求式子或簡單函數(shù)的最值問題兩大模塊。本節(jié)課是“基本不等式\"的第1課時。本節(jié)課將通過幾何圖形、代數(shù)探究、抽象歸納及應用等四個角度引領(lǐng)學生全面認識基本不等式。

二、學情分析

在知識儲備方面，學生在之前的課堂中已經(jīng)學習了不等關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)，并且可以熟練正確地運用這些性質(zhì)進行數(shù)與式的大小比較。此外，之前的課堂上也講授了平面幾何基礎(chǔ)知識，學生已經(jīng)掌握了這一知識點。這為他們學習基本不等式提供了良好的前提條件。在課堂教學中，教師逐步構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，從而激活學生的思維，增強其數(shù)形結(jié)合的意識。

三、教學目標

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》對本節(jié)課的要求：掌握基本不等式，結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最值問題。我將本節(jié)課的教學目標確定為：

1.學會推導基本不等式，了解基本不等式的幾何

意義，提高邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)。2.探究基本不等式的證明過程，并了解這一過程

的基本思路，領(lǐng)悟其證明方法的基本思想3.初步應用所學內(nèi)容解決最簡單的最大值或最小

值問題，增強學生的應用意識，提高學生的思維能力。

四、教學重難點

教學重點：通過“數(shù)形結(jié)合\"思想，幫助學生深入領(lǐng)悟基本不等式，并且使用多種不同思想來探索其證明過程，同時引領(lǐng)學生進行一些簡單的應用。

教學難點：使用多種思想對基本不等式的證明進行探究，并能夠運用“基本不等式\"解決簡單問題。

五、教學方法與手段

啟發(fā)學生自主探究，通過多媒體設(shè)備進行教學，增強課堂趣味的同時，還可以增大課堂容量，使學生更易于接受，從而提高教學效果。

六、教學過程

（一）課堂導人

在代數(shù)運算中，乘法公式扮演著關(guān)鍵角色，那么有沒有可能存在一些其他的不等式，在解決同類型問題時也能發(fā)揮類似作用呢？接下來，我們將對這一問題展開研究。

師：同學們說說第24屆國際數(shù)學家大會的會標的設(shè)計理念（見圖1）及由此我們得出了怎樣的不

等式？

生回答。

師：同學們回答得非常好，在上一節(jié)“不等關(guān)系與不等式性質(zhì)”中我們由第24屆國際數(shù)學家大會的會標，抽象出一類重要不等式： a²+b²≥2ab 。 ①

（師板書）

不難發(fā)現(xiàn)，公式 ① 中， a，b∈R ，當且僅當 a=b 時等號成立。

（設(shè)計意圖：通過引入乘法公式，使學生了解基本不等式在解決不等式問題中的作用，并以此引入本節(jié)課的內(nèi)容。介紹國際數(shù)學家大會的會標，通過幾何圖形導入新課，更好地激發(fā)學生的好奇心及求知欲，同時體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，滲透愛國主義教育，實現(xiàn)數(shù)學課堂的思政教育。）

（二）合作探究

師：同學們看圖 ^2，AB 是圓 o 的直徑， c 是 _AB 上任意一點，過點 c 作垂直于 _AB 的弦，交圓 o 于點D ，連接 AD，DB ，設(shè) AD=a，BD=b ，探究以下問題：

1.用 ^a，b 表示 oD 2.用 ^a，b 表示 CD 3.由 oD 與 cD 的大小關(guān)系，能得到怎樣的關(guān)系式？學生觀察圖2，小組合作完成上述問題。生1：在直角三角形中，斜邊上的中線OD大于斜邊上的高 CD ，當 C 與 o 重合時，二者相等，即 OD= CD 。

生2：在圓 o 中，圓的直徑大于等于圓的弦，所以 2OD≥2CD ，即 OD?CD 。

生3：利用幾何圖形及射影定理得√ab ≤a+b 。

（設(shè)計意圖：通過探究幾何圖形及其代數(shù)表示研究基本不等式的幾何意義。由于高一學生利用圖形處理問題能力相對欠缺， 的線段及其幾何意義不易發(fā)現(xiàn)。為了更好地鍛煉分解處理問題的能力，我將問題分解為三個小問題。首先，能更好地幫助學生在腦海中構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的基本思想；其次，提高學生以形識數(shù)、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，同時引領(lǐng)學生從一種新的角度一運動變化的角度來思考、解決問題。）

抽象概括：Vab≤a+b 這個不等式可以簡單地敘述為圓的弦長的一半小于或等于圓的半徑長，當且僅當弦過圓心時，二者相等。

過渡：我們從幾何圖形中抽象出了基本不等式，下面就讓我們從代數(shù)的角度得到基本不等式。

師：對于 ① 式，如果 agt;0，bgt;0 ，用 代替 代替 b ，可得到什么結(jié)論？

生：a+b ，當且僅當 a=b 時，等號成立。

師：請同學們加以證明，我們需要采用什么樣的方法呢？

生1：由 展開證明。

師：非常好，你能把證明過程口頭敘述嗎？

生：因為 ，所以 0，即a+b≥2√ab，所以a+b ，當且僅當 a=b 時等號成立。

生2使用作差比較法，并簡單口頭敘述證明過程。

師：非常好，同學們還有不同的證明方法嗎？閱讀課本，完成以下問題：

要證明 成立 ① 只需證明 成立 ② 要證 ② ，只需證明 ?0 成立 ③ 要證 ③ ，只需證明 ④

顯然， ④ 是成立的。當且僅當 a=b 時， ④ 中的等號成立。

師：我們剛剛運用的這種證明方法叫分析法，分析法是將整體分解為若干部分的思維方法，具體來說，先把研究的對象分解成若干部分，然后通過研究各個組成部分，認識事物的基礎(chǔ)和本質(zhì)。分析法是一種獨特的數(shù)學思維方法，核心在于從結(jié)果出發(fā)，追溯導致該結(jié)果的原因，即“執(zhí)果索因”。具體而言，這種方法是從命題的結(jié)論人手，逐步向上探索，直至找到已知條件或已知事實。它本質(zhì)上是通過尋找結(jié)論成立的充分條件來進行證明，是一種由結(jié)論向條件逆向推導的思維方式。

師：同學們還有其他方法嗎？

生：老師，把分析法倒過來寫可以嗎？

師：這位同學的想法非常好，同學們試著寫一下，看看這個方法是否可行。

學生積極探究。

師：同學們，這樣證明這個問題合適嗎？

生齊聲回答合適。

師：你們說得是對的，我們把這種方法叫綜合法。綜合法就是從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導，最后得到結(jié)果的方法，即由因?qū)Ч?/p>

（設(shè)計意圖：通過引領(lǐng)學生從不同角度思考，能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣能使學生認識到它們其實是對同一事實的不同表達形式，領(lǐng)悟到其本質(zhì)的一致性。在這個思維轉(zhuǎn)變的過程中，不僅有助于學生形成反思學習的意識和習慣，還能促進其思維的多維度發(fā)展。在證明過程中，讓學生先獨立完成，隨后相互討論，交流自己的想法心得，展示出極具個人色彩的多樣化證明方法。這樣一來，對知識點掌握程度不同的學生暴露出自己的問題，互幫互助進行解決。采用多種方法證明基本不等式，從多角度分析問題，能夠有效提升學生的邏輯思維能力和問題分析能力。）

（三）公式構(gòu)想

師：經(jīng)過同學們多方面分析，可知a+b （agt;0，bgt;0 ），當且僅當 a=b 時取等號的正確性。

歸納總結(jié)：（師板書）a+b 當且僅當 a=b 時，不等式取等號，我們把這種不等式叫作基本不等式。其中， a 與 b 的和除以2被稱作正數(shù) Δ_a 和 b 的算術(shù)平均數(shù)，而 a 與 b 的積開2次方根稱為正數(shù) α_a 和 b 的幾何平均數(shù)。用文字表述基本不等式：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)總是大于或等于它們的幾何平均數(shù)。從幾何角度解釋，這可以領(lǐng)悟為在直角三角形中，斜邊上的中線長度總是大于或等于斜邊上的高。本質(zhì)上，基本不等式揭示了兩個正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系。

（四）地位與作用

基本不等式為何被稱為“基本\"呢？原因在于它在不等式理論中扮演著核心角色，是許多重要結(jié)論的理論基礎(chǔ)。它不僅為解決眾多最值問題提供了有力的工具，還具有多種有意義的變式。這些變式不僅能夠推廣，還能連接多個不同的數(shù)學領(lǐng)域，甚至在數(shù)學之外的領(lǐng)域也有廣泛應用。

（五）公式活用

1.若 agt;0，bgt;0 ，且 ab=2 ，則 a+b 的最小值為 此時 a=，b= （204號 □

2.若 agt;0，bgt;0 ，且 a+b=2 ，則 ab 的最大值為 此時 a=，b= （204號 O

3.已知 0

4.已知 3?x?5 ，則 y=2x（2-x） 的最大值為

學生自行嘗試解答，并清晰表達自己的想法和解題思路；教師隨后進行演示。演示過程中，教師將取最大值的依據(jù)以及等號成立的具體條件這兩大知識點重點講解。

學生的做題心得：當兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積會取最大值。

（設(shè)計意圖：讓學生使用基本不等式解決一些簡單問題，進行初步探索。利用積為定值求和的最小值，利用和為定值求積的最小值，或者通過配湊來實現(xiàn)積或和為定值，求和或積的最值問題。本題可以深化學生對基本不等式的進一步認識，強化等號成立條件，提升學生嚴謹?shù)乃季S習慣和反思意識，增強知識的應用能力。）

由此我們可以歸納出，利用 求兩個數(shù)或式和或積的最值，必須滿足條件：

1. ；

2. ；

3. 。

生答：一正：各項必須為正。

二定：各項之和或之積為定值。

三相等：必須驗證取等號時條件是否具備。

（六）課堂小結(jié)

1.重點內(nèi)容。

2.運用基本不等式時需要注意的關(guān)鍵點。

3.運用的數(shù)學思想和方法。

學生按照小結(jié)提示自行總結(jié)，積極發(fā)言，互相補充；教師進行點評。

總結(jié)提升：本節(jié)課中，首先通過幾何圖形發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的不等關(guān)系，并進一步抽象出基本不等式。隨后通過代數(shù)的角度證明基本不等式的正確性，并嘗試將其應用于簡單的問題中。

教師總結(jié)：

一個不等式：若 agt;0，bgt;0 ，則有 當且僅當 a=b 時，等號成立。

二種思想：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

三個注意：基本不等式求代數(shù)式的最大（?。┲禃r注意：“一正二定三相等”。

（設(shè)計意圖：引領(lǐng)學生自主總結(jié)本節(jié)課的學習內(nèi)容，從“數(shù)”與“形”兩個維度回顧基本不等式的研究過程，從而幫助學生構(gòu)建完整的知識體系。）

（七）作業(yè)安排及課后延展訓練

1.必做部分：課本第46頁的練習。

2.課后延展訓練：在課外搜集關(guān)于基本不等式的其他幾何解釋，并寫一篇關(guān)于基本不等式幾何解釋的小論文。

（設(shè)計意圖：通過布置課本中的作業(yè)，使學生進一步鞏固和深化對基本不等式的認識。課后延展訓練的目的在于拓展學生的知識面，對基本不等式幾何解釋的深入認識，強化數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而增強學生的思維能力，達到教育學生的目標。）

七、教學反思

本節(jié)課有以下幾個亮點：積極引領(lǐng)學生自主探究，解決問題，由教師教學生知識轉(zhuǎn)化為學生主動探究、發(fā)現(xiàn)知識，并類比已有知識學習新知識，課堂更加注重學生對基本不等式的體驗與感悟，在探究中學習；靈活應用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，變未知為已知，提升學生解決問題的能力。

對于本節(jié)課的教學，我還有以下三點思考：

1.對于基本不等式√ab≤α+b 引入的思考：這節(jié)課中，從不同的思維層面和思考角度去嘗試和探究基本不等式的證明過程，并且可以通過基本不等式來解決一些實際問題。本節(jié)課通過數(shù)、形兩個角度引人基本不等式，使學生可以進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性。

2.對于例題安排的思考：本節(jié)課解決了以下兩個問題，一是如何讓學生正確認識基本不等式，二是如何讓學生體會“三個限制條件\"求最值的問題。所以在例題教學環(huán)節(jié)，通過一題多變的方式突破并解決重難點，這樣避免了不同題之間的思維跳躍，有助于學生思維的連貫性。

3.教學中暴露出的一些問題：時間把控不夠精準，在基本不等式幾何意義的講解上耗時稍長，導致后面練習時間緊張，部分學生沒有充足的時間完成拓展練習，對知識的鞏固和深化不夠。

（作者單位：1.陜西省榆林市定邊縣定邊中學；2.陜西省榆林市定邊縣第七中學）

編輯：溫雪蓮