《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》的實施，推動課程改革的重點逐漸轉向學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在新課標理念下，教師在教學過程中需要更加注重學生的主體地位，將課堂教學轉變?yōu)閹熒餐骄?、學生小組合作與自主學習相結合的模式，讓學生可以在互動中加深對數(shù)學知識的理解，同時也能根據(jù)自身的學習進度和興趣展開個性化的學習。

一、教案的創(chuàng)新：學歷案教學

隨著教育領域對學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的日益重視，尤其是在新課程改革背景下，教育理念逐漸從單一的知識傳授轉向關注學生全面發(fā)展的方向。學歷案教學模式最早由華東師范大學崔允濘教授及其專家團隊提出，旨在打破傳統(tǒng)教學過于注重教師講解和知識灌輸?shù)木窒?，倡導學生在教師的引導下，通過自主探究和任務驅動進行深度學習。學歷案教學模式的提出，正是回應了教育界對“以學生為中心”的教學要求，體現(xiàn)了教學設計中對學生主體性的高度尊重。

二、設計理念：基于深度學習的學歷案教學設計構思

深度學習不僅要求學生能理解知識的表面含義，還要將所學知識進行內化、遷移和應用，培養(yǎng)學生的批判性思維、創(chuàng)新能力以及解決復雜問題的能力。在學歷案的設計構思中，深度學習的實施需要教師在教學過程中進行精心的規(guī)劃與組織

一是注重任務的科學性。根據(jù)學科的知識結構和學生的認知水平，設計一系列循序漸進、層次分明的學習任務。其任務不僅要具有挑戰(zhàn)性，還要具備一定的開放性和探索性，鼓勵學生進行自主思考和團隊合作。

二是注重內容的層次性。教學內容的設計應關注知識與技能的結合，注重從基礎知識到高級應用的層層推進，促使學生在面對復雜問題時靈活運用所學知識，并在不斷實踐中深化對知識本質的理解。

三是注重學習過程的評估與反饋。傳統(tǒng)的評估方式往往側重學生對知識點的記憶和再現(xiàn)，而在深度學習的框架下，評價的核心應轉向學生的學習過程、思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。

三、教學設計：以“基本不等式”教學為例

（一）教學目標

1.培養(yǎng)數(shù)學思維：基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，強化學生思維的靈活性，特別是培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的綜合性思考和批判性分析能力。通過“基本不等式”的學習，學生不僅需要掌握相關的數(shù)學規(guī)則和公式，還要通過探索不等式的各種變換和推導過程發(fā)展邏輯推理能力。

2.培養(yǎng)數(shù)學應用能力：教師不僅要關注不等式的解法和計算，還要引導學生理解不等式在不同領域的廣泛應用，特別是在解決數(shù)學問題、現(xiàn)實生活問題以及化學、物理等學科中的實際應用。教師需精心設計課堂活動，促使學生學會將復雜的實際問題抽象為數(shù)學問題，并通過不等式的形式求解。

3.培養(yǎng)自我學習能力：學生除了掌握公式和定理的應用，還需通過反思性學習，理解每一個數(shù)學步驟的深層邏輯和推理過程。

（二）教學重難點

1.教學重點

（1）教師應通過細致的講解與引導，幫助學生掌握不等式的基本形式、推導過程及其應用范圍，使學生能夠在多樣的數(shù)學問題中靈活選用適合的不等式工具進行分析與求解。

（2）教師需引導學生通過具體的例題，逐步加深對不等式應用情境的理解，并引發(fā)學生對不等式在現(xiàn)實世界廣泛應用的認知。

2.教學難點

教師引導學生在實踐中發(fā)現(xiàn)不等式的潛在應用場景，培養(yǎng)其分析與解題的綜合能力。

（三）教學過程設計

1.聚焦教學目標，導人新課

在“基本不等式\"這一單元中，教材核心知識主要圍繞不等式的定義、性質及其應用展開，具體包括以下幾個方面：（1）基本不等式的定義與理解；（2）不等式的證明方法；（3）基本不等式的應用；（4）基本不等式在解題中的技巧。通過對這些核心知識點的學習，學生逐步掌握不等式的定義、性質、證明技巧及其在實際問題中的應用，從而為深入探討和解決更多復雜的數(shù)學問題打下基礎。

明確教學目標后，教師需要設計具體的導入情境，將學生帶人與“基本不等式\"相關的實際問題中。教師可以從一個貼近學生生活的問題入手：假設某公司需要在限定的預算下采購原材料，以使生產(chǎn)成本最小化，同時滿足質量要求。如何在預算限制內選擇最優(yōu)的采購方案？教師可以提出一個優(yōu)化問題，如：“某工廠在有限的生產(chǎn)時間內，需要安排多個生產(chǎn)任務，如何安排才能在規(guī)定時間內完成最多的生產(chǎn)任務？\"以這些情境問題，引導學生感受數(shù)學工具（如不等式）在解決實際問題中的重要作用。在這一過程中，學生會逐步認識到，問題的關鍵不僅在于尋找最優(yōu)方案，還在于如何運用數(shù)學知識，尤其是“不等式\"這一工具，來確保方案的可行性和最優(yōu)化。

2.自主探究，構建新知

在\"學歷案\"教學模式中，自主探究環(huán)節(jié)是學生主體性學習的關鍵組成部分。在這一環(huán)節(jié)，學生要進行主動探索、思考和合作，逐步提升理解深度并獲得更高層次的學習體驗。具體來說，“自主探究”不僅注重學生對新知的探索過程，還強調學生通過實踐活動、討論交流等方式對知識的內化和應用。

（1）確定學習任務與預設學習目標

教師為學生設定具體的問題情境或探究任務，并通過合理的任務設計引導學生深入理解“基本不等式\"的核心內容。這些任務要符合學生當前的認知水平，并能夠挑戰(zhàn)學生的思維能力，從而激發(fā)學生的學習興趣，推動他們積極參與探究過程。

具體任務設計如下：

任務一：基本不等式的內容及定義

學生通過預習教材，理解基本不等式這一概念，明確不等式的定義及其形式。教師設置相關問題，如：“基本不等式如何定義？它包含哪些重要信息？”并引導學生在預習的過程中通過討論或合作學習，逐步形成對不等式的理解。

任務二：不等式的證明方法

教師引導學生思考并列出證明“基本不等式\"常見的幾種方法，如直接證明法、反證法、歸納法等。教師設置開放性問題：“你能提出一種證明基本不等式的方法嗎？為何選擇這種方法？”這一任務旨在培養(yǎng)學生的推理能力，幫助學生掌握多種數(shù)學證明方法。

任務三：基本不等式的應用

學生應在實際問題中探討“基本不等式”的應用，如通過不等式求解函數(shù)的最值、解代數(shù)式的優(yōu)化問題等。教師可以提供一些具體的數(shù)學應用情境，要求學生嘗試通過不等式進行求解，如：“如何通過基本不等式解決最大最小值的問題？”

基于這些任務設計，教師引導學生從概念的學習、證明方法的掌握到實際應用的探究，逐步完成從知識傳授到知識應用的轉化。

（2）小組合作探究：集體智慧，互助學習

為了促進學生之間的合作與思維碰撞，教師可以將學生分成若干小組，每組圍繞特定的學習任務展開探究活動。小組合作探究不僅可以增強學生的學習參與感，還能夠激發(fā)他們的學習動力，并在討論與分享中增強理解的深度。

在本節(jié)課中，小組合作探究任務可以圍繞以下幾個方面展開：

任務一：基本不等式的證明探討

每個小組選擇一種不等式的證明方法，進行詳細的討論與推導，最后形成完整的證明過程。在小組討論過程中，學生應分享自己對不等式證明方法的理解，并結合教材中的相關例題進行討論，探討如何運用不同的策略完成基本不等式的證明。

任務二：不等式應用問題的解決

在小組合作中，每個小組選擇一個實際應用問題，如函數(shù)最值問題、優(yōu)化問題等，探討如何通過不等式解決實際問題。小組成員根據(jù)自己掌握的知識，互相補充和修正，最終提出完整的解決方案。這一環(huán)節(jié)不僅能夠提升學生的團隊協(xié)作能力，還能激發(fā)學生解決實際問題的興趣。

在自主探究環(huán)節(jié)，教師需要通過課堂互動的設計，促進學生對新知識的深度理解。教師可以設計一系列問題或情境，激發(fā)學生的思考和探究，讓學生在不斷的互動和反饋中深化對基本不等式的理解，并鞏固其應用能力。

任務一：運用基本不等式解決簡單的最值問題

活動1：教師呈現(xiàn)例題，引導學生分析題目條件，明確解題思路

例題：已知正實數(shù) x 和 y 滿足條件 x+y=10 ，求x²+y² 的最小值。

教師引導學生逐步分析題目，使其注意到最值問題的關鍵在于如何從給定的條件出發(fā)，通過不等式構造目標函數(shù)。在分析過程中，教師可以詢問：

“這個問題的條件是什么？有哪些已知量？”

“你能想到什么不等式與這個問題相關？如何將條件轉化為不等式？”

“如何運用基本不等式來尋找最小值？”

接下來，教師可以引導學生注意到，通過基本不等式 （x+y）²≥4xy ，可以從中提取數(shù)學關系，進而利用這一關系推導出解題思路。教師要強調，不等式的轉換和簡化過程對于解決最值問題至關重要。

活動2：學生獨立完成例題解答，并進行小組討論，交流不同的解題方法

在學生理解了如何應用基本不等式后，教師應鼓勵學生獨立完成該例題的解答。這一階段，學生將在個人思考和實際操作中運用所學知識，體會基本不等式的應用技巧。在學生完成解答后，教師組織小組討論。在小組討論中，學生可以自由分享自己的解題思路、方法與步驟。如讓學生互相對比不同的解法，討論哪一種方法更加簡潔或更加直觀；鼓勵學生探討在解題過程中遇到的困難，幫助他們相互解答疑問。這種小組合作的學習方式不僅能提高學生的解題能力，還能使學生在合作中學會有效溝通與表達，進一步加深對數(shù)學知識的理解。

任務二：將基本不等式與其他數(shù)學知識相結合解決綜合性問題

活動1：教師呈現(xiàn)綜合性例題，引導學生分析題目中涉及的知識點，尋找解題突破口

為了進一步提升學生的綜合能力，教師需要設計綜合性問題，讓學生將基本不等式與其他數(shù)學知識相結合解決更具挑戰(zhàn)性的問題。教師展示如下例題：

例題：已知實數(shù) ^{a，b，c，c} 滿足 a+b+c=9a ，且 ab+ bc+ca=20 ，求 a²+b²+c² 的最小值。

在這一問題中，學生不僅需要應用基本不等式，還需要運用二次代數(shù)知識和函數(shù)最值等概念。教師可引導學生分析題目，明確哪些條件可以直接應用不等式，哪些需要借助代數(shù)技巧。

“在給定條件下，如何通過代數(shù)變形簡化問題？”

“你是否可以通過不等式將條件中的兩個部分結合起來？”

“解答這道題時，是否需要使用其他數(shù)學工具，如平方和公式等？”

教師可以引導學生思考：如何將基本不等式與代數(shù)恒等式、函數(shù)最值等知識結合，以形成解題的有效路徑。

活動2：學生分組合作，共同探討解題思路，并嘗試解決問題

在小組討論時，學生可以交換解題思路、分享自已的計算過程，并提出不同的解題假設或觀點。教師要鼓勵學生之間互動，激發(fā)他們的創(chuàng)造力和探究精神。教師可以提出問題引導學生反思，如“如何利用給定條件進行代數(shù)變形？”“如何從不等式的角度出發(fā)推導解答？”

在學生獨立思考和小組討論的過程中，教師應注意巡視并給予適時的幫助，解決學生遇到的難點，確保每個學生都能夠積極參與到討論中。

活動3：教師點評學生的解題過程，引導學生總結將基本不等式與其他數(shù)學知識相結合解決綜合性問題的策略

在小組合作完成討論后，教師應組織全班學生進行匯報與總結。每個小組可以展示自已的解題思路，并分享其解決問題的策略。在匯報過程中，教師要引導學生總結以下幾個關鍵點：如何將其他數(shù)學知識，如代數(shù)恒等式、函數(shù)最值等，與基本不等式結合進行問題求解？在實際應用中，如何靈活調整解題策略，應對不同的數(shù)學問題？

通過教師點評，學生能夠清晰地看到自己的解題思路是否全面，哪些地方需要進一步強化。

4.總結反思，提升認知

教師需要通過不同教學環(huán)節(jié)的有機銜接與精心設計，引導學生在探索和解決實際問題的過程中逐步深化對數(shù)學知識的理解，可以從以下幾個維度來審視教學效果。

（1）教學目標的達成情況

在本次教學過程中，教學目標主要集中在應用基本不等式培養(yǎng)學生的數(shù)學思維與解題能力，同時在此過程中注重學生核心素養(yǎng)的提升。分析教學目標的達成情況，可以發(fā)現(xiàn)，學生在自主學習、探究新知和合作交流環(huán)節(jié)，可以逐步掌握基本不等式的應用技巧，尤其是在解決最值問題時，學生能夠靈活運用不等式進行求解，這表明目標的設定符合學生的學習需求與認知發(fā)展。然而，教師也發(fā)現(xiàn)，部分學生在基礎知識的掌握上存在一定困難，尤其是在不等式的推導與應用過程中，出現(xiàn)理解不深、運算不熟練的情況。說明在設計教學目標時，教師除了注重知識的應用外，還需要更多關注學生基礎技能的培養(yǎng)，尤其是在概念理解與公式應用的熟練度上進行加強。

（2）教學設計的有效性分析

教學設計的核心在于能夠根據(jù)教學目標和學生的實際需求合理規(guī)劃教學活動。在本次設計中，“導學聚焦”“自主探究”“合作交流\"和“總結反思”等環(huán)節(jié)相輔相成，可有效地促進學生的自主學習和合作思維。尤其是在“自主探究\"和“合作交流\"環(huán)節(jié)，學生不僅要學習數(shù)學公式和解題方法，還要通過解決實際問題，鍛煉分析問題、獨立思考以及團隊合作能力。此外，通過課堂互動與即時反饋的設計，教師能夠及時了解學生的學習進展，幫助學生發(fā)現(xiàn)問題并給予有效的指導，從而促進學生從表面理解到深層次理解的轉變，使學習不再是單向的知識傳遞，而是師生之間的互動與合作。

教學過程中仍存在一些值得改進之處。例如，在“自主探究\"環(huán)節(jié)，雖然教師設計了引導性問題，但部分學生可能會因為缺乏及時的引導而陷入困惑。在未來的教學設計中，教師可以考慮提供更為細化的學習支持，尤其是在關鍵知識點的講解與過渡時，避免學生對問題的理解過于片面。

（3）學生參與度與認知深化

從學生的參與情況來看，課堂中的互動設計極大地激發(fā)了學生的學習興趣，尤其是小組合作討論和自主探究環(huán)節(jié)。學生在課堂中積極參與，通過分享自己的解題思路與解決方案，不僅提高了數(shù)學解題能力，也鍛煉了團隊合作與溝通技巧。尤其是在解決最值問題與綜合性問題時，學生能夠更加自如地運用所學知識進行分析與推理。盡管在課堂中有較為深入的探討，但對于一些高階問題，如將基本不等式與其他數(shù)學領域的知識結合使用，一些學生可能會遇到諸多難題。在教學過程中，教師需要更加關注學生思維方式的引導，尤其是幫助學生從“知道\"到“理解”，從“理解\"到“應用”的逐步深化。

（作者單位：中山市古鎮(zhèn)高級中學）

編輯：曾彥慧