摘要：隨著無人駕駛技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，軌跡跟蹤控制已成為實(shí)現(xiàn)安全、可靠的自動(dòng)駕駛功能的核心問題之一?；诖?，提出一種基于模型預(yù)測控制（MPC）的無人駕駛汽車軌跡跟蹤方法，以提高車輛在不同工況下的跟蹤精度和穩(wěn)定性。首先，建立了簡化的無人駕駛汽車三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了線性化和離散化處理。其次，基于該模型設(shè)計(jì)了MPC軌跡跟蹤控制器，詳細(xì)推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解。最后，通過Simulink/Carsim聯(lián)合仿真平臺(tái)，對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，在圓形軌跡和直線軌跡跟蹤中，MPC控制器均表現(xiàn)出良好的性能，橫向最大誤差小于0.35 m，縱向最大誤差小于0.3 m（圓形軌跡）和0.15 m（直線軌跡），且在不同車速下均能保持較高的跟蹤精度。所設(shè)計(jì)的MPC控制器能夠有效滿足無人駕駛汽車的軌跡跟蹤要求，為無人駕駛系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用提供了一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：無人駕駛汽車；模型預(yù)測控制（MPC）；軌跡跟蹤；運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：U461" " " " 收稿日期：2025-02-27" " " "DOI：10.19999/j.cnki.1004-0226.2025.04.019

Research on Trajectory Tracking of Driverless Cars Based on MPC

Li Shiqiang" Zhang Xiaojing" Yan Guangyu

Shijiazhuang Science and Technology Vocational College，Shijiazhuang 052160，China

Abstract：With the rapid development and wide application of unmanned driving technology， trajectory tracking control has become one of the core issues to achieve safe and reliable autonomous driving functions. This paper aims to propose a model predictive control （MPC） based track tracking method for unmanned vehicles to improve the tracking accuracy and stability of vehicles under different working conditions. Firstly， a simplified three-degree-of-freedom kinematics model of unmanned vehicle is established and linearized and discretized. Secondly， the MPC trajectory tracking controller is designed based on the model， and the objective function and constraint conditions are derived in detail， which are transformed into a quadratic programming problem for solving. Finally， the controller is verified by Simulink/Carsim co-simulation platform. The simulation results show that the MPC controller has good performance in both circular trajectory and linear trajectory tracking. The maximum lateral error is less than 0.35m， and the maximum longitudinal error is less than 0.3m （circular trajectory） and 0.15m （linear trajectory）， and the tracking accuracy can be maintained at different vehicle speeds. In summary， the MPC controller designed in this paper can effectively meet the trajectory tracking requirements of unmanned vehicles， and provides a certain reference value for the practical application of unmanned systems.

Key words：Driverless car;Model predictive control（MPC）;Trajectory tracking;Kinematic model

1 MPC控制原理及目標(biāo)函數(shù)搭建

1.1 MPC控制原理

預(yù)測模型是MPC的基礎(chǔ)，本文采用的是三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，該模型通過狀態(tài)方程λ=f（λ，u）描述了車輛位置、航向角與車速、前輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。在得到預(yù)測軌跡后，MPC并不直接將預(yù)測的控制量全部施加于車輛，而是進(jìn)入“滾動(dòng)優(yōu)化”階段［1］。在這一階段，MPC控制器會(huì)根據(jù)一個(gè)預(yù)先定義的目標(biāo)函數(shù)（該函數(shù)用于評(píng)估預(yù)測軌跡與期望軌跡的偏差，以及控制輸入的平滑性等），結(jié)合一系列約束條件（如車速限制在-0.3≤vr-vp≤0.3 m/s，前輪轉(zhuǎn)角限制在-25°≤δf≤25°），求解一個(gè)優(yōu)化問題。優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足約束的前提下，找到未來一段時(shí)間內(nèi)（即控制時(shí)域Nc，本文中Nc=5，即0.25 s）的最優(yōu)控制輸入序列。這個(gè)優(yōu)化問題通常被轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃（QP）問題，以便高效求解。得到最優(yōu)控制序列后，MPC控制器僅將序列中的第一個(gè)控制輸入（例如，本時(shí)刻計(jì)算出的車速增量Δv和前輪轉(zhuǎn)角增量Δδf）施加給車輛。在下一個(gè)控制周期（0.05 s后），控制器會(huì)根據(jù)車輛新的實(shí)際狀態(tài)，重復(fù)上述“預(yù)測-優(yōu)化-施加”的過程，這就是“滾動(dòng)優(yōu)化”的含義。同時(shí)，由于實(shí)際車輛狀態(tài)與預(yù)測模型之間可能存在偏差，MPC還引入了“反饋校正”機(jī)制，利用實(shí)際測量值不斷修正預(yù)測模型，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。

1.2 目標(biāo)函數(shù)搭建

為了實(shí)現(xiàn)無人駕駛汽車精確、平穩(wěn)地跟蹤期望軌跡，MPC的核心在于構(gòu)建一個(gè)合理的目標(biāo)函數(shù)［2］。該函數(shù)用于評(píng)估預(yù)測的車輛狀態(tài)與期望軌跡的偏差、控制輸入的平滑程度，以及對(duì)約束違反情況的容忍度［3-4］。本文采用的目標(biāo)函數(shù)綜合考慮了三個(gè)方面的問題，其具體形式如下：

2 軌跡跟蹤控制器

2.1 模型建立

為了實(shí)現(xiàn)基于MPC的無人駕駛汽車軌跡跟蹤，首要任務(wù)是構(gòu)建一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述車輛運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型。考慮到計(jì)算復(fù)雜度和實(shí)時(shí)性要求，本文選擇建立一個(gè)簡化的三自由度車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。該模型假設(shè)車輛行駛在平坦路面上，忽略了懸架系統(tǒng)的影響、輪胎的側(cè)偏特性以及空氣阻力等動(dòng)力學(xué)因素，主要關(guān)注車輛在二維平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，即縱向運(yùn)動(dòng)、橫向運(yùn)動(dòng)和繞垂直軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（橫擺）。模型的核心變量包括車輛在慣性坐標(biāo)系下的橫向位置Xr和縱向位置Yr、車輛的橫擺角φ（即車輛縱軸與慣性坐標(biāo)系X軸之間的夾角）、車輛后軸中心的速度vr、車輛的軸距l(xiāng)（即前軸中心到后軸中心的距離）以及車輛的前輪轉(zhuǎn)角δf。根據(jù)幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，可以推導(dǎo)出描述這些變量之間關(guān)系的微分方程組：

式中，ω為車輛的橫擺角速度（即φ對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)）。這組方程清晰地表明了車輛的橫向和縱向速度是如何由后軸中心速度和橫擺角決定的，而橫擺角速度又是如何由后軸中心速度、前輪轉(zhuǎn)角和軸距決定的。

2.2 仿真驗(yàn)證

本文選擇了Carsim內(nèi)置的C-Class Hatchback車輛模型，這是一個(gè)比較典型的乘用車模型，能夠較好地反映真實(shí)車輛的運(yùn)動(dòng)特性。然后，需要設(shè)置仿真場景，包括道路模型和參考軌跡。

本文選擇平坦路面為道路模型，并分別設(shè)置了圓形軌跡和直線軌跡為參考軌跡，以測試控制器在不同工況下的跟蹤性能。圓形軌跡的半徑設(shè)置為50 m，直線軌跡的長度設(shè)置為200 m。在Simulink中，需要搭建MPC控制器的模型。這包括根據(jù)上文建立的離散時(shí)間誤差模型構(gòu)建預(yù)測模型，以及根據(jù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)設(shè)置控制量和控制增量的約束條件等。

MPC控制器的關(guān)鍵參數(shù)包括采樣時(shí)間T、預(yù)測時(shí)域Np、控制時(shí)域Nc、權(quán)重矩陣Q和R、松弛因子權(quán)重系數(shù)ρ等。本文中，采樣時(shí)間T設(shè)置為0.05 s；預(yù)測時(shí)域Np設(shè)置為20；控制時(shí)域Nc設(shè)置為5；權(quán)重矩陣Q設(shè)置為diag（10，10，1），表示對(duì)橫向位置、縱向位置和航向角的跟蹤誤差給予了不同程度的關(guān)注，更重視橫向位置的跟蹤；權(quán)重矩陣R設(shè)置為diag（0.1，0.01），表明對(duì)車速增量的懲罰相對(duì)較小，而對(duì)前輪轉(zhuǎn)角增量的懲罰較大；松弛因子權(quán)重系數(shù)ρ設(shè)置為1 000。

此外，還需要設(shè)置控制量和控制增量的約束條件，以保證控制輸入的合理性和安全性。

3 結(jié)語

本文針對(duì)無人駕駛汽車的軌跡跟蹤控制問題，提出了一種基于MPC的解決方案。通過建立簡化的無人駕駛汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，設(shè)計(jì)MPC軌跡跟蹤控制器，并進(jìn)行Simulink/Carsim聯(lián)合仿真驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：所設(shè)計(jì)的MPC控制器能夠在低速工況下實(shí)現(xiàn)對(duì)圓形軌跡和直線軌跡的精確跟蹤，滿足無人駕駛汽車的軌跡跟蹤要求；在圓形軌跡跟蹤中，橫向最大誤差小于0.35 m，縱向最大誤差小于0.3 m；在直線軌跡跟蹤中，縱向最大誤差小于0.15 m；MPC控制器對(duì)不同的車速具有較好的適應(yīng)性，在不同車速下均能保持較高的跟蹤精度。本文的研究為無人駕駛汽車軌跡跟蹤控制提供了一種有效的解決方案，具有一定的實(shí)用價(jià)值和參考意義。

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作者簡介：

李士強(qiáng)，男，1992年生，講師，研究方向?yàn)樾履茉雌嚒⒅悄芫W(wǎng)聯(lián)汽車、無人駕駛汽車。